Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Английский язык Русский язык Геометрия Физика Всеобщая история Обществознание География Биология
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Умножение смешанных чисел

Содержание

    При умножении и делении смешанных чисел мы, как правило, переводим смешанное число в неправильную дробь, а затем выполняем действие с ней. Разберём подробно, как это происходит.

    Умножение смешанного числа на натуральное число

    Важно понимать, что, когда мы записываем смешанное число, между целой и дробной частью можно поставить знак сложения, а не умножения.

    Например, нам часто встречается запись типа $ab$, и такая запись подразумевает $a \cdot b$, тогда как запись вида $a\frac{b}{c}$ подразумевает $a + \frac{b}{c}$. Сходство этих написаний может запутать, поэтому об этой особенности нужно помнить.

    Рисунок 1

    Это важно учитывать ещё и потому, что, привыкнув сокращать дроби, многие ученики пытаются их сокращать и в случае со смешанными числами. Например, так:

    Рисунок 2

    Важно запомнить:

    При сокращении дробей сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя.

    Для того, чтобы умножить натуральное число и смешанную дробь, нужно сначала перевести смешанную дробь в неправильную, а затем умножить числитель дроби на натуральное число.

    Итак, сначала нужно представить целую часть смешанной дроби в виде неправильной дроби. Для этого нам нужно умножить числитель на знаменатель и записать полученное число в числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Попробуем записать это буквами.

    $$a \cdot b\frac{c}{d} = a \cdot \Big(\frac{b \cdot d}{d} + \frac{c}{d} \Big)$$

    При желании эту запись можно продолжить так:

    $$ a \cdot \Big(\frac{b \cdot d}{d} + \frac{c}{d} \Big) = \frac{ a \cdot (b \cdot d + c)}{d}$$

    Погодите, но у нас в числителе и знаменателе есть одинаковые буквы! Может быть, их можно убрать, сократив тем самым дробь?

    Показать ответ

    Скрыть

    Нет, так сократить дробь нельзя. Ведь слагаемые нельзя сокращать.

    Рисунок 3

    Давайте проверим на примере:

    $$4 \cdot 6\frac{1}{3}$$

    Сначала переведём число $6$ в неправильную дробь со знаменателем $3$.

    $$4 \cdot 6\frac{1}{3} = 4 \cdot \Big(\frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} \Big)$$

    Теперь проведём вычисление в скобках – то есть сложим части дроби и получим неправильную дробь. Затем будем умножать $4$ на эту неправильную дробь так, как обычно умножают натуральное число на дробь: умножаем натуральное число на числитель, а знаменатель оставляем без изменений.

    $$4 \cdot \frac{18 + 1}{3} = \frac{4 \cdot 19}{3} = \frac{76}{3}$$

    У нас получилась неправильная дробь, из которой выделяем целую часть

    $$\frac{76}{3} = 25\frac{1}{3}$$

    Но можно ли было решать по-другому?

    На самом деле можно. Существует распределительный закон умножения, согласно которому $n \cdot (a + b) = n \cdot a + n \cdot b$

    Проверим, срабатывает ли этот способ.

    $$4 \cdot \Big(6 + \frac{1}{3} \Big) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot \frac{1}{3} = 24 + \frac{4}{3} = 24 + 1 + \frac{1}{3} = 25\frac{1}{3}$$

    Да, всё получилось. Тем не менее больше распространён способ, при котором смешанные дроби переводят в неправильные. Это универсальный способ, верный также для умножения смешанных чисел на дроби.

    Умножение смешанных чисел на дроби

    При умножении смешанного числа на дробь смешанное число необходимо представить в виде неправильной дроби, а затем произвести умножение по обычным правилам умножения дроби на дробь: числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

    Разберём на примере такой задачи.

    Ширина отреза ткани $3\frac{3}{8}$ метра, а ширина – $\frac{1}{2}$ метра. Какова площадь этого куска ткани?

    Для того, чтобы умножить дроби, переведём смешанную дробь в неправильную. У нас получится

    $$3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2}$$

    Выполняем умножение:

    $$\frac{27 \cdot 1}{8 \cdot 2} = \frac{27}{16} = 1\frac{11}{16}$$

    Можно ли было применить распределительный закон умножения?

    В принципе, да. Но в таком случае у нас получится сумма дробей, ведь при умножении целой части смешанной дроби на дробное число получится дробь. Нужно будет приводить слагаемые к общему знаменателю. Давайте посмотрим:

    $$3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} =  3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2}$$

    $$\frac{3}{2} + \frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{3}{16} = \frac{24 + 3}{16}$$

    $$\frac{27}{16} = 1\frac{11}{16}$$

    Как видим, удобнее и проще переводить смешанную дробь в неправильную.

    Умножение смешанного числа на смешанное число

    При умножении одного смешанного числа на другое смешанное число оба множителя переводят в неправильные дроби, а затем умножают их по обычным правилам умножения дроби на дробь.

    Образавр поехал на велосипеде в соседний город. Он ехал $2\frac{1}{3}$ часа со скоростью $12\frac{4}{5}$ км/ч. Какое расстояние он проехал?

    Показать решение

    Скрыть

    Сначала переведём обе смешанные дроби в неправильные.

    $$2\frac{1}{3} \cdot 12\frac{4}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{64}{5}$$

    Затем выполним умножение дробей:

    $$\frac{7\cdot 64}{3 \cdot 5} = \frac{448}{15} = 29\frac{13}{15}$$

    Какие можно сделать выводы?

    Самый распространённый способ умножения смешанных чисел требует сначала перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем применять к ней правила, обычные для умножения дробей.

    При действиях со смешанными числами необходимо с осторожностью применять сокращение дробей, всегда проверяя, не является ли сокращаемое число слагаемым. Слагаемые сокращать нельзя, решение не будет верным.

    Помня эти два принципа, работать со смешанными числами достаточно легко, примеры с ними часто можно посчитать устно, выполняя все промежуточные этапы в уме.

    Добавим, что иногда произведение будет неправильной дробью. Следует выделять целое число и записывать результат в виде смешанной дроби.

    Деление смешанных чисел происходит по сходным правилам.

    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение