«Многоэтажные» дроби

В предыдущем уроке вы научились выполнять действия с дробями. Но сама по себе дробь — тоже действие, это деление числителя на знаменатель:

$$7:3=\frac{7}{3}$$

$$10:14=\frac{10}{14}=\frac{\cancel{10}^{\space5}}{\cancel{14}_{\space7}}=\frac{5}{7}$$

То есть, действия $m:n$ и $\dfrac{m}{n}$ — это одно и то же.

Сформулируем:

Черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления двух натуральных чисел.

В этом уроке вы научитесь применять это свойство для решения более сложных, «многоэтажных» примеров.

Применение многоэтажных дробей

Использовать черту дроби вместо деления можно не только с натуральными числами, но и с целыми выражениями:

$$(53+17-2):(36-2)=\frac{53+17-2}{36-2}=\frac{68}{34}=2$$

Это делает запись более компактной.

Иногда в записи дроби могут находиться и другие дроби:

$$\frac{4+\large{\frac{2}{3}}}{1-\large{\frac{4}{5}}}$$

Такая запись может напугать, но она ничем не отличается от обычного выражения с несколькими действиями, которые нужно выполнять друг за другом:

$$\frac{4+\large{\frac{2}{3}}}{1-\large{\frac{4}{5}}}=\bigg(4\overset{\text{\textcircled 1}}{+}\frac{2}{3}\bigg)\overset{\text{\textcircled 3}}{:}\bigg(1\overset{\text{\textcircled 2}}{-}\frac{4}{5}\bigg)$$

Черта дроби обозначает деление, которое в таких примерах всегда выполняется последним.

Шпаргалка: порядок действий в выражении

Закрыть

Решать многоэтажные дроби можно двумя способами. Сначала рассмотрим «классический», по действиям.

{"questions":[{"content":"$\\cfrac{4+\\cfrac{2}{3}}{1-\\cfrac{4}{5}}=\\space?$<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$23\\dfrac{1}{3}$","$\\dfrac{70}{3}$","$\\dfrac{14}{15}$","$10$"],"explanations":["$\\dfrac{4^{\\space(3}+\\dfrac{2}{3}}{1^{\\space(5}-\\dfrac{4}{5}}=\\dfrac{\\dfrac{12+2}{3}}{\\dfrac{5-4}{5}}=\\dfrac{\\dfrac{14}{3}}{\\dfrac{1}{5}}=\\dfrac{14}{3}\\cdot\\dfrac{5}{1}=\\dfrac{70}{3}=23\\dfrac{1}{3}$","","",""],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$4+\\dfrac{2}{3}=\\dfrac{14}{3}$","$1-\\dfrac{4}{5}=\\dfrac{1}{5}$"]}]}

Первый способ решения

Будем искать значение дроби $\cfrac{\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}}{\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{2}}$.

Сначала выполним действие в числителе. Видим дроби с разными знаменателями — нужно привести их к общему знаменателю, как мы делали в предыдущем уроке.

Общим знаменателем будет $15$:

$$1)\space\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{1}{3}^{\space(5}-\frac{1}{5}^{\space(3}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}$$

Нашли значение числителя.

Теперь аналогично выполним действие в знаменателе:

$$2)\space\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}^{\space(2}-\frac{1}{2}^{\space(3}=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6}$$

Нашли значение знаменателя. Теперь разделим числитель на знаменатель.

Как разделить дробь на дробь?

Закрыть

Выполняем деление и сокращаем ответ:

$$3)\space\frac{\large{\frac{2}{15}}}{\large{\frac{1}{6}}}=\frac{2}{15}:\frac{1}{6}=\frac{2}{15}\cdot\frac{6}{1}=\frac{2\cdot\overset{2}{\cancel6}}{\underset{5}{\cancel{15}}}=\frac{4}{5}$$

Можно записывать решение сразу цепочкой, а не по действиям:

$$\cfrac{\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}}{\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{2}}=\frac{\cfrac{5-3}{15}}{\cfrac{4-3}{6}}=\frac{\cfrac{2}{15}}{\cfrac{1}{6}}=\frac{2}{15}\cdot\frac{6}{1}=\frac{2\cdot6}{15}=\frac{4}{5}$$

{"questions":[{"instruction":"Вычислите первым способом:","content":"$\\cfrac{5}{\\cfrac{1}{2}+\\cfrac{1}{3}}=\\space?$ [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$6$","$5$","$\\frac{2}{3}$","$\\frac{1}{6}$"],"explanations":["$\\cfrac{5}{\\cfrac{1}{2}^{(3}+\\cfrac{1}{3}^{(2}}=\\cfrac{5}{\\cfrac{3}{6}+\\cfrac{2}{6}}=\\cfrac{5}{\\cfrac{5}{6}}=5:\\cfrac{5}{6}=5\\cdot\\cfrac{6}{5}=\\cfrac{\\cancel5\\cdot6}{\\cancel5}=6$","","",""],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}=\\frac{1}{2}^{(3}+\\frac{1}{3}^{(2}=\\frac{3}{6}+\\frac{2}{6}=\\frac{5}{6}$","$\\frac{5}{\\frac{5}{6}}=5:\\frac{5}{6}=5\\cdot\\frac{6}{5}=\\frac{\\cancel5\\cdot6}{\\cancel5}=6$"]}]}

Второй способ решения

Если вам легко даётся умножение числа на дробь, например, $30\cdot\large{\frac{2}{3}}$, то второй способ поможет решать многоэтажные дроби быстрее.

Рассмотрим ту же дробь $\frac{\large{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}}{\large{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}}$. Было бы гораздо удобнее, если бы в числителе и знаменателе были не дроби, а целые числа.

Чтобы из дроби получилось целое число, нужно, чтобы знаменатель стал равен $1$, то есть, чтобы он полностью сократился. Например:

$$\frac{20}{5}=\frac{\overset{4}{\cancel{20}}}{\cancel5}=\frac{4}{1}=4$$

Но как получить целое число из дробей вида $\large{\frac{1}{3}}$ или $\large{\frac{1}{5}}$? Для этого нам понадобится дополнительный множитель.

По основному свойству дроби, мы можем безболезненно умножить числитель и знаменатель «большой» дроби на одно и то же число:

$$\cfrac{\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}}{\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{2}}=\frac{x\cdot\large{(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})}}{x\cdot\large{(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})}}$$

При раскрытии скобок число $x$ станет дополнительным множителем для «маленьких» дробей. Чтобы дроби сократились, число $x$ должно делиться без остатка на все знаменатели — то есть, быть для них наименьшим общим кратным.

Для дробей $\large{\frac{1}{3}}$, $\large{\frac{1}{5}}$, $\large{\frac{2}{3}}$ и $\large{\frac{1}{2}}$ наименьшим общим кратным будет $30$. Умножим числитель и знаменатель многоэтажной дроби на это число и раскроем скобки:

$$\cfrac{\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}}{\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{2}}=\frac{30\cdot\large{(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})}}{30\cdot\large{(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})}}=\Large{\frac{\frac{30\cdot1}{3}-\frac{30\cdot1}{5}}{\frac{30\cdot2}{3}-\frac{30\cdot1}{2}}}$$

Сократим все дроби до целых чисел:

$$\frac{\Large{\frac{30\cdot1}{3}-\frac{30\cdot1}{5}}}{\Large{\frac{30\cdot2}{3}-\frac{30\cdot1}{2}}}=\frac{10-6}{20-15}=\frac{4}{5}$$

Получили такой же ответ, как и первым способом.

{"questions":[{"instruction":"Вычислите вторым способом:","content":"$\\cfrac{1-\\cfrac{1}{5}}{2}=\\space?$  <br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\cfrac{2}{5}$","$5$","$\\cfrac{1}{2}$","$1$"],"explanations":["$\\cfrac{1-\\cfrac{1}{5}}{2}=\\cfrac{5\\cdot\\Big(1-\\cfrac{1}{5}\\space\\Big)}{5\\cdot2}=\\cfrac{5-1}{10}=\\cfrac{4}{10}=\\cfrac{2}{5}$","","",""],"answer":[0]}},"hints":["Дополнительный множитель — $5$"]}]}

Решение примеров

Показать решение

Закрыть

Показать решение

Закрыть

Показать решение

Закрыть

Часто задаваемые вопросы