Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Подписаться
СОЗДАТЬ
Создать флеш-карточки
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
КАРТОЧКИ
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Подобрать занятие
НАЗНАЧИТЬ

Основное свойство дроби

Содержание

Целые числа хорошо служили древнему человеку, но для мореплавания, строительства домов и изучения неба были нужны более точные измерения. Поэтому в Вавилоне придумали делить единицы на еще более мелкие единицы.

Как появились дроби

Вавилоняне делили целое на $60$ равных частей. Эта система до сих пор используется для измерения углов. Так, в привычном градусе угла содержится $60$ более мелких единиц — минут, а в каждой минуте — еще $60$ секунд.

Минута — это $\frac{1}{60}$ градуса. Секунда — это $\frac{1}{60}$ минуты.

История

«Минута» с латинского означает «маленький». Минуты появились, когда для измерения углов нужно было придумать что-то меньше градуса. «Секунда» означает «второй». Секунды стали вторым шагом уменьшения после минут.

Сначала люди использовали самые простые дроби, которые обозначают только одну часть целого:

$$\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{10}$$

Позже с помощью дробей стали записывать уже несколько частей:

$$\frac{2}{3}, \frac{5}{7}, \frac{4}{8}$$

Знаменатель и числитель

Привычная запись дробей, когда числитель находится сверху, а знаменатель снизу, появилась в Индии $1500$ лет назад. Черту между ними добавили гораздо позже — лишь в $16$ веке. С тех пор дроби стали выглядеть так, как мы привыкли.

Вспомним, о чем говорят числа в записи дроби.

Знаменатель пишется под чертой и показывает, на сколько равных долей разделили число.

Числитель пишется над чертой и показывает, сколько таких долей взято.

История

Слово «дробь» происходит от глаголов «разбивать», «раздроблять», «ломать». В первых учебниках математики дроби буквально назывались «ломаные числа».

Уменьшайте или увеличивайте числитель или знаменатель кнопками и увидите, какую часть круга представляет получившаяся дробь и как она читается.

drobi

Основное свойство дроби

Можно разрезать торт на $6$ частей и взять две, а можно разрезать тот же торт на $3$ части и взять одну — получится то же самое.

Действительно, у каждой дроби может быть бесконечное количество равных ей дробей: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{3}{9}$ и так далее. Это свойство называется основным свойством дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.

Это свойство вы будете применять постоянно, так как оно помогает выполнять практически все действия с дробями. Например, сокращать их, как в примере с тортом. Или приводить к общему знаменателю, чтобы потом сравнивать, складывать или вычитать.

Решение примеров

Посмотрим, как применять основное свойство дроби для решения задач.

Пример 1

Приведите дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю $36$.

Показать решение

Скрыть решение

Нам нужно, чтобы в знаменателе дроби получилось число $36$ вместо $6$. Для этого $6$ надо умножить на $6$, поскольку:

$$36:6=6$$

По основному свойству дроби помним, что числитель и знаменатель нужно умножить на одно и то же число:

$$\frac{1}{6}=\frac{1\cdot6}{6\cdot6}=\frac{6}{36}$$

Получили дробь, равную данной, но с новым знаменателем.

Пример 2

Сократить дробь $\frac{162}{270}$.

Показать решение

Скрыть решение

По основному свойству дроби, мы можем делить числитель и знаменатель на одно и то же число. Будем делать это последовательно.

$$\frac{162}{270}=\frac{162:3}{270:3}=\frac{54}{90}=\frac{54:9}{90:9}=\frac{6}{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5}$$

Дальше сокращать не можем, потому что у $3$ и $5$ больше нет общих делителей.

Пример 3

Сравните дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{8}$.

Показать решение

Скрыть решение

Чтобы сравнить дроби, нужно привести их к общему знаменателю.

Посмотрим на знаменатели. $12$ можно представить, как $3\cdot4$, а $8$ — как $2\cdot4$:

$$\frac{7}{12}=\frac{7}{3\cdot4}$$
$$\frac{5}{8}=\frac{5}{2\cdot4}$$

Чтобы сравнять знаменатели, нужно первый умножить на $2$, а второй — на $3$. По основному свойству дроби, мы можем это сделать, только если числитель тоже умножим на эти же числа:

$$\frac{7}{12}=\frac{7}{3\cdot4}=\frac{7\cdot2}{3\cdot4\cdot2}=\frac{14}{24}$$

$$\frac{5}{8}=\frac{5}{2\cdot4}=\frac{5\cdot3}{2\cdot4\cdot3}=\frac{15}{24}$$

Теперь можем сравнить дроби. Из двух дробей с равными знаменателями больше та, у которой больше числитель:

$$\frac{14}{24}<\frac{15}{24}$$

Значит, $\frac{7}{12}<\frac{5}{8}$.

Часто задаваемые вопросы

Чем числитель отличается от знаменателя?

Числитель пишется над чертой и обозначает, сколько равных частей взято. Знаменатель пишется под чертой и обозначает, на сколько равных частей разделили число.

Как сократить дробь?

Чтобы сократить дробь, нужно последовательно делить числитель и знаменатель на одно и то же число, пока в дроби не останутся числа, которые не имеют общих делителей.

Что означает привести к общему знаменателю?

Привести дроби к общему знаменателю означает, что из исходных дробей получаются новые дроби, равные данным, но с одинаковым знаменателем.

Как сравнить две дроби?

Если у дробей отличаются знаменатели, сначала нужно привести их к общему знаменателю. После этого сравниваются числители: больше та дробь, у которой числитель больше

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ