Вычисления с дробями

В $5$ классе вы уже начали проходить действия с дробями: сложение, вычитание, умножение и деление. В этом уроке вспомним и закрепим правила, по которым выполняют вычисления с дробями.

Сумма и разность

Чтобы найти сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно найти сумму или разность их числителей, а знаменатель оставить прежним.

То есть, сложение и вычитание всегда выполняется только с числителями, а не знаменателями. Например:

$$\frac{5}{20}+\frac{6}{20}=\frac{5+6}{20}=\frac{11}{20}$$

$$\frac{7}{12}-\frac{1}{12}=\frac{7-1}{12}=\frac{6}{12}$$

Если знаменатели у дробей различаются, то к вычислениям добавляется ещё один шаг:

Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю.

У «небольших» дробей легко найти общий знаменатель, например, у дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{5}$ общим знаменателем будет $15$:

$$\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{1}{3}^{(5}+\frac{2}{5}^{(3}=\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{5+6}{15}=\frac{11}{15}$$

Как найти НОК?

Закрыть

Общий знаменатель для дробей $\frac{9}{20}$ и $\frac{3}{16}$ равен $80$. Найдём сумму этих дробей.

Для первой дроби добавляем дополнительный множитель $4$, а для второй $5$:

$$\frac{9}{20}+\frac{3}{16}=\frac{9}{20}^{(4}+\frac{3}{16}^{(5}=\frac{36}{80}+\frac{15}{80}$$

Складываем полученные дроби с одинаковыми знаменателями:

$$\frac{36}{80}+\frac{15}{80}=\frac{36+15}{80}=\frac{51}{80}$$

Больше дробь $\frac{51}{80}$ сократить нельзя, поэтому она сразу идёт в ответ.

{"questions":[{"instruction":"Проверьте себя","content":"$\\frac{1}{3}+\\frac{5}{8}=$[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\frac{23}{24}$","$\\frac{6}{11}$","$\\frac{6}{24}$"],"explanations":["$\\frac{1}{3}+\\frac{5}{8}=\\frac{1}{3}^{(8}+\\frac{5}{8}^{(3}=\\frac{8}{24}+\\frac{15}{24}=\\frac{8+15}{24}=\\frac{23}{24}$","Дроби с разными знаменателями. Сначала нужно привести их к общему знаменателю, а потом складывать.",""],"answer":[0]}},"hints":["Общий знаменатель равен произведению $3$ и $8$."]}]}

Умножение и деление

Умножать дроби иногда даже проще, чем складывать, потому что при умножении не нужно искать общий знаменатель.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе, а второе — в знаменателе.

То есть, нужно просто умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель:

$$\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{1\cdot2}{3\cdot5}=\frac{2}{15}$$

Сложность может возникнуть, когда в дробях стоят числа покрупнее. В таком случае лучше не перемножать их сразу, а сначала записать под общей чертой и сократить:

$$\frac{9}{20}\cdot\frac{5}{12}=\frac{\cancel9^{\space3}\cdot5}{20\cdot\cancel{12}_{\space4}}=\frac{3\cdot\cancel5}{\cancel{20}_{\space4}\cdot4}=\frac{3}{4\cdot4}=\frac{3}{16}$$

Как вы помните из курса начальных классов, деление — это действие, обратное умножению. Поэтому правило для деления дробей звучит так:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Разделим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{4}$:

$$\frac{1}{2}:\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{1\cdot\cancel4^{\space2}}{\cancel2\cdot3}=\frac{2}{3}$$

{"questions":[{"instruction":"Проверьте себя","content":"$\\frac{3}{4}\\cdot\\frac{11}{30}=$[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\frac{33}{120}$","$\\frac{11}{40}$","$\\frac{33}{30}$"],"explanations":["Умножение верно, но для окончательного ответа дробь нужно сократить.","$\\frac{3}{4}\\cdot\\frac{11}{30}=\\frac{\\cancel3\\cdot11}{4\\cdot\\cancel{30}_{10}}=\\frac{11}{40}$",""],"answer":[1]}},"hints":["Общий знаменатель равен произведению $3$ и $8$"]}]}

Решение примеров

$\frac{11}{15}+\frac{5}{12}=?$

Показать решение

Закрыть

$4\frac{1}{3}-1\frac{1}{2}=?$

Показать решение

Закрыть

$\frac{3}{25}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{10}{9}=?$

Показать решение

Закрыть

$5\frac{1}{5}:\frac{13}{15}=?$

Показать решение

Закрыть

Часто задаваемые вопросы