Математика/5 класс/Обыкновенные дроби/Умножение и деление на дробь/

Деление на дроби. Обратные дроби

Содержание

2000 2107

На этом уроке мы познакомимся с правилом деления на обыкновенные дроби, а также рассмотрим обратные дроби.

Деление натурального числа на дробь

интересно

Дроби тесно связаны с делением, даже черта, отделяющая числитель от знаменателя, является знаком деления.

Известно, что при умножении натурального числа на дробь число умножается на числитель, а знаменатель остается без изменений:

$$4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$$

При делении на дробь число умножают на ее знаменатель и делят на ее числитель:$$\textcolor{coral}{a} : \frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{darkgreen}{c}} = \frac{\textcolor{coral}{a} \cdot \textcolor{darkgreen}{c}}{\textcolor{blue}{b}}$$

Мы словно «переворачиваем» дробь. У нас получается обратная дробь (подробнее об обратных дробях мы поговорим немного позже).

пример

На рисунке изображен отрезок $AB$, его длина $4$ $см$. Длина отрезка $AC$ $\frac{1}{2}$ $см$. Нам нужно узнать, сколько отрезков такой длины поместится в отрезок $AB$.

$$4 : \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2}{1} = 8$$

Проверим по клеточкам. Действительно, у нас получилось $8$ частей длиной $\frac{1}{2}$ $см$.

{"questions":[{"instruction":"Решите пример","content":"$$1 : \\frac{2}{3}=$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3}{2}$","$\\frac{1}{2}$","$\\frac{3}{1}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["$$1 : \\frac{2}{3} = \\frac{1 \\cdot 3}{2} = \\frac{3}{2}$$"]}]}

пример

$$10 : \frac{5}{6}=$$

Такой пример можно решить двумя способами.

Показать первый способ

Скрыть

Можно решать все по порядку: умножить число на знаменатель и разделить на числитель.

$$10 : \frac{5}{6} = \frac{10 \cdot 6}{5} = \frac{60}{5}$$

У нас получилась неправильная дробь. При сокращении видно, что она делится нацело:

$$\frac{60}{5} = 12$$

Показать второй способ

Скрыть

Второй способ состоит в том, что мы, начав делать вычисление по формуле, можем сократить дробь:

$$10:\frac{5}{6}=10\cdot\frac{6}{5}=\frac{{}^{2}\cancel{10} \cdot 6}{{}^{1}\cancel{5}}=12$$

Практика

Закрепите новый навык на нашем тренажере деления дробей (уровень 2).

Деление дроби на дробь

При делении дроби на дробь вторая дробь переворачивается, а деление заменяется умножением:$$\frac{\textcolor{coral}{a}}{\textcolor{darkgreen}{b}} : \frac{\textcolor{blue}{c}}{\textcolor{orange}{d}} = \frac{\textcolor{coral}{a}\cdot \textcolor{orange}{d}}{\textcolor{darkgreen}{b}\cdot \textcolor{blue}{c}}$$

На прямоугольнике, $\frac{1}{2}$ которого закрашена в фиолетовый цвет, попробуем разделить $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{4}$ и посмотрим, какую площадь будет занимать частное.

$$\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1\cdot 4}{2\cdot 3} = \frac{{}^{2}\cancel{4}}{{}^{3}\cancel{6}} = \frac{2}{3}$$

интересно

Результат деления, частное, у нас получился больше, чем делимое. С другой стороны, мы помним, что при умножении числа на правильную дробь произведение получается меньше, чем изначальное число. Так что неудивительно, что при делении происходит противоположное.

{"questions":[{"instruction":"Решите пример","content":"$$\\frac{1}{7} : \\frac{8}{15}=$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{15}{56}$","$\\frac{7}{15}$","$\\frac{9}{23}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При делении дроби на дробь вторая дробь переворачивается, а деление заменяется умножением.","$$\\frac{1}{7} : \\frac{8}{15} = \\frac{1\\cdot 15}{7\\cdot 8} = \\frac{15}{56}$$"]}]}

При делении дробей также широко применяется сокращение, лучше производить его, когда делитель уже «перевернут», иначе можно запутаться и сократить не те части дроби.

{"questions":[{"instruction":"Решите пример","content":"$$\\frac{16}{21} : \\frac{4}{7}=$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1\\frac{1}{3}$","$3\\frac{1}{4}$","$\\frac{2}{7}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При делении дроби на дробь вторая дробь переворачивается, а деление заменяется умножением.","$$\\frac{16}{21} : \\frac{4}{7}=\\frac{{}^{4}\\cancel{16}}{{}^{3}\\cancel{21}} \\cdot \\frac{{}^{1}\\cancel{7}}{{}^{1}\\cancel{4}}=\\frac{4 \\cdot 1}{3 \\cdot 1}=\\frac{4}{3}=1\\frac{1}{3}$$"]}]}

Обратные дроби

Числом, обратным обыкновенной дроби $\frac{\textcolor{coral}{a}}{\textcolor{darkgreen}{b}}$, является перевернутая дробь: $\frac{\textcolor{darkgreen}{b}}{\textcolor{coral}{a}}$.

важно

У нас получаются не равные, а обратные дроби! Чтобы убедиться в этом, сравните обратные дроби, например, $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$.

При умножении взаимно обратных дробей получается $1$:
$$\frac{\textcolor{coral}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\cdot \frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{coral}{a}} = \frac{\textcolor{coral}{{}^{1}\cancel{a}} \cdot \textcolor{blue}{{}^{1}\cancel{b}}}{\textcolor{blue}{{}^{1}\cancel{b}} \cdot \textcolor{coral}{{}^{1}\cancel{a}}} = 1$$

У натуральных чисел также могут быть обратные дроби. Ведь каждое натуральное число можно легко представить как дробь, где знаменатель равен $1$.

Для натурального числа $\textcolor{coral}{n}$ обратной дробью будет $\frac{1}{\textcolor{coral}{n}}$

пример

Так, для числа $5$ обратной дробью будет $\frac{1}{5}$, для числа $20$ — это будет $\frac{1}{20}$ и так далее.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте натуральные числа и обратные им дроби:[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$20$","$2$","$12$"],"items":["$\\frac{1}{20}$","$\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{12}$"]}}}]}

интересно

А вот обратной дробью для единицы будет также единица. Пара взаимно обратных чисел $1$ и $1$ — это исключение, так как составляющие эту пару числа равны.

Деление дроби на натуральное число

Обратные дроби применяются и при делении дроби на натуральное число. При таком делении мы умножаем знаменатель на это число, а числитель оставляем без изменений. Практически мы умножаем дробь на дробь, обратную данному числу:

$$\textcolor{coral}{\frac{3}{5}} : \textcolor{darkgreen}{5} = \textcolor{coral}{\frac{3}{5}} : \textcolor{darkgreen}{\frac{5}{1}} = \textcolor{coral}{ \frac{3}{5}} \cdot \frac{1}{\textcolor{darkgreen}{5}} = \frac{\textcolor{coral}{3} \cdot 1}{\textcolor{coral}{5} \cdot \textcolor{darkgreen}{5}} = \frac{3}{25}$$

{"questions":[{"instruction":"Выполните действие","content":"$$\\frac{3}{8}:6=$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{1}{16}$","$\\frac{1}{6}$","$\\frac{18}{8}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим $6$ в виде дроби: $$\\frac{3}{8}:\\frac{6}{1}$$","При делении на дробь деление заменяем умножением, а вторую дробь заменяем на обратную:$$\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{1}{6}$$","$$\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{1}{6}=\\frac{{}^{1}\\cancel{3} \\cdot 1}{8 \\cdot {}^{2}\\cancel{6}}=\\frac{1}{16}$$"]}]}

Практика

Отточите новые навыки на нашем тренажере деления дробей.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти обратную дробь для обратной дроби?

Да, обратной дробью для обратной дроби будет дробь, для которой была найдена первая обратная дробь.

Как разделить натуральное число на дробь?

При делении на обыкновенную дробь деление заменяется на умножение, а дробь, на которую делим, переворачивается.

При делении дроби на дробь можно ли переворачивать первую делимую дробь?

Нет, при любом делении на обыкновенную дробь переворачивается всегда только дробь, на которую делим.

Проверим знания по теме?

Деление на дроби. Обратные дроби

Пройти тест

Оценить урок

Поделиться уроком →

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хотите оставить комментарий?

Войти

Деление на дроби. Обратные дроби

Деление натурального числа на дробь

Практика

Деление дроби на дробь

Обратные дроби

Практика

Часто задаваемые вопросы

Проверим знания по теме?

Оценить урок

Поделиться уроком →

Что можно улучшить?

Войдите, чтобы оценивать уроки

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Отменить ответ

Хотите оставить комментарий?