Умножение дробей на натуральное число

На этом уроке разберём правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число, а также потренируемся представлять целые числа в виде обыкновенных дробей.

Умножение вместо сложения одинаковых слагаемых

Марина завела попугая какаду. Она прочитала, что для них полезны ягоды, и летом давала своему Кеше ягоды каждый день. В день Кеша съедал $2$ клубники, сколько получалось за неделю? 

Чтобы узнать ответ, мы можем сложить $2+2+2+2+2+2+2$, но обычно так не делают. Известно, что сумма одинаковых чисел – произведение одного из них на количество слагаемых. Поэтому вместо того, чтобы складывать, мы просто умножим количество ягод на количество дней, вот так:

$2+2+2+2+2+2+2=2\cdot7=14$

Это правило применимо и к дробям.

Когда клубника закончилась, Марина предложила Кеше яблоко, но, конечно, целое яблоко ему было бы очень много и наверняка вредно для здоровья. Марина разрезала яблоко на небольшие дольки и давала Кеше по $\frac{1}{10}$ яблока утром и вечером, получалось $\frac{2}{10}$ яблока в день.

Сколько яблок съедал Кеша за неделю?

$$\frac{2}{10}+\frac{2}{10}+\frac{2}{10}+\frac{2}{10}+\frac{2}{10}+\frac{2}{10}+\frac{2}{10}$$

По правилу сложения дробных чисел получается так:

$$\frac{2+2+2+2+2+2+2}{10}=\frac{14}{10}$$

Но мы знаем, что сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением. То есть

$$\frac{2+2+2+2+2+2+2}{10}=\frac{2\cdot7}{10}=\frac{14}{10}$$

При умножении дроби на натуральное число её числитель умножают на это число, а знаменатель оставляют прежним.
Буквами это можно записать так: $n \cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b}$

Немного потренируемся.

Саша гуляет со своей собакой Пирожком $3$ часа в день. Это $\frac{3}{24}$ дня. Сколько часов он погуляет с Пирожком за декабрь?

Показать решение

Скрыть

Увеличение числителя дроби в несколько раз

Увеличение числителя дроби в несколько раз приводит к увеличению дроби во столько же раз.

Чтобы лучше понять это правило, вспомните, что знаменатель дроби — это количество кусочков, на которое мы делим целое, а числитель — то, сколько кусочков мы берём. Получается, мы когда мы умножаем дробь, мы берём больше кусочков.

Это хорошо видно на рисунке 3. Слева у нас $\frac{3}{8} $ пиццы, справа — в два раза больше восьмых частей пиццы.

Разберём ещё один пример.

У Лёши есть аквариум, в котором живут только $3$ рыбки. В день они съедают $\frac{1}{4}$ чайной ложки корма. Если Лёша заведёт ещё $9$ рыбок, сколько корма понадобится его рыбкам в день?

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Решите задачу. <br />Мама с Леной мыли посуду наперегонки. За пять минут Лена помыла $\\frac{1}{6}$ посуды, а мама — в $2$ раза больше. За какое время они закончат мыть посуду?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","unit":"минут","answer":"5"}},"step":1,"hints":["Первым делом узнаём, сколько посуды вымыла мама. <br />$$\\frac{1\\cdot 2}{6}=\\frac{2}{6}$$","Получается, что вместе они вымыли  $\\frac{2+1}{6}=\\frac{3}{6}$ посуды. Чтобы достичь целого числа $ \\frac{6}{6}$ им остаётся вымыть ещё   $ \\frac{3}{6}$  посуды.","Мы знаем, что именно такое количество они вымыли за  $ 5 $  минут, значит, ещё через  $ 5 $  минут посуда будет домыта."]}]}

Представление целых чисел в виде дробей

Когда мы изучали смешанные числа, мы уже превращали целые числа в дроби. При этом применяется то же правило, то есть мы также применяем умножение дроби на число.

Для того чтобы представить целое число как дробь с заданным знаменателем, нужно умножить это число на знаменатель и записать получившееся произведение как числитель дроби.

Например, нам нужно представить $ 4 $ как дробь со знаменателем $ 20 $ .

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Длина отрезка АВ $\\frac{3}{8}$ см, а отрезка АС – в $2$ раза больше. Какой длины отрезок АС? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{5}{8}$","$\\frac{6}{8}$","$\\frac{2}{8}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["$\\frac{3}{8}\\cdot 2=\\frac{3\\cdot 2}{8}$"]},{"content":"Вчера у троих друзей было $2$ пирога, которые они разделили на троих. Сегодня они купили в $3$ раза больше пирогов и также их поделили поровну. Сколько достанется каждому?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\frac{6}{3}$","$\\frac{4}{3}$","$\\frac{2}{3}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$\\frac{2}{3}\\cdot 3=\\frac{2\\cdot 3}{3}$"]},{"content":"Если мы представим число $3$ как дробь со знаменателем $15$, как она будет выглядеть?[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["$\\frac{9}{15}$","$\\frac{3}{15}$","$\\frac{45}{15}$"],"answer":[2]}}}]}