Деление на дроби. Обратные дроби

Правило деления обыкновенной дроби на дробь очень похоже на правило умножения, и также допускает сокращение дробей. Познакомимся с ним подробнее. Также на этом уроке мы рассмотрим обратные дроби.

Деление натурального числа на дробь

Дроби тесно связаны с делением, даже черта, отделяющая числитель от знаменателя, является знаком деления.

Известно, что при умножении натурального числа на дробь число умножается на числитель, а знаменатель остаётся без изменения. Получается, например, так:

$$4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Таким образом,

$$4 \cdot \frac{1}{2} = 4 : 2$$

Но что же будет, если мы будем не умножать число на дробь, а делить?

При делении на дробь число умножают на её знаменатель и делят на её числитель.

Мы словно «переворачиваем» дробь. У нас получается обратная дробь (подробнее об обратных дробях мы поговорим немного позднее).

Буквами это можно записать так:

$$a : \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{b}$$

Если нам нужно разделить целое число на дробь, это как если бы мы хотели определить, сколько дробных кусочков содержится в этом числе.

Рассмотрим на примере. На рисунке 2 изображён отрезок АВ, его длина 4 см. Длина отрезка АС $\frac{1}{2}$ см. Нам нужно узнать, сколько отрезков такой длины поместится в отрезок АВ.

$$4 : \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{1} = 8$$

Проверим по клеточкам. Действительно, у нас получилось 8 частей длиной $\frac{1}{2}$ см

Давайте немного потренируемся. Решим вот такой пример:

$$1 : \frac{2}{3}$$

Показать решение

Скрыть

Ещё один пример для тренировки:

$$10 : \frac{5}{6}$$

Такой пример можно решить двумя способами.

Показать первый способ

Скрыть

Показать второй способ

Скрыть

Второй способ состоит в том, что мы, начав делать вычисление по формуле, можем сократить дробь, разделив один из множителей в числителе и знаменатель на одно и то же число. В данном случае мы можем разделить $10$ и $5$ на $5$ :

Умение сокращать дроби также пригодится нам при делении дроби на дробь.

Деление дробного числа на дробное число

При делении дроби на дробь применяется тот же принцип, что и при делении натурального числа на дробь: нам нужно умножить делимое на знаменатель и разделить на числитель.

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$

На рисунке 4 изображён прямоугольник, $\frac{1}{2}$ которого закрашена в фиолетовый цвет. Попробуем разделить $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{4}$ и посмотрим, какую площадь будет занимать частное.

$$\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1\cdot 4}{2\cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Разделим наш прямоугольник на $6$ и зачеркнём $4$ доли (рисунок 5)

Интересно то, что результат деления, частное, у нас получился больше, чем делимое. С другой стороны, мы помним, что при умножении числа на правильную дробь произведение получается меньше, чем изначальное число. Так что неудивительно, что при делении происходит противоположное.  

Закрепим.

Решите пример:

$$\frac{1}{7} : \frac{8}{15}$$

Показать решение

Скрыть

При делении дробей также широко применяется сокращение.

Лучше производить его, когда делитель уже «перевёрнут», иначе можно запутаться и сократить не те части дроби.

Решите пример, сократив множители, где это возможно:

$$\frac{16}{21} : \frac{4}{7}$$

Проверить решение

Скрыть

Как видите, деление дробных чисел — это совсем не сложно. Оно очень похоже на умножение дробей. Иногда правило деления на дробь даже формулируют так:

Для того чтобы разделить натуральное или дробное число на дробь, нужно умножить делитель на дробь, обратную данной.

Давайте поподробнее разберёмся, что же представляют из себя обратные дроби.

Обратные дроби

Числом, взаимно обратным обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$, является дробь $\frac{b}{a}$
Числитель первой равен знаменателю второй и наоборот, знаменатель первой равен числителю второй.

То есть обратная дробь – эта та самая «перевёрнутая» дробь.

Таким образом, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно просто поменять числитель и знаменатель местами.

Обратите внимание! У нас получаются не равные, а обратные дроби! Чтобы убедиться в этом, сравните обратные дроби, например, $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$.

При умножении взаимно обратных дробей получается $1$.
$$\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$$

У натуральных чисел также могут быть обратные дроби. Ведь каждое натуральное число можно легко представить как дробь, где знаменатель равен $1$.

Для натурального числа $n$ обратной дробью будет $\frac{1}{n}$

Так, для числа 5 обратной дробью будет $\frac{1}{5}$, для числа $20$ это будет $\frac{1}{20}$ и так далее.

Для проверки можно провести умножение таких обратных дробей:

$$\frac{20}{1} \cdot \frac{1}{20} = \frac{20}{20} = 1$$

А вот обратной дробью для единицы будет также единица. Пара взаимно обратных чисел $1$ и $1$ — это исключение, так как составляющие эту пару числа равны.  

Обратные дроби применяются и при делении дроби на натуральное число. При таком делении мы умножаем знаменатель на это число, а числитель оставляем без изменений. Практически, мы умножаем дробь на дробь, обратную данному числу.

$$\frac{3}{5} : 5 = \frac{3}{5} : \frac{5}{1} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 5} = \frac{3}{25}$$

{"questions":[{"content":"Выполните деление целых и дробных чисел и соедините примеры с ответами. Используйте сокращение дробей там, где это возможно. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$4 : \\frac{4}{5}$","$5 : \\frac{25}{13}$","$\\frac{8}{10} : \\frac{2}{15}$","$\\frac{6}{5} : \\frac{9}{10}$"],"items":["$5$","$2 \\frac{3}{5}$","$6$","$1 \\frac{1}{3}$"]}}},{"content":"Найдите примеры, которые решили неправильно.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$8 : \\frac{15}{24} = 5$","$\\frac{6}{9} : \\frac{6}{3} = 3$","$5 : \\frac{20}{16} = 4$","$\\frac{8}{4} : \\frac{4}{2} = 1$"],"explanations":["Правильный ответ: $12 \\frac{4}{5}$","Правильный ответ: $\\frac{1}{3}$","",""],"answer":[0,1]}}},{"content":"Напишите число, обратное данному.<br />$$\\frac{6}{36}$$[[input-20]]","widgets":{"input-20":{"type":"input","answer":"6"}},"step":1,"hints":["Дробью, обратной $\\frac{6}{36}$, будет $\\frac{36}{6}$","$\\frac{36}{6}$ - неправильная дробь. Выделяем целое число и видим, что дробь делится нацело, то есть результатом будет целое число."]}]}