КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Основное свойство дроби. Сокращение дробей
Основное свойство дроби. Сокращение дробей
Рассмотрим основное свойство обыкновенных дробей, а также научимся сокращать дроби.
Умножение числителя и знаменателя на одинаковое число
Учительница показала ребятам на часы и спросила, какие дроби можно увидеть на циферблате?
Лена сказала, что $\frac{1}{4}$.
Никита увидел $\frac{3}{12}$.
А Сережа — $\frac{15}{60}$.
Учительница похвалила их и сказала, что все они правы. А потом написала на доске вот такое равенство:
$$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{15}{60}$$
Какую закономерность можно заметить в этих дробях?
Показать решение
Скрыть
$$\frac{3}{12}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}$$
$$\frac{15}{60}=\frac{3\cdot 5}{12\cdot 5}$$
Получается, если числитель дроби умножить на $5$, то она увеличится в пять раз, но если знаменатель тоже умножить на $5$, то она уменьшится в пять раз, и останется точно такой же, какой была изначально!
пример
Мама дала Никите и его младшему брату Тимоше по $\frac{1}{2}$ груши. Но малыш закапризничал и сказал, что хочет больше долек груши, чем у брата. Тогда мама схитрила: взяла $\frac{1}{2}$ груши и разрезала. Получилось $\frac{2}{4}$ груши.
При этом и у Никиты, и у Тимоши груш получилось поровну.
Правило, которое мы только что рассмотрели, называется основное свойство дроби.
При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется:$$\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}=\frac{\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}{\textcolor{coral}{b}\textcolor{green}{c}}$$
умножение на единицу
Мы знаем, что единицу можно представить как дробь, где числитель и знаменатель — одно и то же число:
$$1 = \frac{m}{m}$$
Значит, если мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число, это все равно что умножить дробь на единицу. Неудивительно, что величина дроби не меняется:
$$\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}=\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}\cdot1=\frac{\textcolor{blue}{a}m}{\textcolor{coral}{b}m}$$
Деление числителя и знаменателя на одинаковое число
С умножением дробей на одинаковое число мы разобрались. А как насчет деления?
пример
В шоколадке $12$ кусочков.
Значит, в дробной части на рисунке $1$, $а$ — $\frac{4}{12}$ шоколадки.
Но в то же время мы можем сказать, что это $\frac{1}{3}$ часть шоколадки (рисунок $1$, $б$).
При этом мы видим, что эти части совершенно равны. Значит, мы можем сделать вывод, что $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
пример
Мы помним, что дробь – это деление. Возьмем дробь, которую можно разделить нацело, например, $\frac{20}{4}$:
$$ \frac{20}{4}=5$$
Теперь разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число, например, на $2$:
$$\frac{20:2}{4:2}=\frac{10}{2}=5$$
Следовательно, $\frac{20}{4}=\frac{10}{2}$.
При делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется:
$$\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}=\frac{\textcolor{blue}{a}:\textcolor{green}{c}}{\textcolor{coral}{b}:\textcolor{green}{c}}$$
Сокращение дробей
Если и числитель, и знаменатель дроби делятся на одно и то же натуральное число, то дробь можно сократить на это число.
Дроби, которые можно сократить, называют сократимыми.
Давайте разберемся, как правильно и удобно сокращать дроби.
Первый способ сокращения дробей
- Нужно найти максимальное число, на которое делится и числитель, и знаменатель. Это число будет называться «Наибольший общий делитель» или НОД.
- Затем нужно разделить числитель и знаменатель дроби на данное число, произведя тем самым сокращение.
Попробуем сократить дробь $\frac{36}{120}$
$$36=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$$
$$120=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 $$
Наибольшим общим делителем будет $3 \cdot 2 \cdot 2 $, или $12$.
Следовательно, $\frac{36}{120}=\frac{36:12}{120:12}=\frac{3}{10}$
Второй способ сокращения дробей
Сокращать дроби можно постепенно:
- Видим, что числитель и знаменатель — числа четные, значит, делятся на $2$, сокращаем.
- Заметим, что числитель и знаменатель делятся на $3$, производим деление, приведя тем самым дробь к несократимой.
несократимые дроби
Если числитель и знаменатель имеют только один общий делитель, единицу, то они называются несократимыми.
Например, дробь $\frac{3}{4}$. У чисел $3$ и $4$ нет общих множителей, кроме единицы. Такие числа называют взаимно простыми.
Часто задаваемые вопросы
В математике принято сокращать те дроби, которые можно сократить, это делается для удобства счета, а также для уменьшения больших чисел.
Дробь необходимо сокращать до несократимой дроби, иначе в большинстве случаев задание будет выполнено не полностью.
5
5
1
Хотите оставить комментарий?
Войти