Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Английский язык Русский язык Геометрия Физика Всеобщая история Обществознание География Биология
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

Содержание

    Образавры собирались на пикник. Договорились, что каждый принесёт угощение. Все они купили по две пиццы.

    Но по дороге к месту пикника синему Образавру захотелось есть, и он съел четвертинку пиццы. У него осталось $1\frac{3}{4}$ пиццы.

    Розовый Образавр тоже захотел полакомиться пиццей по дороге, он съел третью часть, и принёс $1\frac{2}{3}$ пиццы.

    Когда зелёный Образавр увидел, что друзья не стерпели и начали есть пиццу без него, ему стало обидно, он взял и съел сразу половину от одной из своих пицц. И у него получилось $1\frac{1}{2}$ пиццы.
    Вот стоят Образавры и думают, сколько же пиццы получилось у них в итоге?

    Рисунок 1

    Сложение смешанных дробей

    $$1\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2}$$

    При сложении смешанных дробей с разными знаменателями мы действуем на сочетании двух навыков:

    При сложении смешанных дробей нужно поменять местами слагаемые так, чтобы было удобно с ними взаимодействовать: сначала сложить все целые части чисел, а затем уже дробные части.

    При сложении дробных частей мы действуем так, словно это обыкновенные дроби:

    1. Находим общий знаменатель
    2. Приводим к общему знаменателю при помощи дополнительных множителей
    3. Выполняем сложение

    $$1\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} = 1 + 1 + 1 + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$$

    Найдём НОК для чисел $4, 3, 2$

    Рассмотрим числа, кратные числу $4$

    $$4 \cdot 1 = 4$$

    $$4 \cdot 2 = 8$$

    $$4 \cdot 3 = 12$$

    Дальше можно уже не умножать, так как мы нашли число, кратное $3$. Оно чётное, значит, делится также на $2$. Ни $4$, ни $8$ не делится на $3$, значит, $12$ – это наименьшее общее кратное.

    Теперь вычислим дополнительные множители:

    $$12 : 4 = 3$$

    $$12 : 3 = 4$$

    $$12 : 2 = 6$$

    Получаем вот такой пример:

    Рисунок 2

    У нас получилось $3 + \frac{23}{12}$. Но $\frac{23}{12}$ – неправильная дробь, нужно выделить из неё целое число. Получается $1\frac{11}{12}$. Следовательно, наш пример будет выглядеть теперь так:

    $$3 + \frac{23}{12} = 3 + 1+ \frac{11}{12} = 4\frac{11}{12}$$

    Если в результате сложения смешанных дробей у нас получилось целое число и неправильная дробь, следует выделить целую часть из неправильной дроби и прибавить её к целому числу.

    Вычитание смешанных дробей

    У троих Образавров было $4\frac{11}{12}$ пиццы. Они съели $2\frac{5}{8}$ пиццы и поняли, что вполне сыты. Сколько пиццы у них осталось?

    Вычитание смешанных дробей проходит по тому же принципу, что и сложение.

    При вычитании смешанных дробей нужно представить уменьшаемое и вычитаемое в виде суммы целых и дробных частей, из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, и из дробной части уменьшаемого вычесть дробной часть вычитаемого. Если у дробных частей смешанных чисел разные знаменатели, требуется сначала привести дроби к общему знаменателю при помощи дополнительных множителей.

    Таким образом,

    $$4\frac{11}{12}-2\frac{5}{8} = 4-2+\frac{11}{12}-\frac{5}{8} = 2 + \frac{11}{12}-\frac{5}{8}$$

    Видите, мы сгруппировали целые части чисел и вычислили разность. Нам осталось провести вычитание дробей с разными знаменателями.

    Найдём НОК для $12$ и $8$.

    Рисунок 3

    Рассматриваем два разложения на множители. Берём множители от большего числа $(2 \cdot 3 \cdot 2)$ и множитель от числа $8$, которого не хватает в разложении числа $12$. Получается

    $$2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 24$$

    Продолжим вычисление.

    Рисунок 4

    Заимствование единицы из уменьшаемого при вычитании смешанных чисел

    Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, из целой части уменьшаемого занимают единицу и переводят в дробную часть.

    $$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

    $\frac{3}{85}<\frac{3}{34}$, так как чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби.

    Представим данную разность следующим образом:

    $$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34} = 5 + 1\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

    $$5-3 + \frac{85+3}{85}-\frac{3}{34} = 2 + \frac{88}{85}-\frac{3}{34}$$

    Нам нужно найти НОК для чисел $85$ и $34$.

    Рисунок 5

    Теперь умножим дроби на дополнительные множители и произведём вычисление.

    Рисунок 6
    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение