Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Английский язык Русский язык Геометрия Физика Всеобщая история Обществознание География Биология
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Умножение дробных чисел

Содержание

    Умножать дробные числа очень легко, достаточно запомнить простое правило. Но чтобы лучше понять это правило и понимать принципы, по которым происходит умножение дробных чисел, мы разберём эту тему подробно и постепенно.

    Уменьшение чисел при умножении на дробь

    Однажды Образавр собирался перекусить и поставил на стол четвертинку арбуза. Ему показалось, что как-то маловато, и он принёс ещё одну четвертинку. У него сложилась половина арбуза.

    $$\frac{1}{4} + \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

    И тут он подумал. Ведь когда мы что-то берём несколько раз, мы умножаем количество того, что берём, на количество раз.

    $$\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}$$

    Странно как-то. Он взял арбуз два раза, но получилось не два арбуза, а всего лишь половинка! То есть

    $$2 \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

    Мы привыкли, что при умножении натуральных чисел произведение получается больше, чем множители. Но при умножении дробей выходит иначе.

    Например, чтобы снова получился целый арбуз – $1$ – нужно увеличить $\frac{1}{4}$ в $4$ раза. Это уже не умножение, это деление какое-то получается!

    $$4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{4}$$

    Образавр решил проверить умножение на дробь на яблоках. Он разрезал яблоко на две части и взял половину. У него получился вот такой пример:

    $$1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

    И тут он вспомнил! Это же правило умножения числа на дробь!

    При умножении числа на дробь число умножается на числитель данной дроби, а знаменатель дроби остаётся без изменений.

    Таким образом, если один из множителей – правильная дробь, а другой – натуральное число, то произведение будет меньше, чем это натуральное число.

    Кстати, при умножении на дробь иногда можно применить очень интересный приём. Давайте с ним ознакомимся.

    Сокращение при умножении целого числа на дробь

    Решим вот такой пример:

    $$20\cdot \frac{5}{20}$$

    Его можно решить двумя способами. Первый способ:

    $$20\cdot \frac{5}{20} = \frac{20\cdot 5}{20} = \frac{100}{20} = 5$$

    Но есть и второй способ.

    Рисунок 1

    И в том, и в другом случае получается одинаковый результат.

    Число, умножаемое на дробь, и знаменатель дроби могут быть сокращены, если у них есть общий делитель и этот делитель больше единицы.

    Разберём ещё примеры:

    $$12\cdot \frac{5}{18} = \frac{2 \cdot 5}{3}$$

    Догадаетесь, как получилось такое равенство?

    Показать ответ

    Скрыть

    Рисунок 2

    Мы сократили $12$ и $18$, разделив их на одинаковое число.

    Решать такой пример гораздо проще.

    $$\frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3}=3\frac{1}{3}$$

    Сокращать множитель и знаменатель дроби можно как в самом начале, так и в ходе решения:

    $$12\cdot \frac{5}{18} = \frac{12 \cdot 5}{18}$$

    Рисунок 3

    А можно ли сократить вот такой пример?

    $$11\cdot \frac{1}{18}$$

    Нет, так как $11$ и $18$ не имеют общих множителей.

    Умножение дроби на дробь

    Теперь, когда мы закрепили умножение дроби на целое число, давайте узнаем, как умножать между собой дробные числа.

    «Если я беру половину яблока один раз, у меня получается $1$ умножить на $\frac{1}{2}$… А что, если я попробую взять половину яблока не $1$, а $\frac{1}{2}$ раза? То есть $\frac{1}{2}$ умножить на $\frac{1}{2}$?» – подумал Образавр.

    Он взял половину яблока и разрезал её ещё на две половинки. Затем он взял получившийся кусочек и увидел – получилась четвертинка.

    $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

    «То есть умножить на $\frac{1}{2}$ – это всё равно, что разделить на $2$», – решил Образавр.

    Давайте рассмотрим умножение на дробь ещё на одном примере.

    На рисунке 4 изображён прямоугольник, разбитый на $12$ квадратов. $\frac{2}{3}$ квадратов закрашены голубым.

    Рисунок 4

    Теперь перечеркнём красной чертой $\frac{3}{4}$  из этих квадратов. Для этого закрашенную область разделим на $4$ равные части и перечеркнём $3$ из них (рисунок 5).

    Рисунок 5

    Получается, мы делим дробь на знаменатель и умножаем на числитель. Это можно было бы записать вот так:

    $$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{3} : 4 \cdot 3$$

    Но обычно записывают по-другому:

    $$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4} = \frac{2\cdot 3}{3\cdot 4}$$

    $$\frac{2\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$

    По клеточкам легко проверить, что мы посчитали правильно.

    При умножении дробей нужно перемножить числители и произведение записать в числитель, также перемножить знаменатели и произведение записать в знаменатель. Полученную дробь называют произведением дробей.
    $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$

    Сокращение чисел при умножении дробей

    Рассмотрим ещё один пример.

    $$\frac{6}{7}\cdot \frac{5}{6} = \frac{6\cdot 5}{7 \cdot 6} = \frac{5\cdot 6}{7 \cdot 6}$$

    Зная, что от перестановки множителей местами произведение не изменяется, мы можем поменять местами множители в числителе или в знаменателе дроби на своё усмотрение.

    Но если мы это можем сделать, то верно и такое равенство:

    $$\frac{5\cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{5}{7}\cdot \frac{6}{6}$$

    А что такое $\frac{6}{6}$? Это же $1$!

    Получается, мы можем свободно «вычеркнуть» одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби.

    На всякий случай можно проверить и провести вычисления:

    $$\frac{6\cdot 5}{7 \cdot 6} = \frac{30}{42}$$

    Полученная дробь сокращается до $\frac{5}{7}$. Кстати, чтобы получить $\frac{5}{7}$, нам как раз нужно разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{30}{42}$ на $6$.

    Следовательно, мы не ошибаемся.

    Давайте потренируемся ещё.

    $$\frac{8}{27} \cdot \frac{9}{32}$$

    В этом примере также можно применять сокращение. Представим $32$ как $8 \cdot 4$. Таким образом, мы можем сразу сократить числитель первой дроби до $1$, а знаменатель второй до $4$. А можем ли мы что-то сделать со знаменателем первой дроби и числителем второй?

    Показать ответ

    Скрыть

    Рисунок 6

    Как видите, сокращение очень облегчает процесс умножения дробей.

    При умножении дробей возможно сокращать числа, имеющие общий делитель, если этот делитель больше единицы. Сокращать можно только числа, стоящие в числителе, с числами, находящимися  знаменателе. Числитель с числителем или знаменатель с знаменателем нельзя сократить.

    А теперь давайте закрепим знания.

    Рисунок 7
    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение