Основное свойство дроби. Сокращение дробей
Рассмотрим основное свойство обыкновенных дробей, а также базирующееся на нём правило сокращения дробей. Также познакомимся с понятием «Наибольший общий делитель» и разберёмся, как он помогает сократить дробь.
Умножаем числитель и знаменатель на одинаковое число
Рассмотрим рисунок 1.
Учительница показала ребятам на часы и спросила, какие дроби можно увидеть на циферблате.
Лена сказала, что $\frac{1}{4}$
Никита увидел $\frac{3}{12}$
А Серёжа $\frac{15}{60}$
Учительница похвалила их и сказала, что все они правы. А потом написала на доске вот такое равенство:
$$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{15}{60}$$
Какую закономерность можно заметить в этих дробях?
$$\frac{3}{12}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}$$
$$\frac{15}{60}=\frac{3\cdot 5}{12\cdot 5}$$
Получается, если числитель дроби умножить на $5$, то она увеличится в пять раз, но если знаменатель тоже умножить на $5$, то она уменьшится в пять раз, и останется точно такой же!
Рассмотрим пример:
Мама дала Никите и его младшему брату Тимоше по $\frac{1}{2}$ груши. Но малыш закапризничал и сказал, что хочет больше долек груши, чем у брата. А дома как раз закончились груши, эта была последняя. Тогда мама схитрила: взяла $\frac{1}{2}$ груши и разрезала. Получилось $\frac{2}{4}$ груши.
При этом и у Никиты, и у Тимоши груш получилось поровну.
Правило, которое мы только что рассмотрели, называется основное свойство дроби.
При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется.
$$\frac{а}{b}=\frac{ac}{bc}$$
Давайте для закрепления посмотрим на рисунок 3.
Можете сказать, какие части прямоугольников закрашена синим?
Показать ответы
Скрыть
а) $\frac{1}{2}$
б) $\frac{2}{4}$
в) $\frac{3}{6}$
г) $\frac{4}{8}$
Умножение на единицу
Важно понимать. По сути, умножая числитель и знаменатель на одно и то же число, мы умножаем или делим дробь на единицу.
Разберёмся подробнее.
Мы знаем, что натуральное число можно представить как дробь с заданным знаменателем. Если показать превращение натурального числа $n$ в дробь с помощью буквенного обозначения, формула будет выглядеть так:
$$n = \frac{n \cdot m}{m}$$
Если число, которое нам нужно представить, как дробь, это единица, тогда получается следующее:
$$1=\frac{1\cdot m}{m}$$
Но нам известно, что любое число, умноженное на единицу, равно самому себе. Получается, число $1$ можно представить как дробь, у которой числитель и знаменатель равны.
Значит, если мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число, мы всё равно что умножаем их на единицу. Неудивительно, что величина дроби не меняется.
Деление числителя и знаменателя на одинаковое число
Хорошо, с умножением дробей на одинаковое число мы разобрались. А как насчёт деления?
В шоколадке 12 кусочков. Значит, в дробной части на рисунке $\frac{4}{12}$ шоколадки (рисунок 4, а).
Но в то же время мы можем сказать, что это $\frac{1}{3}$ часть шоколадки (рисунок 4, б).
При этом мы видим, что эти части совершенно равны. Значит, мы можем сделать вывод, что $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
Разберём ещё один пример. Мы помним, что дробь – это деление. Возьмём дробь, которую можно разделить нацело, например, $\frac{20}{4}$
$$ \frac{20}{4}=5$$
Теперь разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число, например, на 2.
$$\frac{20:2}{4:2}=\frac{10}{2}=5$$
Следовательно, $\frac{20}{4}=\frac{10}{2}$
Можно сформулировать правило:
При делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется.
$$\frac{а}{b}=\frac{a:c}{b:c}$$
Сокращение дробей
Это свойство дробей позволяет нам выполнять упрощение или сокращение.
Если и числитель, и знаменатель дроби делятся на одно и то же натуральное число, то дробь можно сократить на это число.
Дроби, которые можно сократить, называют сократимыми.
По сути, сокращение – это уменьшение чисел в числителе и знаменателе (без изменения величины дроби).
Вы, наверняка, и сами замечали, что дроби вида $\frac{20}{60}$ выглядят как-то громоздко, их так и хочется представить в виде $\frac{2}{6}$, а то и $\frac{1}{3}$.
В математике принято сокращать те дроби, которые можно сократить.
Давайте разберёмся, как правильно и удобно это делать.
Один из способов таков: нужно найти максимальное число, на которое делится и числитель, и знаменатель. Это число будет называться «Наибольший общий делитель» или НОД.
Для этого нужно разложить числитель и знаменатель на простые множители, определить общие множители и, если их несколько, умножить их друг на друга.
Например, попробуем сократить дробь $\frac{36}{120}$
$$36=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$$
$$120=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 $$
Наибольшим общим делителем будет $3 \cdot 2 \cdot 2 $ или $12$.
Следовательно, $\frac{36}{120}=\frac{36:12}{120:12}=\frac{3}{10}$
Также сокращать дроби можно постепенно (см. рисунок 5):
Если числитель и знаменатель имеют только один общий делитель, единицу, то они называются несократимыми.
Например, дробь $\frac{3}{4}$. У чисел $3$ и $4$ нет общих множителей, кроме единицы. Такие числа называют взаимно простыми.
Хотите оставить комментарий?
Войти