Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

На этом уроке мы разберём, как происходит сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями.

Пример задачи с смешанными числами, имеющими разные знаменатели

Образавр, Вообразавр и Иксератопс собирались на пикник. Договорились, что каждый принесёт угощение. Все они купили по две пиццы.

Но по дороге к месту пикника Вообразавру захотелось есть, и он съел четвертинку пиццы. У него осталось $1\frac{3}{4}$ пиццы.

Иксератопс тоже захотел полакомиться пиццей по дороге, он съел третью часть, и принёс $1\frac{2}{3}$ пиццы.

Когда Образавр увидел, что остальные не стерпели и начали есть пиццу без него, ему стало обидно, он взял и съел сразу половину от одной из своих пицц. И у него получилось $1\frac{1}{2}$ пиццы.
Вот стоят друзья и думают, сколько же пиццы получилось у них в итоге?

Сложение смешанных дробей

$$1\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2}$$

Чтобы сложить смешанные дроби с разными знаменателями, нужно уметь

• складывать смешанные дроби с одинаковыми знаменателями;
• складывать обыкновенные дроби с разными знаменателями.

$$1\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} = 1 + 1 + 1 + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$$

Найдём НОК для чисел $4, 3, 2$

Дальше можно уже не умножать, так как мы нашли число, кратное $3$. Оно чётное, значит, делится также на $2$. Ни $4$, ни $8$ не делится на $3$, значит, $12$ – это наименьшее общее кратное.

Получаем вот такой пример, где сначала идут целые, а потом дробные части смешанных дробей:

У нас получилось $3 + \frac{23}{12}$. Но $\frac{23}{12}$ – неправильная дробь, нужно выделить из неё целое число. Получается $1\frac{11}{12}$. Следовательно, наш пример будет выглядеть теперь так:

$$3 + \frac{23}{12} = 3 + 1+ \frac{11}{12} = 4\frac{11}{12}$$

Если в результате сложения смешанных дробей у нас получилось целое число и неправильная дробь, следует выделить целую часть из неправильной дроби и прибавить её к целому числу.

{"questions":[{"instruction":"Вычислите","content":"$11\\frac{18}{28} + 3\\frac{3}{14} + \\frac{1}{7}$ = [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","inline":1,"answer":"15"}},"step":1,"hints":["Переставим слагаемые так, чтобы целые части смешанных чисел прибавлялись к целым, а дробные — к дробным:<br />$11\\frac{18}{28} + 3\\frac{3}{14} + \\frac{1}{7} = 11 + 3 + \\frac{18}{28} +\\frac{3}{14}+ \\frac{1}{7}$","Приведём дробные части к общему знаменателю и произведём вычисления: $14+\\frac{20+6+2}{28} = 14\\frac{28}{28}$","Дробная часть получилась неправильной дробью. Выделим целую часть: $14\\frac{28}{28}=15$"]}]}

Вычитание смешанных дробей

У Образавра, Вообразавра и Иксератопса было $4\frac{11}{12}$ пиццы. Они съели $2\frac{5}{8}$ пиццы и поняли, что вполне сыты. Сколько пиццы у них осталось?

Вычитание смешанных дробей проходит по тому же принципу, что и сложение.

При вычитании смешанных дробей нужно представить уменьшаемое и вычитаемое в виде суммы целых и дробных частей, из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, и из дробной части уменьшаемого вычесть дробной часть вычитаемого. Если у дробных частей смешанных чисел разные знаменатели, требуется сначала привести дроби к общему знаменателю при помощи дополнительных множителей.

Таким образом,

$$4\frac{11}{12}-2\frac{5}{8} = 4-2+\frac{11}{12}-\frac{5}{8} = 2 + \frac{11}{12}-\frac{5}{8}$$

Видите, мы сгруппировали целые части чисел и вычислили разность. Нам осталось провести вычитание дробей с разными знаменателями.

Найдём НОК для $12$ и $8$.

Рассматриваем два разложения на множители. Берём множители от большего числа $(2 \cdot 3 \cdot 2)$ и множитель от числа $8$, которого не хватает в разложении числа $12$. Получается

$$2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 24$$

Продолжим вычисление.

{"questions":[{"instruction":"Вычислите","content":"$8\\frac{9}{10}-3\\frac{2}{5}$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5\\frac{1}{2}$","$5\\frac{1}{10}$","$5\\frac{7}{10}$","$5\\frac{7}{5}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сначала запишем этот пример так, чтобы целые части чисел вычитались из целых, а дробные части — из дробных: $8\\frac{9}{10}-3\\frac{2}{5}= 8-3+\\frac{9}{10}-\\frac{2}{5}$","Приведём дробные части к общему знаменателю и произведём вычисления: $5+\\frac{9-2\\cdot 2}{10} = 5\\frac{5}{10}$","Полученную дробную часть можно сократить, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число: $5\\frac{5}{10}=5\\frac{1}{2}$"]}]}

Заимствование единицы из уменьшаемого при вычитании смешанных чисел

Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, из целой части уменьшаемого занимают единицу и переводят в дробную часть.

$$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

$\frac{3}{85}<\frac{3}{34}$, так как чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби.

Представим данную разность следующим образом:

$$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34} = 5 + 1\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

$$5-3 + \frac{85+3}{85}-\frac{3}{34} = 2 + \frac{88}{85}-\frac{3}{34}$$

Нам нужно найти НОК для чисел $85$ и $34$.

Теперь умножим дроби на дополнительные множители и произведём вычисление.

{"questions":[{"instruction":"Соедините примеры с ответами","content":"[[matcher-38]]","widgets":{"matcher-38":{"type":"matcher","labels":["$7\\frac{1}{2}+1\\frac{3}{5}$","$3\\frac{1}{6}+6\\frac{3}{4}$","$11\\frac{7}{9}-2\\frac{2}{6}$"],"items":["$9\\frac{1}{10}$","$9\\frac{11}{12}$","$9\\frac{4}{9}$"]}},"hints":["$7\\frac{1}{2}+1\\frac{3}{5} = 7+1+\\frac{1 \\cdot 5 + 3 \\cdot 2}{10} = 8 + \\frac{11}{10} = 9\\frac{1}{10}$","$3\\frac{1}{6}+6\\frac{3}{4} = 3+6+\\frac{1 \\cdot 2 + 3 \\cdot 3}{12} = 9 + \\frac{11}{12} = 9\\frac{11}{12}$","$11\\frac{7}{9}-2\\frac{2}{6} = 11-2+\\frac{7 \\cdot 2-2 \\cdot 3}{18} = 9 + \\frac{8}{18} = 9\\frac{4}{9}$"]}]}