Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Английский язык Русский язык Геометрия Физика Всеобщая история Обществознание География Биология
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Содержание

    Умножаем числитель и знаменатель на одинаковое число

    Рассмотрим рисунок 1.

    Рисунок 1

    Учительница показала ребятам на часы и спросила, какие дроби можно увидеть на циферблате.

    Лена сказала, что $\frac{1}{4}$

    Никита увидел $\frac{3}{12}$

    А Серёжа $\frac{15}{60}$

    Учительница похвалила их и сказала, что все они правы. А потом написала на доске вот такое равенство:

    $$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{15}{60}$$

    Какую закономерность можно заметить в этих дробях?

    $$\frac{3}{12}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}$$

    $$\frac{15}{60}=\frac{3\cdot 5}{12\cdot 5}$$

    Получается, если числитель дроби умножить на $5$, то она увеличится в пять раз, но если знаменатель тоже умножить на $5$, то она уменьшится в пять раз, и останется точно такой же!

    Рассмотрим пример:

    Мама дала Никите и его младшему брату Тимоше по $\frac{1}{2}$ груши. Но малыш закапризничал и сказал, что хочет больше долек груши, чем у брата. А дома как раз закончились груши, эта была последняя. Тогда мама схитрила: взяла $\frac{1}{2}$ груши и разрезала. Получилось $\frac{2}{4}$ груши.

    При этом и у Никиты, и у Тимоши груш получилось поровну.

    Рисунок 2

    Правило, которое мы только что рассмотрели, называется основное свойство дроби.

    При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется.
    $$\frac{а}{b}=\frac{ac}{bc}$$

    Давайте для закрепления посмотрим на рисунок 3.

    Рисунок 3

    Можете сказать, какие части прямоугольников закрашена синим?

    Показать ответы

    Скрыть

    а) $\frac{1}{2}$

    б) $\frac{2}{4}$

    в) $\frac{3}{6}$

    г) $\frac{4}{8}$

    Умножение на единицу

    Важно понимать. По сути, умножая числитель и знаменатель на одно и то же число, мы умножаем или делим дробь на единицу.

    Разберёмся подробнее.

    Мы знаем, что натуральное число можно представить как дробь с заданным знаменателем. Если показать превращение натурального числа $n$ в дробь с помощью буквенного обозначения, формула будет выглядеть так:

     $$n = \frac{n \cdot m}{m}$$

    Если число, которое нам нужно представить, как дробь, это единица, тогда получается следующее:

    $$1=\frac{1\cdot m}{m}$$

    Но нам известно, что любое число, умноженное на единицу, равно самому себе. Получается, число $1$ можно представить как дробь, у которой числитель и знаменатель равны.

    Значит, если мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число, мы всё равно что умножаем их на единицу. Неудивительно, что величина дроби не меняется.

    Деление числителя и знаменателя на одинаковое число

    Хорошо, с умножением дробей на одинаковое число мы разобрались. А как насчёт деления?

    Рисунок 4

    В шоколадке 12 кусочков. Значит, в дробной части на рисунке  $\frac{4}{12}$ шоколадки (рисунок 4, а).

    Но в то же время мы можем сказать, что это $\frac{1}{3}$ часть шоколадки (рисунок 4, б).

    При этом мы видим, что эти части совершенно равны. Значит, мы можем сделать вывод, что $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

    Разберём ещё один пример. Мы помним, что дробь – это деление. Возьмём дробь, которую можно разделить нацело, например, $\frac{20}{4}$

    $$ \frac{20}{4}=5$$

    Теперь разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число, например, на 2.

    $$\frac{20:2}{4:2}=\frac{10}{2}=5$$

    Следовательно, $\frac{20}{4}=\frac{10}{2}$

    Можно сформулировать правило:

    При делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется.
    $$\frac{а}{b}=\frac{a:c}{b:c}$$

    Сокращение дробей

    Это свойство дробей позволяет нам выполнять упрощение или сокращение.

    Если и числитель, и знаменатель дроби делятся на одно и то же натуральное число, то дробь можно сократить на это число.
    Дроби, которые можно сократить, называют сократимыми.

    По сути, сокращение – это уменьшение чисел в числителе и знаменателе (без изменения величины дроби).

    Вы, наверняка, и сами замечали, что дроби вида $\frac{20}{60}$ выглядят как-то громоздко, их так и хочется представить в виде $\frac{2}{6}$, а то и $\frac{1}{3}$.

    В математике принято сокращать те дроби, которые можно сократить.

    Давайте разберёмся, как правильно и удобно это делать.

    Один из способов таков: нужно найти максимальное число, на которое делится и числитель, и знаменатель. Это число будет называться «Наибольший общий делитель» или НОД.

    Для этого нужно разделить числитель и знаменатель на простые множители, определить общие множители и, если их несколько, умножить их друг на друга.

    Например, попробуем сократить дробь $\frac{36}{120}$

    $$36=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$$

    $$120=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 $$

    Наибольшим общим делителем будет $3 \cdot 2 \cdot 2 $ или $12$.

    Следовательно, $\frac{36}{120}=\frac{36:12}{120:12}=\frac{3}{10}$

    Также сокращать дроби можно постепенно (см. рисунок 5):

    Рисунок 5. Постепенное сокращение дробей.

    Если числитель и знаменатель имеют только один общий делитель, единицу, то они называются несократимыми.

    Например, дробь $\frac{3}{4}$. У чисел $3$ и $4$ нет общих множителей, кроме единицы. Такие числа называют взаимно простыми.

    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение