Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

С обыкновенными дробями, как и с натуральными числами, можно выполнять разные арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножение). На этом уроке мы разберём, как происходит сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Мама готовила бутерброды. Она разрезала батон на $11$ частей (рисунок 1, а). Каждый кусочек – $\frac{1}{11}$ батона. Для бутербродов она взяла $9$ кусочков. На $4$ кусочка она положила колбасу, а на $5$ – сыр (рисунок 1, б).

Получилось $9$ бутербродов, сделанных из $\frac{9}{11}$ батона.

$$\frac{4}{11}+\frac{5}{11}=\frac{4+5}{11}=\frac{9}{11}$$

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.

Можете ли вы объяснить, почему так?

Показать вариант объяснения

Скрыть

Запишем это правило с помощью букв:

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$$

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Мама разрезала батон на $11$ частей, из $9$ частей сделала бутерброды и положила их на тарелку, а потом пришли дети и съели $5$ из них. Сколько долей батона осталось на тарелке?

Показать ответ

Скрыть

$$\frac{9}{11}-\frac{5}{11}=\frac{9-5}{11}=\frac{4}{11}$$

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.

Запишем это правило с помощью букв:

$$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$$

{"questions":[{"content":"Соедините примеры с ответами.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\frac{14}{31135} + \\frac{15}{31135}$","$\\frac{28}{31135}-\\frac{10}{31135}$","$\\frac{36}{31135} + \\frac{6}{31135}-\\frac{25}{31135}$"],"items":["$\\frac{29}{31135}$","$\\frac{18}{31135}$","$\\frac{17}{31135}$"]}},"step":1,"hints":["Знаменатель дроби очень большой, но это не важно, главное, что он одинаковый для всех дробей в задании. При сложении мы складываем числители, при вычитании — вычитаем один числитель из другого. Следовательно, нам нужно будет выполнить простые действия.","$14 + 15 = 19$<br />$28-10 = 18$<br />$36 + 6-25 = 17$"]}]}

Вычитание дробей из целых чисел

Дома закончилась колбаса, и мама пошла в гастроном. Там она выбрала понравившийся сорт и попросила продавщицу: «Взвесьте полпалочки вот этой колбасы».

Получается, продавщице нужно отдать покупательнице $\frac{1}{2}$ колбасы, а у неё есть только целая. Конечно, это не вызывает у неё никаких затруднений. Она берёт нож и разрезает палку колбасы пополам. Получается $\frac{2}{2}$ колбасы. Затем она кладёт на весы $\frac{1}{2}$, а оставшуюся половину убирает в холодильник. Если записать это цифрами, получится так:

$$\frac{2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

То есть мы представляем единицу в виде дроби, где числитель и знаменатель совпадают (и равны знаменателю той дроби, которую нам нужно вычесть).

Затем, как обычно, вычитаем числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого.

Попробуете записать это буквами?

Должно получиться примерно так

Свернуть

А что делать, если нам нужно вычесть дробное число не из единицы, а из какого-то другого числа?

Например, у нас есть два пирога. Папа (которому досталось мало бутербродов) съел $\frac{3}{4}$ одного из них. Можете сказать, как нам узнать, сколько пирогов осталось?

Показать подсказку

Свернуть

Мы будем вычитать $\frac{3}{4}$, поэтому нам нужна дробь со знаменателем 4. Один пирог – это $\frac{4}{4}$, а два пирога – в два раза больше долей. Поэтому складываем $\frac{4}{4}$ и $\frac{4}{4}$. Получаем $\frac{8}{4}$

Внимание! Складываются только числители, знаменатель остаётся прежним.

Показать решение

Свернуть

Как видите, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняется достаточно просто. А как складывать дроби и целые числа? Об этом мы расскажем в уроке «Смешанные числа«. Также позднее мы разберём сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

{"questions":[{"content":"В зоопарке 27 клеток с животными. До обеда служитель зоопарка убрал в 9 клетках, а после обеда - в 8. Какую часть клеток он убрал за день?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{17}{27}$","$\\frac{27}{27}$","$\\frac{15}{27}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["До обеда служитель зоопарка убрал $\\frac{9}{27}$ клеток","$\\frac{9+8}{27}$"]},{"content":"Какую часть циферблата остаётся пройти минутной стрелке до числа 12, если сейчас 11.10?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["50","$\\frac{50}{60}$","$\\frac{10}{60}$"],"answer":[1]}},"hints":["Циферблат разделён на 60 минутных делений, таким образом, одно деление - $\\frac{1}{60}$, а циферблат целиком - $\\frac{60}{60}$","Минутная стрелка прошла $\\frac{10}{60}$ циферблата"]},{"content":"Сериал разделён на 20 серий, в каждом сезоне - половина серий. Никита посмотрел 7 серий первого сезона, какую часть сериала он ещё увидит, прежде чем первый сезон закончится?[[choice-24]]","widgets":{"choice-24":{"type":"choice","options":["$\\frac{13}{20}$","$\\frac{3}{20}$","$\\frac{3}{10}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["В каждом сезоне $\\frac{10}{20}$ сериала","$\\frac{10-7}{20}$"]}]}