Умножение смешанных чисел

При умножении и делении смешанных дробей мы, как правило, переводим смешанное число в неправильную дробь, а затем выполняем действие с ней. Разберём подробно, как это происходит, и какие ошибки часто допускают при подобном умножении.

На что следует обратить внимание

Важно понимать, что, когда мы записываем смешанное число, между целой и дробной частью можно поставить знак сложения, а не умножения.

Например, нам часто встречается запись типа $ab$, и такая запись подразумевает $a \cdot b$, тогда как запись вида $a\frac{b}{c}$ подразумевает $a + \frac{b}{c}$. Сходство этих написаний может запутать, поэтому об этой особенности нужно помнить.

Это важно учитывать ещё и потому, что, привыкнув сокращать дроби, многие ученики пытаются их сокращать и в случае со смешанными числами. Например, так:

Важно запомнить:

При сокращении дробей сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя.

Умножение смешанного числа на натуральное число

Для того чтобы умножить натуральное число и смешанную дробь, нужно сначала перевести смешанную дробь в неправильную, а затем умножить числитель дроби на натуральное число.

Итак, сначала нужно представить целую часть смешанной дроби в виде неправильной дроби. Для этого нам нужно умножить числитель на знаменатель и записать полученное число в числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Попробуем записать это буквами.

$$a \cdot b\frac{c}{d} = a \cdot \Big(\frac{b \cdot d}{d} + \frac{c}{d} \Big)$$

При желании эту запись можно продолжить так:

$$ a \cdot \Big(\frac{b \cdot d}{d} + \frac{c}{d} \Big) = \frac{ a \cdot (b \cdot d + c)}{d}$$

Погодите, но у нас в числителе и знаменателе есть одинаковые буквы! Может быть, их можно убрать, сократив тем самым дробь?

Показать ответ

Скрыть

Нет, так сократить дробь нельзя. Ведь слагаемые нельзя сокращать.

Давайте проверим на примере:

$$4 \cdot 6\frac{1}{3}$$

Сначала переведём число $6$ в неправильную дробь со знаменателем $3$.

$$4 \cdot 6\frac{1}{3} = 4 \cdot \Big(\frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} \Big)$$

Теперь проведём вычисление в скобках – то есть сложим части дроби и получим неправильную дробь. Затем будем умножать $4$ на эту неправильную дробь так, как обычно умножают натуральное число на дробь: умножаем натуральное число на числитель, а знаменатель оставляем без изменений.

$$4 \cdot \frac{18 + 1}{3} = \frac{4 \cdot 19}{3} = \frac{76}{3}$$

У нас получилась неправильная дробь, из которой выделяем целую часть

$$\frac{76}{3} = 25\frac{1}{3}$$

Но можно ли было решать по-другому?

На самом деле можно. Существует распределительный закон умножения, согласно которому $n \cdot (a + b) = n \cdot a + n \cdot b$

Проверим, срабатывает ли этот способ.

$$4 \cdot \Big(6 + \frac{1}{3} \Big) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot \frac{1}{3} = 24 + \frac{4}{3} = 24 + 1 + \frac{1}{3} = 25\frac{1}{3}$$

Да, всё получилось. Тем не менее больше распространён способ, при котором смешанные дроби переводят в неправильные. Это универсальный способ, верный также для умножения смешанных чисел на дроби.

Умножение смешанных чисел на дроби

При умножении смешанного числа на дробь смешанное число необходимо представить в виде неправильной дроби, а затем произвести умножение по обычным правилам умножения дроби на дробь: числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

Разберём на примере такой задачи.

Ширина отреза ткани $3\frac{3}{8}$ метра, а ширина — $\frac{1}{2}$ метра. Какова площадь этого куска ткани?

Для того чтобы умножить дроби, переведём смешанную дробь в неправильную. У нас получится

$$3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2}$$

Выполняем умножение:

$$\frac{27 \cdot 1}{8 \cdot 2} = \frac{27}{16} = 1\frac{11}{16}$$

Можно ли было применить распределительный закон умножения?

В принципе, да. Но в таком случае у нас получится сумма дробей, ведь при умножении целой части смешанной дроби на дробное число получится дробь. Нужно будет приводить слагаемые к общему знаменателю. Давайте посмотрим:

$$3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} =  3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2}$$

$$\frac{3}{2} + \frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{3}{16} = \frac{24 + 3}{16}$$

$$\frac{27}{16} = 1\frac{11}{16}$$

Как видим, удобнее и проще переводить смешанную дробь в неправильную.

Умножение смешанного числа на смешанное число

При умножении одного смешанного числа на другое смешанное число оба множителя переводят в неправильные дроби, а затем умножают их по обычным правилам умножения дроби на дробь.

Образавр поехал на велосипеде в соседний город. Он ехал $2\frac{1}{3}$ часа со скоростью $12\frac{4}{5}$ км/ч. Какое расстояние он проехал?

Показать решение

Скрыть

Какие можно сделать выводы?

Самый распространённый способ умножения смешанных чисел требует сначала перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем применять к ней правила, обычные для умножения дробей.

При действиях со смешанными числами необходимо с осторожностью применять сокращение дробей, всегда проверяя, не является ли сокращаемое число слагаемым. Слагаемые сокращать нельзя, решение не будет верным.

Помня эти два принципа, работать со смешанными числами достаточно легко, примеры с ними часто можно посчитать устно, выполняя все промежуточные этапы в уме.

Добавим, что иногда произведение будет неправильной дробью. Следует выделять целое число и записывать результат в виде смешанной дроби.

Деление смешанных чисел происходит по сходным правилам.

{"questions":[{"content":"Соедините примеры с ответами[[matcher-8]]","widgets":{"matcher-8":{"type":"matcher","labels":["$4 \\cdot 6\\frac{3}{23}$","$3 \\cdot 7\\frac{8}{9}$","$4 \\cdot 5\\frac{3}{5}$","$5 \\cdot 4\\frac{10}{13}$"],"items":["$24\\frac{12}{23}$","$22\\frac{2}{3}$","$22\\frac{2}{5}$","$23\\frac{11}{13}$"]}}},{"content":"Укажите примеры, в которых можно провести сокращение дробей.[[choice-16]]","widgets":{"choice-16":{"type":"choice","options":["$\\frac{15 + 2}{3}$","$\\frac{6 \\cdot 2 + 8}{2}$","$\\frac{14\\cdot 3}{7}$","$\\frac{6 + 24}{6}$"],"explanations":["","","В данном примере можно сократить множители $14$ и $7$",""],"answer":[2]}}},{"content":"Выполните умножение смешанных дробей<br />$6\\frac{2}{3} \\cdot 3\\frac{3}{4}$[[input-35]]","widgets":{"input-35":{"type":"input","answer":"25"}},"step":1,"hints":["Представим смешанные дроби в виде неправильных дробей, затем произведём умножение числителя с числителем, а знаменателя со знаменателем.","$\\frac{(6 \\cdot 3 + 2) \\cdot (3 \\cdot 4 + 3)}{3 \\cdot 4} = \\frac{20 \\cdot 15}{12} = \\frac{300}{12} = 25$"]}]}