Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
СОЗДАТЬ
Создать флеш-карточки
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

Содержание

На этом уроке мы разберём, как происходит сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями.

Пример задачи с смешанными числами, имеющими разные знаменатели

Образавр, Вообразавр и Иксератопс собирались на пикник. Договорились, что каждый принесёт угощение. Все они купили по две пиццы.

Но по дороге к месту пикника Вообразавру захотелось есть, и он съел четвертинку пиццы. У него осталось $1\frac{3}{4}$ пиццы.

Иксератопс тоже захотел полакомиться пиццей по дороге, он съел третью часть, и принёс $1\frac{2}{3}$ пиццы.

Когда Образавр увидел, что остальные не стерпели и начали есть пиццу без него, ему стало обидно, он взял и съел сразу половину от одной из своих пицц. И у него получилось $1\frac{1}{2}$ пиццы.
Вот стоят друзья и думают, сколько же пиццы получилось у них в итоге?

Сложение смешанных дробей

$$1\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2}$$

Чтобы сложить смешанные дроби с разными знаменателями, нужно уметь

  • складывать смешанные дроби с одинаковыми знаменателями;
  • складывать обыкновенные дроби с разными знаменателями.

Подсказка

При сложении смешанных дробей удобно поменять местами слагаемые так, чтобы сначала сложить все целые числа, а затем уже дробные части.

При сложении дробных частей мы действуем так, словно это обыкновенные дроби:

  1. Находим общий знаменатель
  2. Приводим к общему знаменателю при помощи дополнительных множителей
  3. Выполняем сложение

$$1\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} = 1 + 1 + 1 + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$$

Найдём НОК для чисел $4, 3, 2$

Рассмотрим числа, кратные числу $4$

$$4 \cdot 1 = 4$$

$$4 \cdot 2 = 8$$

$$4 \cdot 3 = 12$$

Дальше можно уже не умножать, так как мы нашли число, кратное $3$. Оно чётное, значит, делится также на $2$. Ни $4$, ни $8$ не делится на $3$, значит, $12$ – это наименьшее общее кратное.

Теперь вычислим дополнительные множители:

$$12 : 4 = 3$$

$$12 : 3 = 4$$

$$12 : 2 = 6$$

Получаем вот такой пример, где сначала идут целые, а потом дробные части смешанных дробей:

Рисунок 2

У нас получилось $3 + \frac{23}{12}$. Но $\frac{23}{12}$ – неправильная дробь, нужно выделить из неё целое число. Получается $1\frac{11}{12}$. Следовательно, наш пример будет выглядеть теперь так:

$$3 + \frac{23}{12} = 3 + 1+ \frac{11}{12} = 4\frac{11}{12}$$

Если в результате сложения смешанных дробей у нас получилось целое число и неправильная дробь, следует выделить целую часть из неправильной дроби и прибавить её к целому числу.

Вычитание смешанных дробей

У Образавра, Вообразавра и Иксератопса было $4\frac{11}{12}$ пиццы. Они съели $2\frac{5}{8}$ пиццы и поняли, что вполне сыты. Сколько пиццы у них осталось?

Вычитание смешанных дробей проходит по тому же принципу, что и сложение.

При вычитании смешанных дробей нужно представить уменьшаемое и вычитаемое в виде суммы целых и дробных частей, из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, и из дробной части уменьшаемого вычесть дробной часть вычитаемого. Если у дробных частей смешанных чисел разные знаменатели, требуется сначала привести дроби к общему знаменателю при помощи дополнительных множителей.

Таким образом,

$$4\frac{11}{12}-2\frac{5}{8} = 4-2+\frac{11}{12}-\frac{5}{8} = 2 + \frac{11}{12}-\frac{5}{8}$$

Видите, мы сгруппировали целые части чисел и вычислили разность. Нам осталось провести вычитание дробей с разными знаменателями.

Найдём НОК для $12$ и $8$.

Рисунок 3

Рассматриваем два разложения на множители. Берём множители от большего числа $(2 \cdot 3 \cdot 2)$ и множитель от числа $8$, которого не хватает в разложении числа $12$. Получается

$$2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 24$$

Продолжим вычисление.

Рисунок 4

Заимствование единицы из уменьшаемого при вычитании смешанных чисел

Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, из целой части уменьшаемого занимают единицу и переводят в дробную часть.

$$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

$\frac{3}{85}<\frac{3}{34}$, так как чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби.

Представим данную разность следующим образом:

$$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34} = 5 + 1\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

$$5-3 + \frac{85+3}{85}-\frac{3}{34} = 2 + \frac{88}{85}-\frac{3}{34}$$

Нам нужно найти НОК для чисел $85$ и $34$.

Рисунок 5

Теперь умножим дроби на дополнительные множители и произведём вычисление.

Рисунок 6
5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ