Задачи на дроби

Зная дроби, вы сразу можете определить, что на экскурсию поедут чуть меньше половины учеников — об этом говорит дробь $\Large{\frac{2}{5}}$, а особенно её числитель. Если бы было, например, $\Large{\frac{\textcolor{blue}{3}}{5}}$ — это больше половины. А $\Large{\frac{\textcolor{blue}{4}}{5}}$ — почти все.

Чтобы определить точное число учеников, которые поедут на экскурсию, нужно найти $\Large{\frac{2}{5}}$ от общего количества всех учеников.

Так выглядит большинство задач с дробями. В этом уроке вы научитесь решать их двумя способами: опираясь на понятие дроби и с помощью правил.

Первый способ

По условию, в школе всего $120$ шестиклассников. Чтобы найти, сколько из них составляет $\Large{\frac{2}{5}}$, нужно вспомнить, что вообще такое дробь, и что означает выражение «$\Large{\frac{2}{5}}$ от $120$».

Можно сказать, что всех учеников разделили на $5$ частей и из них взяли $2$ части. То есть, можно записать это так:

$$(120:5)\cdot2$$

Вычислив, легко находим количество учеников, которые едут на экскурсию:

$$(120:5)\cdot2=24\cdot2=48\space(уч.)$$

{"questions":[{"instruction":"Решите первым способом","content":"В коробке было $9$ конфет. Съели $\\Large{\\frac{2}{3}}$ всех конфет. Сколько конфет съели?<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$6$","$3$","$\\Large{\\frac{3}{2}}$"],"explanations":["$(9:3)\\cdot2=3\\cdot2=6$","",""],"answer":[0]}}}]}

Второй способ

Теперь решим эту же задачу с помощью нового правила.

Чтобы найти от числа часть, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь.

Вспомним правила умножения дробей и умножим $120$ учеников на $\Large{\frac{2}{5}}$:

$$120\cdot\frac{2}{5}=\frac{120\cdot2}{5}=\frac{\overset{24}{\cancel{120}}\cdot2}{\cancel5}=24\cdot2=48\space(уч.)$$

Получили такой же результат, как и первым способом.

В этой задаче мы находили неизвестную часть от известного целого. Встречаются и обратные задачи, где нужно найти целое по его части.

{"questions":[{"instruction":"Решите вторым способом","content":"В коробке было $15$ конфет. Съели $\\Large{\\frac{2}{5}}$ всех конфет. Сколько конфет съели?<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$6$","$5$","$3$"],"explanations":["$15\\cdot\\cfrac{2}{5}=\\cfrac{15\\cdot2}{5}=\\cfrac{30}{5}=6$","",""],"answer":[0]}}}]}

Обратная задача

Здесь мы будем находить неизвестное целое по известной части.

Можно, как и в первой задаче, воспользоваться понятием дроби. Тогда $48$ учеников — это $2$ части из $5$. Нужно найти, чему равна $1$ часть, и умножить её на $5$:

$$(48:2)\cdot5=24\cdot5=120\space(уч.)$$

Также можно воспользоваться правилом. Для обратных задач оно звучит так:

Чтобы найти число по его части, нужно эту часть разделить на дробь, ей соответствующую.

Вспомним правила деления дробей и вычислим:

$$48:\frac{2}{5}=48\cdot\frac{5}{2}=\frac{48\cdot5}{2}=\frac{\overset{24}{\cancel{48}}\cdot5}{\cancel2}=24\cdot5=120\space(уч.)$$

{"questions":[{"instruction":"Решите любым способом","content":"На выборах старосты за Алёну проголосовали $16$ человек, что составляет $\\Large{\\frac{2}{3}}$ от всего класса. Сколько учеников в классе?<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$24$","$32$","$36$"],"explanations":["$16:\\cfrac{2}{3}=16\\cdot\\cfrac{3}{2}=\\cfrac{16\\cdot3}{2}=\\cfrac{48}{2}=24$","",""],"answer":[0]}}}]}

Нахождение дроби

С этими же шестиклассниками, которые никак не могут уехать на экскурсию, можно составить ещё одну задачу. В таких задачах уже известно и целое, и его часть, но неизвестна дробь, которая показывает их соотношение.

Один ученик — это $\Large{\frac{1}{120}}$ от всего количества учеников. Значит, на экскурсию поедут $\Large{\frac{48}{120}}$ учеников. Сократим эту дробь и получим ответ:

$$\frac{48}{120}=\frac{\overset{12}{\cancel{48}}}{\underset{30}{\cancel{120}}}=\frac{\overset{2}{\cancel{12}}}{\underset{5}{\cancel{30}}}=\frac{2}{5}$$

Сформулируем правило, которое мы использовали для этой задачи.

Чтобы узнать, какую часть меньшее число составляет от большего, надо первое число разделить на второе.

{"questions":[{"instruction":"Решите задачу","content":"Мише дают дополнительные карманные деньги, если пятерки составляют $\\Large{\\frac{3}{5}}$ от всех его оценок. За эту четверть Миша получил $15$ пятерок и $10$ четверок, троек и двоек не было. Получит ли Миша карманные деньги?<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да","Нет","Нельзя определить"],"explanations":["$\\cfrac{15}{15+10}=\\cfrac{15}{25}=\\cfrac{3}{5}$","",""],"answer":[0]}}}]}

Решение примеров

Показать решение

Закрыть

Показать решение

Закрыть

Показать решение

Закрыть

Часто задаваемые вопросы