Основное свойство дроби
Целые числа хорошо служили древнему человеку, но для мореплавания, строительства домов и изучения неба были нужны более точные измерения. Поэтому в Вавилоне придумали делить единицы на еще более мелкие единицы.
Как появились дроби
Вавилоняне делили целое на $60$ равных частей. Эта система до сих пор используется для измерения углов. Так, в привычном градусе угла содержится $60$ более мелких единиц — минут, а в каждой минуте — еще $60$ секунд.
Минута — это $\frac{1}{60}$ градуса. Секунда — это $\frac{1}{60}$ минуты.
История
«Минута» с латинского означает «маленький». Минуты появились, когда для измерения углов нужно было придумать что-то меньше градуса. «Секунда» означает «второй». Секунды стали вторым шагом уменьшения после минут.
Сначала люди использовали самые простые дроби, которые обозначают только одну часть целого:
$$\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{10}$$
Позже с помощью дробей стали записывать уже несколько частей:
$$\frac{2}{3}, \frac{5}{7}, \frac{4}{8}$$
Знаменатель и числитель
Привычная запись дробей, когда числитель находится сверху, а знаменатель снизу, появилась в Индии $1500$ лет назад. Черту между ними добавили гораздо позже — лишь в $16$ веке. С тех пор дроби стали выглядеть так, как мы привыкли.
Вспомним, о чем говорят числа в записи дроби.
Знаменатель пишется под чертой и показывает, на сколько равных долей разделили число.
Числитель пишется над чертой и показывает, сколько таких долей взято.
История
Слово «дробь» происходит от глаголов «разбивать», «раздроблять», «ломать». В первых учебниках математики дроби буквально назывались «ломаные числа».
Уменьшайте или увеличивайте числитель или знаменатель кнопками и увидите, какую часть круга представляет получившаяся дробь и как она читается.
Основное свойство дроби
Можно разрезать торт на $6$ частей и взять две, а можно разрезать тот же торт на $3$ части и взять одну — получится то же самое.
Действительно, у каждой дроби может быть бесконечное количество равных ей дробей: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{3}{9}$ и так далее. Это свойство называется основным свойством дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
Это свойство вы будете применять постоянно, так как оно помогает выполнять практически все действия с дробями. Например, сокращать их, как в примере с тортом. Или приводить к общему знаменателю, чтобы потом сравнивать, складывать или вычитать.
Решение примеров
Посмотрим, как применять основное свойство дроби для решения задач.
Пример 1
Приведите дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю $36$.
Показать решение
Скрыть решение
Нам нужно, чтобы в знаменателе дроби получилось число $36$ вместо $6$. Для этого $6$ надо умножить на $6$, поскольку:
$$36:6=6$$
По основному свойству дроби помним, что числитель и знаменатель нужно умножить на одно и то же число:
$$\frac{1}{6}=\frac{1\cdot6}{6\cdot6}=\frac{6}{36}$$
Получили дробь, равную данной, но с новым знаменателем.
Пример 2
Сократить дробь $\frac{162}{270}$.
Показать решение
Скрыть решение
По основному свойству дроби, мы можем делить числитель и знаменатель на одно и то же число. Будем делать это последовательно.
$$\frac{162}{270}=\frac{162:3}{270:3}=\frac{54}{90}=\frac{54:9}{90:9}=\frac{6}{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5}$$
Дальше сокращать не можем, потому что у $3$ и $5$ больше нет общих делителей.
Пример 3
Сравните дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{8}$.
Показать решение
Скрыть решение
Чтобы сравнить дроби, нужно привести их к общему знаменателю.
Посмотрим на знаменатели. $12$ можно представить, как $3\cdot4$, а $8$ — как $2\cdot4$:
$$\frac{7}{12}=\frac{7}{3\cdot4}$$
$$\frac{5}{8}=\frac{5}{2\cdot4}$$
Чтобы сравнять знаменатели, нужно первый умножить на $2$, а второй — на $3$. По основному свойству дроби, мы можем это сделать, только если числитель тоже умножим на эти же числа:
$$\frac{7}{12}=\frac{7}{3\cdot4}=\frac{7\cdot2}{3\cdot4\cdot2}=\frac{14}{24}$$
$$\frac{5}{8}=\frac{5}{2\cdot4}=\frac{5\cdot3}{2\cdot4\cdot3}=\frac{15}{24}$$
Теперь можем сравнить дроби. Из двух дробей с равными знаменателями больше та, у которой больше числитель:
$$\frac{14}{24}<\frac{15}{24}$$
Значит, $\frac{7}{12}<\frac{5}{8}$.
Часто задаваемые вопросы
Числитель пишется над чертой и обозначает, сколько равных частей взято. Знаменатель пишется под чертой и обозначает, на сколько равных частей разделили число.
Чтобы сократить дробь, нужно последовательно делить числитель и знаменатель на одно и то же число, пока в дроби не останутся числа, которые не имеют общих делителей.
Привести дроби к общему знаменателю означает, что из исходных дробей получаются новые дроби, равные данным, но с одинаковым знаменателем.
Если у дробей отличаются знаменатели, сначала нужно привести их к общему знаменателю. После этого сравниваются числители: больше та дробь, у которой числитель больше
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
круто