Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Английский язык Русский язык Геометрия Физика Всеобщая история Обществознание География Биология
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Содержание

    Сложение дробей с разными знаменателями

    При сложении дробей с разными знаменателями следует:

    1. Вычислить общий знаменатель, используя правила нахождения НОК и НОД по необходимости.
    2. Привести дроби к общему знаменателю, умножив числители и знаменатели дробей на дополнительные множители, если это необходимо.
    3. Провести сложение дробей с общим знаменателем.

    Давайте потренируемся решать задачи, для которых нам понадобятся общие знаменатели, наименьшее общее кратное, а также дополнительные множители. Пробуйте решить задачи сами и проверяйте своё решение.

    Дети помогали красить стулья в классе. Серёжа и Никита покрасили $\frac{2}{9}$ стульев, а Лена с Мариной – $\frac{1}{6}$. Сколько стульев покрасили дети вчетвером? Кто из них покрасил больше?

    Показать нахождение наименьшего общего кратного (и наименьшего общего знаменателя)

    Скрыть

    Для начала разложим знаменатели дробей на множители. Множители большего числа возьмём полностью и добавим те множители второго числа, которых не хватает.

    $$9=3\cdot 3$$

    $$6=3\cdot 2$$

    У нас получились множители $3, 3, 2$. Теперь нам нужно найти НОК.

    $$3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$$

    Значит, общий знаменатель у нас будет равен $18$

    Рисунок 1

    Показать вычисление дополнительных множителей

    Скрыть

    Для того, чтобы найти дополнительные множители для дроби $\frac{2}{9}$ разделим общий знаменатель на знаменатель дроби.

    Так мы найдём, на какое число нужно умножить знаменатель дроби, чтобы получился общий знаменатель.

    $$18:9=2$$

    По тому же принципу найдём дополнительные множители для дроби $\frac{1}{6}$

    $$18:6=3$$

    Рисунок 2

    Показать решение задачи

    Скрыть

    Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на те дополнительные множители, которые мы для них нашли.

    $$ \frac{2}{9}=\frac{2 \cdot 2 }{9 \cdot 2 }=\frac{4}{18} $$

    $$ \frac{1}{6}=\frac{1\cdot 3}{6 \cdot 3}=\frac{3}{18} $$

    $$\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\frac{2 \cdot 2 }{9 \cdot 2 }+\frac{1\cdot 3}{6 \cdot 3}$$

    $$\frac{4}{18}+\frac{3}{18}=\frac{7}{18}$$

    Можно записать решение короче:

    Рисунок 3

    Также теперь мы можем сравнить эти дроби.

    $$\frac{4}{18}>\frac{3}{18}$$

    Значит,

    $$\frac{2}{9}>\frac{1}{6}$$

    Вычитание дробей с разными знаменателями

    При вычитании дробей с разными знаменателями следует:

    1. Вычислить общий знаменатель, используя правила нахождения НОК и НОД по необходимости.
    2. Привести дроби к общему знаменателю, умножив числители и знаменатели дробей на дополнительные множители, если это необходимо.
    3. Провести вычитание дробей с общим знаменателем.

    Образавры соревновались в поедании пирожных. Победил розовый, который съел $\frac{9}{24} $ от всего количества пирожных. Синий и зелёный Образавры съели по $\frac{5}{18}$. На сколько меньше пирожных съел зелёный Образавр, чем розовый?

    Если мы посмотрим на дробь $\frac{9}{24} $, то увидим, что прежде чем начинать вычисления, можно её сократить, и нам будет удобнее считать. Найдём НОД (наибольший общий делитель) для этой дроби.

    Рисунок 4

    Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД. У нас получится

    $$\frac{9:3}{24:3}=\frac{3}{8}$$

    Теперь нужно найти НОК для $8$ и $18$ .

    Вычислим НОД

    Рисунок 5

    Умножим $8$ на $18$ и разделим на НОД. У нас получится

    $$8\cdot 18:2=8\cdot 9=72$$

    Вычислим дополнительные множители:

    $$72:8=9$$

    $$72:18=4$$

    Решим пример, используя дополнительные множители:

    Рисунок 6

    Ещё один способ сокращения дробей

    Теперь, когда мы легко раскладываем числа на множители, можно использовать ещё один способ сокращения обыкновенных дробей. Этот способ заключается в том, чтобы не вычислять НОД, а раскладывать числитель и знаменатель на множители и убирать общие.

    Представим дробь $\frac{126}{315}$ в виде простых множителей (рисунок 7, а)

    $$\frac{126}{315}=\frac{3 \cdot 2 \cdot 3\cdot 7}{5\cdot 3\cdot 7\cdot 3}$$

    Теперь вычеркнем все общие множители (рисунок 7, б)

    Рисунок 7

    $$ \frac{126}{315} =\frac{2}{5} $$

    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение