0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Умножение смешанных чисел

Содержание

    При умножении и делении смешанных дробей мы, как правило, переводим смешанное число в неправильную дробь, а затем выполняем действие с ней. Разберём подробно, как это происходит, и какие ошибки часто допускают при подобном умножении.

    На что следует обратить внимание

    Важно понимать, что, когда мы записываем смешанное число, между целой и дробной частью можно поставить знак сложения, а не умножения.

    Например, нам часто встречается запись типа $ab$, и такая запись подразумевает $a \cdot b$, тогда как запись вида $a\frac{b}{c}$ подразумевает $a + \frac{b}{c}$. Сходство этих написаний может запутать, поэтому об этой особенности нужно помнить.

    Рисунок 1

    Это важно учитывать ещё и потому, что, привыкнув сокращать дроби, многие ученики пытаются их сокращать и в случае со смешанными числами. Например, так:

    Рисунок 2

    Важно запомнить:

    При сокращении дробей сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя.

    Умножение смешанного числа на натуральное число

    Для того чтобы умножить натуральное число и смешанную дробь, нужно сначала перевести смешанную дробь в неправильную, а затем умножить числитель дроби на натуральное число.

    Итак, сначала нужно представить целую часть смешанной дроби в виде неправильной дроби. Для этого нам нужно умножить числитель на знаменатель и записать полученное число в числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Попробуем записать это буквами.

    $$a \cdot b\frac{c}{d} = a \cdot \Big(\frac{b \cdot d}{d} + \frac{c}{d} \Big)$$

    При желании эту запись можно продолжить так:

    $$ a \cdot \Big(\frac{b \cdot d}{d} + \frac{c}{d} \Big) = \frac{ a \cdot (b \cdot d + c)}{d}$$

    Погодите, но у нас в числителе и знаменателе есть одинаковые буквы! Может быть, их можно убрать, сократив тем самым дробь?

    Показать ответ

    Скрыть

    Нет, так сократить дробь нельзя. Ведь слагаемые нельзя сокращать.

    Рисунок 3

    Давайте проверим на примере:

    $$4 \cdot 6\frac{1}{3}$$

    Сначала переведём число $6$ в неправильную дробь со знаменателем $3$.

    $$4 \cdot 6\frac{1}{3} = 4 \cdot \Big(\frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} \Big)$$

    Теперь проведём вычисление в скобках – то есть сложим части дроби и получим неправильную дробь. Затем будем умножать $4$ на эту неправильную дробь так, как обычно умножают натуральное число на дробь: умножаем натуральное число на числитель, а знаменатель оставляем без изменений.

    $$4 \cdot \frac{18 + 1}{3} = \frac{4 \cdot 19}{3} = \frac{76}{3}$$

    У нас получилась неправильная дробь, из которой выделяем целую часть

    $$\frac{76}{3} = 25\frac{1}{3}$$

    Но можно ли было решать по-другому?

    На самом деле можно. Существует распределительный закон умножения, согласно которому $n \cdot (a + b) = n \cdot a + n \cdot b$

    Проверим, срабатывает ли этот способ.

    $$4 \cdot \Big(6 + \frac{1}{3} \Big) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot \frac{1}{3} = 24 + \frac{4}{3} = 24 + 1 + \frac{1}{3} = 25\frac{1}{3}$$

    Да, всё получилось. Тем не менее больше распространён способ, при котором смешанные дроби переводят в неправильные. Это универсальный способ, верный также для умножения смешанных чисел на дроби.

    Умножение смешанных чисел на дроби

    При умножении смешанного числа на дробь смешанное число необходимо представить в виде неправильной дроби, а затем произвести умножение по обычным правилам умножения дроби на дробь: числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

    Разберём на примере такой задачи.

    Ширина отреза ткани $3\frac{3}{8}$ метра, а ширина — $\frac{1}{2}$ метра. Какова площадь этого куска ткани?

    Для того чтобы умножить дроби, переведём смешанную дробь в неправильную. У нас получится

    $$3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2}$$

    Выполняем умножение:

    $$\frac{27 \cdot 1}{8 \cdot 2} = \frac{27}{16} = 1\frac{11}{16}$$

    Можно ли было применить распределительный закон умножения?

    В принципе, да. Но в таком случае у нас получится сумма дробей, ведь при умножении целой части смешанной дроби на дробное число получится дробь. Нужно будет приводить слагаемые к общему знаменателю. Давайте посмотрим:

    $$3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} =  3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2}$$

    $$\frac{3}{2} + \frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{3}{16} = \frac{24 + 3}{16}$$

    $$\frac{27}{16} = 1\frac{11}{16}$$

    Как видим, удобнее и проще переводить смешанную дробь в неправильную.

    Умножение смешанного числа на смешанное число

    При умножении одного смешанного числа на другое смешанное число оба множителя переводят в неправильные дроби, а затем умножают их по обычным правилам умножения дроби на дробь.

    Образавр поехал на велосипеде в соседний город. Он ехал $2\frac{1}{3}$ часа со скоростью $12\frac{4}{5}$ км/ч. Какое расстояние он проехал?

    Показать решение

    Скрыть

    Чтобы произвести умножение смешанных дробей, сначала переведём обе смешанные дроби в неправильные.

    $$2\frac{1}{3} \cdot 12\frac{4}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{64}{5}$$

    Затем выполним умножение дробей:

    $$\frac{7\cdot 64}{3 \cdot 5} = \frac{448}{15} = 29\frac{13}{15}$$

    Какие можно сделать выводы?

    Самый распространённый способ умножения смешанных чисел требует сначала перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем применять к ней правила, обычные для умножения дробей.

    При действиях со смешанными числами необходимо с осторожностью применять сокращение дробей, всегда проверяя, не является ли сокращаемое число слагаемым. Слагаемые сокращать нельзя, решение не будет верным.

    Помня эти два принципа, работать со смешанными числами достаточно легко, примеры с ними часто можно посчитать устно, выполняя все промежуточные этапы в уме.

    Добавим, что иногда произведение будет неправильной дробью. Следует выделять целое число и записывать результат в виде смешанной дроби.

    Деление смешанных чисел происходит по сходным правилам.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение