Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Родителю Подписка
КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Классы
Темы
НАЗНАЧИТЬ

«Многоэтажные» дроби

Содержание

В предыдущем уроке вы научились выполнять действия с дробями. Но сама по себе дробь — тоже действие, это деление числителя на знаменатель:

$$7:3=\frac{7}{3}$$

$$10:14=\frac{10}{14}=\frac{\cancel{10}^{\space5}}{\cancel{14}_{\space7}}=\frac{5}{7}$$

То есть, действия $m:n$ и $\dfrac{m}{n}$ — это одно и то же.

Сформулируем:

Черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления двух натуральных чисел.

В этом уроке вы научитесь применять это свойство для решения более сложных, «многоэтажных» примеров.

Применение многоэтажных дробей

Использовать черту дроби вместо деления можно не только с натуральными числами, но и с целыми выражениями:

$$(53+17-2):(36-2)=\frac{53+17-2}{36-2}=\frac{68}{34}=2$$

Это делает запись более компактной.

Важно

Помните, что сокращать дроби можно только в том случае, если в числителе и знаменателе стоит знак умножения!

То есть, в примере выше мы не можем просто взять и сократить двойки, как бы ни хотелось.

Иногда в записи дроби могут находиться и другие дроби:

$$\frac{4+\large{\frac{2}{3}}}{1-\large{\frac{4}{5}}}$$

Такая запись может напугать, но она ничем не отличается от обычного выражения с несколькими действиями, которые нужно выполнять друг за другом:

$$\frac{4+\large{\frac{2}{3}}}{1-\large{\frac{4}{5}}}=\bigg(4\overset{\text{\textcircled 1}}{+}\frac{2}{3}\bigg)\overset{\text{\textcircled 3}}{:}\bigg(1\overset{\text{\textcircled 2}}{-}\frac{4}{5}\bigg)$$

Черта дроби обозначает деление, которое в таких примерах всегда выполняется последним.

Шпаргалка: порядок действий в выражении

Закрыть

  1. Умножение и деление внутри скобок.
  2. Сложение и вычитание внутри скобок.
  3. Умножение и деление вне скобок.
  4. Сложение и вычитание вне скобок.

Если есть несколько равнозначных действий, они выполняются по порядку слева направо.

Решать многоэтажные дроби можно двумя способами. Сначала рассмотрим «классический», по действиям.

Проверьте себя

Попробуйте самостоятельно дорешать пример, который был выше. Если возникнут трудности, сначала прочитайте следующий раздел.

Первый способ решения

Будем искать значение дроби $\cfrac{\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}}{\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{2}}$.

Сначала выполним действие в числителе. Видим дроби с разными знаменателями — нужно привести их к общему знаменателю, как мы делали в предыдущем уроке.

Общим знаменателем будет $15$:

$$1)\space\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{1}{3}^{\space(5}-\frac{1}{5}^{\space(3}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}$$

Нашли значение числителя.

Подсказка

Начинать вычислять многоэтажные дроби по действиям можно как с числителя, так и со знаменателя. Главное, чтобы деление числителя на знаменатель выполнялось последним.

Теперь аналогично выполним действие в знаменателе:

$$2)\space\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}^{\space(2}-\frac{1}{2}^{\space(3}=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6}$$

Нашли значение знаменателя. Теперь разделим числитель на знаменатель.

Как разделить дробь на дробь?

Закрыть

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Выполняем деление и сокращаем ответ:

$$3)\space\frac{\large{\frac{2}{15}}}{\large{\frac{1}{6}}}=\frac{2}{15}:\frac{1}{6}=\frac{2}{15}\cdot\frac{6}{1}=\frac{2\cdot\overset{2}{\cancel6}}{\underset{5}{\cancel{15}}}=\frac{4}{5}$$

Можно записывать решение сразу цепочкой, а не по действиям:

$$\cfrac{\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}}{\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{2}}=\frac{\cfrac{5-3}{15}}{\cfrac{4-3}{6}}=\frac{\cfrac{2}{15}}{\cfrac{1}{6}}=\frac{2}{15}\cdot\frac{6}{1}=\frac{2\cdot6}{15}=\frac{4}{5}$$

Второй способ решения

Если вам легко даётся умножение числа на дробь, например, $30\cdot\large{\frac{2}{3}}$, то второй способ поможет решать многоэтажные дроби быстрее.

Рассмотрим ту же дробь $\frac{\large{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}}{\large{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}}$. Было бы гораздо удобнее, если бы в числителе и знаменателе были не дроби, а целые числа.

Чтобы из дроби получилось целое число, нужно, чтобы знаменатель стал равен $1$, то есть, чтобы он полностью сократился. Например:

$$\frac{20}{5}=\frac{\overset{4}{\cancel{20}}}{\cancel5}=\frac{4}{1}=4$$

Но как получить целое число из дробей вида $\large{\frac{1}{3}}$ или $\large{\frac{1}{5}}$? Для этого нам понадобится дополнительный множитель.

По основному свойству дроби, мы можем безболезненно умножить числитель и знаменатель «большой» дроби на одно и то же число:

$$\cfrac{\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}}{\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{2}}=\frac{x\cdot\large{(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})}}{x\cdot\large{(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})}}$$

При раскрытии скобок число $x$ станет дополнительным множителем для «маленьких» дробей. Чтобы дроби сократились, число $x$ должно делиться без остатка на все знаменатели — то есть, быть для них наименьшим общим кратным.

Для дробей $\large{\frac{1}{3}}$, $\large{\frac{1}{5}}$, $\large{\frac{2}{3}}$ и $\large{\frac{1}{2}}$ наименьшим общим кратным будет $30$. Умножим числитель и знаменатель многоэтажной дроби на это число и раскроем скобки:

$$\cfrac{\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}}{\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{2}}=\frac{30\cdot\large{(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})}}{30\cdot\large{(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})}}=\Large{\frac{\frac{30\cdot1}{3}-\frac{30\cdot1}{5}}{\frac{30\cdot2}{3}-\frac{30\cdot1}{2}}}$$

Сократим все дроби до целых чисел:

$$\frac{\Large{\frac{30\cdot1}{3}-\frac{30\cdot1}{5}}}{\Large{\frac{30\cdot2}{3}-\frac{30\cdot1}{2}}}=\frac{10-6}{20-15}=\frac{4}{5}$$

Получили такой же ответ, как и первым способом.

Решение примеров

Задание 1

Запишите выражение в виде дроби и сократите эту дробь:

$(4\cdot24):(42\cdot8)$

Показать решение

Закрыть

Заменяем знак деления на черту дроби. Скобки при этом можно убрать:

$$(4\cdot24):(42\cdot8)=\frac{4\cdot24}{42\cdot8}$$

Постепенно сокращаем:

$$\frac{4\cdot\overset{3}{\cancel{24}}}{42\cdot\cancel8}=\frac{4\cdot3}{42}=\frac{\overset{2}{\cancel{12}}}{\underset{7}{\cancel{42}}}=\frac{2}{7}$$

Ответ: $\cfrac{2}{7}$ .

Задание 2

Найдите значение выражения:

$\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3}}}}$

Показать решение

Закрыть

Самый нижний знаменатель приведём к неправильной дроби:

$$\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\textcolor{blue}{1+\cfrac{1}{3}}}}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\textcolor{blue}{\cfrac{3}{3}+\cfrac{1}{3}}}}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\textcolor{blue}{\cfrac{4}{3}}}}}$$

Рассмотрим дробь $\Large{\frac{1}{\frac{4}{3}}}$. Если заменить черту дроби на знак деления, то получим $1:\large{\frac{4}{3}}$. По правилу деления дробей, это то же самое, что и $1\cdot\large{\frac{3}{4}}$, то есть, просто $\large{\frac{3}{4}}$ :

$$\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\textcolor{blue}{\cfrac{1}{\cfrac{4}{3}}}}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\textcolor{blue}{\cfrac{3}{4}}}}$$

Снова приводим самый нижний знаменатель к неправильной дроби:

$$\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\textcolor{blue}{1+\cfrac{3}{4}}}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\textcolor{blue}{\cfrac{4}{4}+\cfrac{3}{4}}}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\textcolor{blue}{\cfrac{7}{4}}}}$$

Переворачиваем дробь, как делали до этого:

$$\cfrac{1}{1+\textcolor{blue}{\cfrac{1}{\cfrac{7}{4}}}}=\cfrac{1}{1+\textcolor{blue}{\cfrac{4}{7}}}$$

Упрощаем знаменатель и находим ответ:

$$\cfrac{1}{\textcolor{blue}{1+\cfrac{4}{7}}}=\cfrac{1}{\textcolor{blue}{\cfrac{7}{7}+\cfrac{4}{7}}}=\cfrac{1}{\textcolor{blue}{\cfrac{11}{7}}}=\cfrac{7}{11}$$

Ответ: $\cfrac{7}{11}$ .

Задание 3

Найдите значение выражения:

$\cfrac{\cfrac{1}{4}+\cfrac{2}{3}}{2-\cfrac{1}{6}}$

Показать решение

Закрыть

Будем решать вторым способом. В знаменателях стоят числа $4$, $3$ и $6$. Их наименьшее общее кратное — $12$.

Умножаем числитель и знаменатель многоэтажной дроби на дополнительный множитель:

$$\cfrac{\cfrac{1}{4}+\cfrac{2}{3}}{2-\cfrac{1}{6}}=\cfrac{12\cdot\bigg(\cfrac{1}{4}+\cfrac{2}{3}\bigg)}{12\cdot\bigg(2-\cfrac{1}{6}\bigg)}$$

Раскрываем скобки:

$$\cfrac{12\cdot\bigg(\cfrac{1}{4}+\cfrac{2}{3}\bigg)}{12\cdot\bigg(2-\cfrac{1}{6}\bigg)}=\cfrac{\cfrac{12\cdot1}{4}+\cfrac{12\cdot2}{3}}{12\cdot2-\cfrac{12\cdot1}{6}}$$

Сокращаем дроби:

$$\cfrac{\cfrac{12\cdot1}{4}+\cfrac{12\cdot2}{3}}{12\cdot2-\cfrac{12\cdot1}{6}}=\cfrac{3+8}{24-2}=\cfrac{11}{22}=\cfrac{1}{2}$$

Ответ: $\cfrac{1}{2}$ .

Часто задаваемые вопросы

Что обозначает черта дроби?

Черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления двух натуральных чисел.

Как найти значение многоэтажной дроби?

Чтобы найти значение многоэтажной дроби, нужно сначала найти числитель и знаменатель, затем числитель разделить на знаменатель.

Как разделить дробь на дробь?

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ