Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Подписаться
СОЗДАТЬ
Создать флеш-карточки
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
КАРТОЧКИ
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Подобрать занятие
НАЗНАЧИТЬ

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Содержание
1046 1145

Рассмотрим основное свойство обыкновенных дробей, а также научимся сокращать дроби.

Умножение числителя и знаменателя на одинаковое число

Учительница показала ребятам на часы и спросила, какие дроби можно увидеть на циферблате?

Лена сказала, что $\frac{1}{4}$.

Никита увидел $\frac{3}{12}$.

А Сережа — $\frac{15}{60}$.

Учительница похвалила их и сказала, что все они правы. А потом написала на доске вот такое равенство:

$$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{15}{60}$$

Какую закономерность можно заметить в этих дробях?

Показать решение

Скрыть

$$\frac{3}{12}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}$$

$$\frac{15}{60}=\frac{3\cdot 5}{12\cdot 5}$$

Получается, если числитель дроби умножить на $5$, то она увеличится в пять раз, но если знаменатель тоже умножить на $5$, то она уменьшится в пять раз, и останется точно такой же, какой была изначально!

пример

Мама дала Никите и его младшему брату Тимоше по $\frac{1}{2}$ груши. Но малыш закапризничал и сказал, что хочет больше долек груши, чем у брата. Тогда мама схитрила: взяла $\frac{1}{2}$ груши и разрезала. Получилось $\frac{2}{4}$ груши.

При этом и у Никиты, и у Тимоши груш получилось поровну.

Правило, которое мы только что рассмотрели, называется основное свойство дроби.

При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется:$$\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}=\frac{\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}{\textcolor{coral}{b}\textcolor{green}{c}}$$

умножение на единицу

Мы знаем, что единицу можно представить как дробь, где числитель и знаменатель — одно и то же число:

$$1 = \frac{m}{m}$$
Значит, если мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число, это все равно что умножить дробь на единицу. Неудивительно, что величина дроби не меняется:

$$\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}=\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}\cdot1=\frac{\textcolor{blue}{a}m}{\textcolor{coral}{b}m}$$

Деление числителя и знаменателя на одинаковое число

С умножением дробей на одинаковое число мы разобрались. А как насчет деления?

пример

В шоколадке $12$ кусочков.

Значит, в дробной части на рисунке $1$, $а$ — $\frac{4}{12}$ шоколадки.

Но в то же время мы можем сказать, что это $\frac{1}{3}$ часть шоколадки (рисунок $1$, $б$).

При этом мы видим, что эти части совершенно равны. Значит, мы можем сделать вывод, что $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

Рисунок $1$

пример

Мы помним, что дробь – это деление. Возьмем дробь, которую можно разделить нацело, например, $\frac{20}{4}$:

$$ \frac{20}{4}=5$$

Теперь разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число, например, на $2$:

$$\frac{20:2}{4:2}=\frac{10}{2}=5$$

Следовательно, $\frac{20}{4}=\frac{10}{2}$.

При делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется:
$$\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}=\frac{\textcolor{blue}{a}:\textcolor{green}{c}}{\textcolor{coral}{b}:\textcolor{green}{c}}$$

Сокращение дробей

Если и числитель, и знаменатель дроби делятся на одно и то же натуральное число, то дробь можно сократить на это число.
Дроби, которые можно сократить, называют сократимыми.

Давайте разберемся, как правильно и удобно сокращать дроби.

Первый способ сокращения дробей

  • Нужно найти максимальное число, на которое делится и числитель, и знаменатель. Это число будет называться «Наибольший общий делитель» или НОД.
  • Затем нужно разделить числитель и знаменатель дроби на данное число, произведя тем самым сокращение.

Попробуем сократить дробь $\frac{36}{120}$

$$36=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$$

$$120=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 $$

Наибольшим общим делителем будет $3 \cdot 2 \cdot 2 $, или $12$.

Следовательно, $\frac{36}{120}=\frac{36:12}{120:12}=\frac{3}{10}$

Второй способ сокращения дробей

Сокращать дроби можно постепенно:

  • Видим, что числитель и знаменатель — числа четные, значит, делятся на $2$, сокращаем.
  • Заметим, что числитель и знаменатель делятся на $3$, производим деление, приведя тем самым дробь к несократимой.

несократимые дроби

Если числитель и знаменатель имеют только один общий делитель, единицу, то они называются несократимыми.

Например, дробь $\frac{3}{4}$. У чисел $3$ и $4$ нет общих множителей, кроме единицы. Такие числа называют взаимно простыми.

Часто задаваемые вопросы

Зачем сокращать дробь, если результат будет один и тот же?

В математике принято сокращать те дроби, которые можно сократить, это делается для удобства счета, а также для уменьшения больших чисел.

Можно ли сокращать дробь не до конца?

Дробь необходимо сокращать до несократимой дроби, иначе в большинстве случаев задание будет выполнено не полностью.

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ