Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Родителю Подписаться
КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Классы
Темы
НАЗНАЧИТЬ

Задачи на дроби

Содержание

Задача

Для шестых классов решили организовать экскурсию в соседний город. Согласились поехать $\Large{\frac{2}{5}}$ из всего числа шестиклассников. Сколько учеников поедут на экскурсию, если всего в школе $120$ шестиклассников?

Зная дроби, вы сразу можете определить, что на экскурсию поедут чуть меньше половины учеников — об этом говорит дробь $\Large{\frac{2}{5}}$, а особенно её числитель. Если бы было, например, $\Large{\frac{\textcolor{blue}{3}}{5}}$ — это больше половины. А $\Large{\frac{\textcolor{blue}{4}}{5}}$ — почти все.

Чтобы определить точное число учеников, которые поедут на экскурсию, нужно найти $\Large{\frac{2}{5}}$ от общего количества всех учеников.

Так выглядит большинство задач с дробями. В этом уроке вы научитесь решать их двумя способами: опираясь на понятие дроби и с помощью правил.

Первый способ

По условию, в школе всего $120$ шестиклассников. Чтобы найти, сколько из них составляет $\Large{\frac{2}{5}}$, нужно вспомнить, что вообще такое дробь, и что означает выражение «$\Large{\frac{2}{5}}$ от $120$».

Подсказка

Числитель — сколько частей взяли.

Знаменатель — на сколько частей поделили целое.

Можно сказать, что всех учеников разделили на $5$ частей и из них взяли $2$ части. То есть, можно записать это так:

$$(120:5)\cdot2$$

Вычислив, легко находим количество учеников, которые едут на экскурсию:

$$(120:5)\cdot2=24\cdot2=48\space(уч.)$$

Второй способ

Теперь решим эту же задачу с помощью нового правила.

Чтобы найти от числа часть, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь.

Вспомним правила умножения дробей и умножим $120$ учеников на $\Large{\frac{2}{5}}$:

$$120\cdot\frac{2}{5}=\frac{120\cdot2}{5}=\frac{\overset{24}{\cancel{120}}\cdot2}{\cancel5}=24\cdot2=48\space(уч.)$$

Получили такой же результат, как и первым способом.

В этой задаче мы находили неизвестную часть от известного целого. Встречаются и обратные задачи, где нужно найти целое по его части.

Обратная задача

Задача

Для шестых классов решили организовать экскурсию в соседний город. Согласились поехать $48$ учеников, что составляет $\Large{\frac{2}{5}}$ из всего числа шестиклассников. Сколько всего шестиклассников в школе?

Здесь мы будем находить неизвестное целое по известной части.

Можно, как и в первой задаче, воспользоваться понятием дроби. Тогда $48$ учеников — это $2$ части из $5$. Нужно найти, чему равна $1$ часть, и умножить её на $5$:

$$(48:2)\cdot5=24\cdot5=120\space(уч.)$$

Также можно воспользоваться правилом. Для обратных задач оно звучит так:

Чтобы найти число по его части, нужно эту часть разделить на дробь, ей соответствующую.

Как запомнить

Известно «большее» число ($120$) — умножаем его на дробь.

Известно «меньшее» число ($48$) — делим его на дробь.

Вспомним правила деления дробей и вычислим:

$$48:\frac{2}{5}=48\cdot\frac{5}{2}=\frac{48\cdot5}{2}=\frac{\overset{24}{\cancel{48}}\cdot5}{\cancel2}=24\cdot5=120\space(уч.)$$

Нахождение дроби

С этими же шестиклассниками, которые никак не могут уехать на экскурсию, можно составить ещё одну задачу. В таких задачах уже известно и целое, и его часть, но неизвестна дробь, которая показывает их соотношение.

Задача

Для шестых классов решили организовать экскурсию в соседний город. Согласились поехать $48$ учеников из $120$. Какая часть учеников согласилась?

Один ученик — это $\Large{\frac{1}{120}}$ от всего количества учеников. Значит, на экскурсию поедут $\Large{\frac{48}{120}}$ учеников. Сократим эту дробь и получим ответ:

$$\frac{48}{120}=\frac{\overset{12}{\cancel{48}}}{\underset{30}{\cancel{120}}}=\frac{\overset{2}{\cancel{12}}}{\underset{5}{\cancel{30}}}=\frac{2}{5}$$

Важно

Заметьте, что в первых двух задачах возле ответа мы указывали $(уч.)$, потому что числа $48$ и $120$ обозначали количество учеников.

Дробь $\Large{\frac{2}{5}}$ обозначает не количество, а соотношение, поэтому после неё $(уч.)$ писать не нужно.

Сформулируем правило, которое мы использовали для этой задачи.

Чтобы узнать, какую часть меньшее число составляет от большего, надо первое число разделить на второе.

Решение примеров

Задание 1

Найдите часть от величины: $\Large{\frac{4}{9}}$ от $\Large{\frac{3}{10}}\normalsize{\spaceдм}$.

Показать решение

Закрыть

Запись «$\Large{\frac{3}{10}}\normalsize{\spaceдм}$» может запутать, но здесь это просто число, как, например, $120$ учеников из примеров в уроке.

В этом задании нужно от числа $\Large{\frac{3}{10}}\normalsize{\spaceдм}$ найти часть, выраженную дробью $\Large{\frac{4}{9}}$. Значит, воспользуемся первым правилом и умножим число на дробь:

$$\cfrac{3}{10}\cdot\cfrac{4}{9}=$$

Записываем числитель и знаменатель под общей чертой и сокращаем:

$$\cfrac{3}{10}\cdot\cfrac{4}{9}=\cfrac{3\cdot4}{10\cdot9}=\cfrac{\cancel3\cdot4}{10\cdot\underset{3}{\cancel9}}=\cfrac{\overset{2}{\cancel4}}{\underset{5}{\cancel{10}}\cdot3}=\cfrac{2}{15}\spaceдм$$

Ответ: $\Large{\frac{2}{15}}\normalsize{\spaceдм}$.

Задание 2

Андрей набрал на компьютере $\Large\frac{2}{5}$ своего реферата по литературе за $2\Large\frac{1}{2}\normalsize\spaceч$. За сколько часов он наберет весь реферат, если будет печатать с такой же скоростью?

Показать решение

Закрыть

Подобные задачи решаются в одно действие, если правильно определить три значения: целое, часть и дробь, которая соответствует этой части.

Целое — это время, за которое Андрей наберет весь реферат. Часть — это время, за которое Андрей набрал $\Large\frac{2}{5}$ реферата, то есть, $2\Large\frac{1}{2}\normalsize\spaceч$. Дробь, которая соответствует этой части — $\Large\frac{2}{5}$.

Неизвестно целое, поэтому воспользуемся вторым правилом и разделим часть на дробь:

$$2\frac{1}{2}:\frac{2}{5}=\frac{5}{2}:\frac{2}{5}=\frac{5}{2}\cdot\frac{5}{2}=\frac{5\cdot5}{2\cdot2}=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}\spaceч$$

Ответ: Андрей наберет весь реферат за $6\Large\frac{1}{4}$ часов.

Задание 3

Что больше: $\Large\frac{3}{4}$ от $\Large\frac{2}{3}$ или $\Large\frac{2}{3}$ от $\Large\frac{3}{4}$?

Показать решение

Закрыть

Чтобы найти от числа часть, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь.

Значит, чтобы найти $\Large\frac{3}{4}$ от $\Large\frac{2}{3}$, нужно умножить $\Large\frac{2}{3}$ на $\Large\frac{3}{4}$:

$$\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}$$

А чтобы найти $\Large\frac{2}{3}$ от $\Large\frac{3}{4}$, нужно умножить $\Large\frac{3}{4}$ на $\Large\frac{2}{3}$:

$$\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}$$

По переместительному свойству умножения, от перестановки множителей произведение не меняется. То есть, значения этих выражений равны:

$$\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}$$

Ответ: они равны.

Часто задаваемые вопросы

Как найти часть от числа?

Чтобы найти от числа часть, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь.

Как найти число по его части?

Чтобы найти число по его части, нужно эту часть разделить на дробь, ей соответствующую.

Как найти, какую часть составляет одно число от другого?

Чтобы узнать, какую часть меньшее число составляет от большего, надо первое число разделить на второе.

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ