Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Родителю Подписаться
КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Классы
Темы
НАЗНАЧИТЬ

Основное свойство дроби

Содержание

Целые числа хорошо служили древнему человеку, но для мореплавания, строительства домов и изучения неба были нужны более точные измерения. Поэтому в Вавилоне придумали делить единицы на еще более мелкие единицы.

Как появились дроби

Вавилоняне делили целое на $60$ равных частей. Эта система до сих пор используется для измерения углов. Так, в привычном градусе угла содержится $60$ более мелких единиц — минут, а в каждой минуте — еще $60$ секунд.

Минута — это $\frac{1}{60}$ градуса. Секунда — это $\frac{1}{60}$ минуты.

История

«Минута» с латинского означает «маленький». Минуты появились, когда для измерения углов нужно было придумать что-то меньше градуса. «Секунда» означает «второй». Секунды стали вторым шагом уменьшения после минут.

Сначала люди использовали самые простые дроби, которые обозначают только одну часть целого:

$$\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{10}$$

Позже с помощью дробей стали записывать уже несколько частей:

$$\frac{2}{3}, \frac{5}{7}, \frac{4}{8}$$

Знаменатель и числитель

Привычная запись дробей, когда числитель находится сверху, а знаменатель снизу, появилась в Индии $1500$ лет назад. Черту между ними добавили гораздо позже — лишь в $16$ веке. С тех пор дроби стали выглядеть так, как мы привыкли.

Вспомним, о чем говорят числа в записи дроби.

Знаменатель пишется под чертой и показывает, на сколько равных долей разделили число.

Числитель пишется над чертой и показывает, сколько таких долей взято.

История

Слово «дробь» происходит от глаголов «разбивать», «раздроблять», «ломать». В первых учебниках математики дроби буквально назывались «ломаные числа».

Уменьшайте или увеличивайте числитель или знаменатель кнопками и увидите, какую часть круга представляет получившаяся дробь и как она читается.

drobi

Основное свойство дроби

Можно разрезать торт на $6$ частей и взять две, а можно разрезать тот же торт на $3$ части и взять одну — получится то же самое.

Действительно, у каждой дроби может быть бесконечное количество равных ей дробей: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{3}{9}$ и так далее. Это свойство называется основным свойством дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.

Это свойство вы будете применять постоянно, так как оно помогает выполнять практически все действия с дробями. Например, сокращать их, как в примере с тортом. Или приводить к общему знаменателю, чтобы потом сравнивать, складывать или вычитать.

Решение примеров

Посмотрим, как применять основное свойство дроби для решения задач.

Пример 1

Приведите дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю $36$.

Показать решение

Скрыть решение

Нам нужно, чтобы в знаменателе дроби получилось число $36$ вместо $6$. Для этого $6$ надо умножить на $6$, поскольку:

$$36:6=6$$

По основному свойству дроби помним, что числитель и знаменатель нужно умножить на одно и то же число:

$$\frac{1}{6}=\frac{1\cdot6}{6\cdot6}=\frac{6}{36}$$

Получили дробь, равную данной, но с новым знаменателем.

Пример 2

Сократить дробь $\frac{162}{270}$.

Показать решение

Скрыть решение

По основному свойству дроби, мы можем делить числитель и знаменатель на одно и то же число. Будем делать это последовательно.

$$\frac{162}{270}=\frac{162:3}{270:3}=\frac{54}{90}=\frac{54:9}{90:9}=\frac{6}{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5}$$

Дальше сокращать не можем, потому что у $3$ и $5$ больше нет общих делителей.

Пример 3

Сравните дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{8}$.

Показать решение

Скрыть решение

Чтобы сравнить дроби, нужно привести их к общему знаменателю.

Посмотрим на знаменатели. $12$ можно представить, как $3\cdot4$, а $8$ — как $2\cdot4$:

$$\frac{7}{12}=\frac{7}{3\cdot4}$$
$$\frac{5}{8}=\frac{5}{2\cdot4}$$

Чтобы сравнять знаменатели, нужно первый умножить на $2$, а второй — на $3$. По основному свойству дроби, мы можем это сделать, только если числитель тоже умножим на эти же числа:

$$\frac{7}{12}=\frac{7}{3\cdot4}=\frac{7\cdot2}{3\cdot4\cdot2}=\frac{14}{24}$$

$$\frac{5}{8}=\frac{5}{2\cdot4}=\frac{5\cdot3}{2\cdot4\cdot3}=\frac{15}{24}$$

Теперь можем сравнить дроби. Из двух дробей с равными знаменателями больше та, у которой больше числитель:

$$\frac{14}{24}<\frac{15}{24}$$

Значит, $\frac{7}{12}<\frac{5}{8}$.

Часто задаваемые вопросы

Чем числитель отличается от знаменателя?

Числитель пишется над чертой и обозначает, сколько равных частей взято. Знаменатель пишется под чертой и обозначает, на сколько равных частей разделили число.

Как сократить дробь?

Чтобы сократить дробь, нужно последовательно делить числитель и знаменатель на одно и то же число, пока в дроби не останутся числа, которые не имеют общих делителей.

Что означает привести к общему знаменателю?

Привести дроби к общему знаменателю означает, что из исходных дробей получаются новые дроби, равные данным, но с одинаковым знаменателем.

Как сравнить две дроби?

Если у дробей отличаются знаменатели, сначала нужно привести их к общему знаменателю. После этого сравниваются числители: больше та дробь, у которой числитель больше

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ