Умножение смешанных чисел
При умножении и делении смешанных дробей мы, как правило, переводим смешанное число в неправильную дробь, а затем выполняем действие с ней. Разберём подробно, как это происходит, и какие ошибки часто допускают при подобном умножении.
На что следует обратить внимание
Важно понимать, что, когда мы записываем смешанное число, между целой и дробной частью можно поставить знак сложения, а не умножения.
Например, нам часто встречается запись типа $ab$, и такая запись подразумевает $a \cdot b$, тогда как запись вида $a\frac{b}{c}$ подразумевает $a + \frac{b}{c}$. Сходство этих написаний может запутать, поэтому об этой особенности нужно помнить.
Это важно учитывать ещё и потому, что, привыкнув сокращать дроби, многие ученики пытаются их сокращать и в случае со смешанными числами. Например, так:
Важно запомнить:
При сокращении дробей сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя.
Умножение смешанного числа на натуральное число
Для того чтобы умножить натуральное число и смешанную дробь, нужно сначала перевести смешанную дробь в неправильную, а затем умножить числитель дроби на натуральное число.
Итак, сначала нужно представить целую часть смешанной дроби в виде неправильной дроби. Для этого нам нужно умножить числитель на знаменатель и записать полученное число в числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Попробуем записать это буквами.
$$a \cdot b\frac{c}{d} = a \cdot \Big(\frac{b \cdot d}{d} + \frac{c}{d} \Big)$$
При желании эту запись можно продолжить так:
$$ a \cdot \Big(\frac{b \cdot d}{d} + \frac{c}{d} \Big) = \frac{ a \cdot (b \cdot d + c)}{d}$$
Погодите, но у нас в числителе и знаменателе есть одинаковые буквы! Может быть, их можно убрать, сократив тем самым дробь?
Показать ответ
Скрыть
Нет, так сократить дробь нельзя. Ведь слагаемые нельзя сокращать.
Давайте проверим на примере:
$$4 \cdot 6\frac{1}{3}$$
Сначала переведём число $6$ в неправильную дробь со знаменателем $3$.
$$4 \cdot 6\frac{1}{3} = 4 \cdot \Big(\frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} \Big)$$
Теперь проведём вычисление в скобках – то есть сложим части дроби и получим неправильную дробь. Затем будем умножать $4$ на эту неправильную дробь так, как обычно умножают натуральное число на дробь: умножаем натуральное число на числитель, а знаменатель оставляем без изменений.
$$4 \cdot \frac{18 + 1}{3} = \frac{4 \cdot 19}{3} = \frac{76}{3}$$
У нас получилась неправильная дробь, из которой выделяем целую часть
$$\frac{76}{3} = 25\frac{1}{3}$$
Но можно ли было решать по-другому?
На самом деле можно. Существует распределительный закон умножения, согласно которому $n \cdot (a + b) = n \cdot a + n \cdot b$
Проверим, срабатывает ли этот способ.
$$4 \cdot \Big(6 + \frac{1}{3} \Big) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot \frac{1}{3} = 24 + \frac{4}{3} = 24 + 1 + \frac{1}{3} = 25\frac{1}{3}$$
Да, всё получилось. Тем не менее больше распространён способ, при котором смешанные дроби переводят в неправильные. Это универсальный способ, верный также для умножения смешанных чисел на дроби.
Умножение смешанных чисел на дроби
При умножении смешанного числа на дробь смешанное число необходимо представить в виде неправильной дроби, а затем произвести умножение по обычным правилам умножения дроби на дробь: числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.
Разберём на примере такой задачи.
Ширина отреза ткани $3\frac{3}{8}$ метра, а ширина — $\frac{1}{2}$ метра. Какова площадь этого куска ткани?
Для того чтобы умножить дроби, переведём смешанную дробь в неправильную. У нас получится
$$3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2}$$
Выполняем умножение:
$$\frac{27 \cdot 1}{8 \cdot 2} = \frac{27}{16} = 1\frac{11}{16}$$
Можно ли было применить распределительный закон умножения?
В принципе, да. Но в таком случае у нас получится сумма дробей, ведь при умножении целой части смешанной дроби на дробное число получится дробь. Нужно будет приводить слагаемые к общему знаменателю. Давайте посмотрим:
$$3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2}$$
$$\frac{3}{2} + \frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{3}{16} = \frac{24 + 3}{16}$$
$$\frac{27}{16} = 1\frac{11}{16}$$
Как видим, удобнее и проще переводить смешанную дробь в неправильную.
Умножение смешанного числа на смешанное число
При умножении одного смешанного числа на другое смешанное число оба множителя переводят в неправильные дроби, а затем умножают их по обычным правилам умножения дроби на дробь.
Образавр поехал на велосипеде в соседний город. Он ехал $2\frac{1}{3}$ часа со скоростью $12\frac{4}{5}$ км/ч. Какое расстояние он проехал?
Показать решение
Скрыть
Чтобы произвести умножение смешанных дробей, сначала переведём обе смешанные дроби в неправильные.
$$2\frac{1}{3} \cdot 12\frac{4}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{64}{5}$$
Затем выполним умножение дробей:
$$\frac{7\cdot 64}{3 \cdot 5} = \frac{448}{15} = 29\frac{13}{15}$$
Какие можно сделать выводы?
Самый распространённый способ умножения смешанных чисел требует сначала перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем применять к ней правила, обычные для умножения дробей.
При действиях со смешанными числами необходимо с осторожностью применять сокращение дробей, всегда проверяя, не является ли сокращаемое число слагаемым. Слагаемые сокращать нельзя, решение не будет верным.
Помня эти два принципа, работать со смешанными числами достаточно легко, примеры с ними часто можно посчитать устно, выполняя все промежуточные этапы в уме.
Добавим, что иногда произведение будет неправильной дробью. Следует выделять целое число и записывать результат в виде смешанной дроби.
Деление смешанных чисел происходит по сходным правилам.
Хотите оставить комментарий?
Войти