Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

Сложение смешанных чисел

Вообразавр принес на пикник $\textcolor{purple}{1\frac{3}{4}}$ пиццы, Иксератопс — $\textcolor{coral}{1\frac{2}{3}}$ пиццы, а Образавр — $\textcolor{darkgreen}{1\frac{1}{2}}$ пиццы.

Сколько всего пиццы принесли друзья?

$$\textcolor{purple}{1\frac{3}{4}} + \textcolor{coral}{1\frac{2}{3}} + \textcolor{darkgreen}{1\frac{1}{2}}$$

Шаг 1. Складываем целые части

Смешанное число — это сумма целой и дробной частей. Представим данные смешанные числа в виде суммы, а затем сложим целые части. Это мы можем сделать, так как от перестановки слагаемых местами сумма не меняется:

$$\textcolor{darkgreen}{1}\frac{3}{4} + \textcolor{blue}{1}\frac{2}{3} + \textcolor{orange}{1}\frac{1}{2} = \textcolor{darkgreen}{1} + \textcolor{blue}{1} + \textcolor{orange}{1} + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$$

Шаг 2. Складываем дробные части

Для дробных частей $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{2}$ найдем общий знаменатель:

Нахождение общего знаменателя

Скрыть

$$\frac{3}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}=\frac{}{\textcolor{orange}{12}}$$

Определим дополнительные множители:

Определение дополнительных множителей

Скрыть

$$\frac{3}{4}^{(\textcolor{coral}{3}} + \frac{2}{3}^{(\textcolor{blue}{4}} + \frac{1}{2}^{(\textcolor{darkgreen}{6}}=\frac{}{12}$$

Произведем вычисления:

$$\frac{3}{4}^{(3} + \frac{2}{3}^{(4} + \frac{1}{2}^{(6}=\frac{9+8+6}{12}=\frac{23}{12}$$

Шаг 3. Выделим целую часть

У полученной неправильной дроби $\frac{23}{12}$ выделим целую часть:

$$\frac{23}{12}=1\frac{11}{12}$$

Добавим выделенную часть к сумме целых частей и соединим полученное смешанное число:

$$3+1+\frac{11}{12}=4\frac{11}{12}$$

Если в результате сложения смешанных дробей у нас получилось целое число и неправильная дробь, следует выделить целую часть из неправильной дроби и прибавить ее к целому числу.

{"questions":[{"instruction":"Вычислите","content":"$$4\\frac{3}{5}+2\\frac{7}{8}=$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$7\\frac{19}{40}$","$6\\frac{10}{13}$","$6\\frac{10}{8}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Сложим целые части:$$ 4+2+\\frac{3}{5}+\\frac{7}{8}=6+\\frac{3}{5}+\\frac{7}{8}$$","Приведем дроби к общему знаменателю:<br />$$\\frac{3}{5}+\\frac{7}{8}=\\frac{}{40}$$","Определим дополнительные множители:$$\\frac{3}{5}^{(8}+\\frac{7}{8}^{(5}=\\frac{}{40}$$","Произведем вычисления:$$\\frac{3}{5}^{(8}+\\frac{7}{8}^{(5}=\\frac{24+35}{40}=\\frac{59}{40}$$","Выделим целую часть и добавим ее к сумме целых частей$$6+\\frac{59}{40}=6+1\\frac{19}{40}=7\\frac{19}{40}$$"]}]}

Вычитание смешанных чисел

Вычитание смешанных дробей проходит по тому же принципу, что и сложение.

При вычитании смешанных чисел вычитаем целые и дробные части отдельно, а затем складываем получившиеся результаты.

У Образавра, Вообразавра и Иксератопса было $\textcolor{coral}{4\frac{11}{12}}$ пиццы. Они съели $\textcolor{darkgreen}{2\frac{5}{8}}$ пиццы. Сколько пиццы у них осталось?

Вычтем целые части:

$$\textcolor{coral}{4}\frac{11}{12}-\textcolor{green}{2}\frac{5}{8} = \textcolor{coral}{4}-\textcolor{green}{2}+\frac{11}{12}-\frac{5}{8} = 2 + \frac{11}{12}-\frac{5}{8}$$

Наименьшим общим знаменателем дробных частей будет число $\textcolor{orange}{24}$, так как без остатка делится на оба знаменателя:

$$2 + \frac{11}{12}-\frac{5}{8}=2+\frac{}{\textcolor{orange}{24}}$$

Найдем дополнительные множители:

$$2 + \frac{11}{12}^{(\textcolor{coral}{2}}-\frac{5}{8}^{(\textcolor{blue}{3}}=2+\frac{22-15}{24}$$

Произведем вычисления:

$$2+\frac{22-15}{24}=2\frac{7}{24}$$

{"questions":[{"instruction":"Вычислите","content":"$8\\frac{9}{10}-3\\frac{2}{5}$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5\\frac{1}{2}$","$5\\frac{1}{10}$","$5\\frac{7}{10}$","$5\\frac{7}{5}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сначала запишем этот пример так, чтобы целые части чисел вычитались из целых, а дробные части — из дробных: $8\\frac{9}{10}-3\\frac{2}{5}= 8-3+\\frac{9}{10}-\\frac{2}{5}$","Приведём дробные части к общему знаменателю и произведем вычисления: $5+\\frac{9-2\\cdot 2}{10} = 5\\frac{5}{10}$","Полученную дробную часть можно сократить, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число: $5\\frac{5}{10}=5\\frac{1}{2}$"]}]}

Заимствование единицы из уменьшаемого

Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, из целой части уменьшаемого занимают единицу и переводят в дробную часть.

$$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

$\frac{3}{85}<\frac{3}{34}$, так как чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби, то из целой части числа $\textcolor{purple}{6}\frac{3}{85}$ заберем единицу, превратим в дробь и добавим к дробной части:

$$\textcolor{purple}{6}\frac{3}{85}=\textcolor{purple}{5 + 1}\frac{3}{85}=\textcolor{purple}{5}+\frac{\textcolor{purple}{85}+3}{85}$$

Добавление единицы к дроби.

Скрыть

Вычтем целые части:

$$5-3 + \frac{85+3}{85}-\frac{3}{34} = 2 + \frac{88}{85}-\frac{3}{34}$$

Приведем дробные части к общему знаменателю и вычтем:

Приведение дробей к общему знаменателю.

Скрыть

$$2 + \frac{88}{85}^{(\textcolor{coral}{2}}-\frac{3}{34}^{(\textcolor{blue}{5}}=2+\frac{171-15}{\textcolor{orange}{170}}=2\frac{161}{170}$$

{"questions":[{"instruction":"Соедините примеры с ответами","content":"[[matcher-38]]","widgets":{"matcher-38":{"type":"matcher","labels":["$7\\frac{1}{2}+1\\frac{3}{5}$","$3\\frac{1}{6}+6\\frac{3}{4}$","$11\\frac{7}{9}-2\\frac{2}{6}$"],"items":["$9\\frac{1}{10}$","$9\\frac{11}{12}$","$9\\frac{4}{9}$"]}},"hints":["$7\\frac{1}{2}+1\\frac{3}{5} = 7+1+\\frac{1 \\cdot 5 + 3 \\cdot 2}{10} = 8 + \\frac{11}{10} = 9\\frac{1}{10}$","$3\\frac{1}{6}+6\\frac{3}{4} = 3+6+\\frac{1 \\cdot 2 + 3 \\cdot 3}{12} = 9 + \\frac{11}{12} = 9\\frac{11}{12}$","$11\\frac{7}{9}-2\\frac{2}{6} = 11-2+\\frac{7 \\cdot 2-2 \\cdot 3}{18} = 9 + \\frac{8}{18} = 9\\frac{4}{9}$"]}]}

Часто задаваемые вопросы