Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Родителю Подписаться
КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Классы
Темы
НАЗНАЧИТЬ

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Содержание
1046 1145

Рассмотрим основное свойство обыкновенных дробей, а также научимся сокращать дроби.

Умножение числителя и знаменателя на одинаковое число

Учительница показала ребятам на часы и спросила, какие дроби можно увидеть на циферблате?

Лена сказала, что $\frac{1}{4}$.

Никита увидел $\frac{3}{12}$.

А Сережа — $\frac{15}{60}$.

Учительница похвалила их и сказала, что все они правы. А потом написала на доске вот такое равенство:

$$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{15}{60}$$

Какую закономерность можно заметить в этих дробях?

Показать решение

Скрыть

$$\frac{3}{12}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}$$

$$\frac{15}{60}=\frac{3\cdot 5}{12\cdot 5}$$

Получается, если числитель дроби умножить на $5$, то она увеличится в пять раз, но если знаменатель тоже умножить на $5$, то она уменьшится в пять раз, и останется точно такой же, какой была изначально!

пример

Мама дала Никите и его младшему брату Тимоше по $\frac{1}{2}$ груши. Но малыш закапризничал и сказал, что хочет больше долек груши, чем у брата. Тогда мама схитрила: взяла $\frac{1}{2}$ груши и разрезала. Получилось $\frac{2}{4}$ груши.

При этом и у Никиты, и у Тимоши груш получилось поровну.

Правило, которое мы только что рассмотрели, называется основное свойство дроби.

При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется:$$\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}=\frac{\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}{\textcolor{coral}{b}\textcolor{green}{c}}$$

умножение на единицу

Мы знаем, что единицу можно представить как дробь, где числитель и знаменатель — одно и то же число:

$$1 = \frac{m}{m}$$
Значит, если мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число, это все равно что умножить дробь на единицу. Неудивительно, что величина дроби не меняется:

$$\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}=\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}\cdot1=\frac{\textcolor{blue}{a}m}{\textcolor{coral}{b}m}$$

Деление числителя и знаменателя на одинаковое число

С умножением дробей на одинаковое число мы разобрались. А как насчет деления?

пример

В шоколадке $12$ кусочков.

Значит, в дробной части на рисунке $1$, $а$ — $\frac{4}{12}$ шоколадки.

Но в то же время мы можем сказать, что это $\frac{1}{3}$ часть шоколадки (рисунок $1$, $б$).

При этом мы видим, что эти части совершенно равны. Значит, мы можем сделать вывод, что $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

Рисунок $1$

пример

Мы помним, что дробь – это деление. Возьмем дробь, которую можно разделить нацело, например, $\frac{20}{4}$:

$$ \frac{20}{4}=5$$

Теперь разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число, например, на $2$:

$$\frac{20:2}{4:2}=\frac{10}{2}=5$$

Следовательно, $\frac{20}{4}=\frac{10}{2}$.

При делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется:
$$\frac{\textcolor{blue}{а}}{\textcolor{coral}{b}}=\frac{\textcolor{blue}{a}:\textcolor{green}{c}}{\textcolor{coral}{b}:\textcolor{green}{c}}$$

Сокращение дробей

Если и числитель, и знаменатель дроби делятся на одно и то же натуральное число, то дробь можно сократить на это число.
Дроби, которые можно сократить, называют сократимыми.

Давайте разберемся, как правильно и удобно сокращать дроби.

Первый способ сокращения дробей

  • Нужно найти максимальное число, на которое делится и числитель, и знаменатель. Это число будет называться «Наибольший общий делитель» или НОД.
  • Затем нужно разделить числитель и знаменатель дроби на данное число, произведя тем самым сокращение.

Попробуем сократить дробь $\frac{36}{120}$

$$36=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$$

$$120=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 $$

Наибольшим общим делителем будет $3 \cdot 2 \cdot 2 $, или $12$.

Следовательно, $\frac{36}{120}=\frac{36:12}{120:12}=\frac{3}{10}$

Второй способ сокращения дробей

Сокращать дроби можно постепенно:

  • Видим, что числитель и знаменатель — числа четные, значит, делятся на $2$, сокращаем.
  • Заметим, что числитель и знаменатель делятся на $3$, производим деление, приведя тем самым дробь к несократимой.

несократимые дроби

Если числитель и знаменатель имеют только один общий делитель, единицу, то они называются несократимыми.

Например, дробь $\frac{3}{4}$. У чисел $3$ и $4$ нет общих множителей, кроме единицы. Такие числа называют взаимно простыми.

Часто задаваемые вопросы

Зачем сокращать дробь, если результат будет один и тот же?

В математике принято сокращать те дроби, которые можно сократить, это делается для удобства счета, а также для уменьшения больших чисел.

Можно ли сокращать дробь не до конца?

Дробь необходимо сокращать до несократимой дроби, иначе в большинстве случаев задание будет выполнено не полностью.

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ