Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Рассмотрим основное свойство обыкновенных дробей, а также базирующееся на нём правило сокращения дробей. Также познакомимся с понятием «Наибольший общий делитель» и разберёмся, как он помогает сократить дробь.

Умножаем числитель и знаменатель на одинаковое число

Рассмотрим рисунок 1.

Учительница показала ребятам на часы и спросила, какие дроби можно увидеть на циферблате.

Лена сказала, что $\frac{1}{4}$

Никита увидел $\frac{3}{12}$

А Серёжа $\frac{15}{60}$

Учительница похвалила их и сказала, что все они правы. А потом написала на доске вот такое равенство:

$$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{15}{60}$$

Какую закономерность можно заметить в этих дробях?

$$\frac{3}{12}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}$$

$$\frac{15}{60}=\frac{3\cdot 5}{12\cdot 5}$$

Получается, если числитель дроби умножить на $5$, то она увеличится в пять раз, но если знаменатель тоже умножить на $5$, то она уменьшится в пять раз, и останется точно такой же!

Рассмотрим пример:

Мама дала Никите и его младшему брату Тимоше по $\frac{1}{2}$ груши. Но малыш закапризничал и сказал, что хочет больше долек груши, чем у брата. А дома как раз закончились груши, эта была последняя. Тогда мама схитрила: взяла $\frac{1}{2}$ груши и разрезала. Получилось $\frac{2}{4}$ груши.

При этом и у Никиты, и у Тимоши груш получилось поровну.

Правило, которое мы только что рассмотрели, называется основное свойство дроби.

При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется.
$$\frac{а}{b}=\frac{ac}{bc}$$

Давайте для закрепления посмотрим на рисунок 3.

Можете сказать, какие части прямоугольников закрашена синим?

Показать ответы

Скрыть

Умножение на единицу

Важно понимать. По сути, умножая числитель и знаменатель на одно и то же число, мы умножаем или делим дробь на единицу.

Разберёмся подробнее.

Мы знаем, что натуральное число можно представить как дробь с заданным знаменателем. Если показать превращение натурального числа $n$ в дробь с помощью буквенного обозначения, формула будет выглядеть так:

 $$n = \frac{n \cdot m}{m}$$

Если число, которое нам нужно представить, как дробь, это единица, тогда получается следующее:

$$1=\frac{1\cdot m}{m}$$

Но нам известно, что любое число, умноженное на единицу, равно самому себе. Получается, число $1$ можно представить как дробь, у которой числитель и знаменатель равны.

Значит, если мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число, мы всё равно что умножаем их на единицу. Неудивительно, что величина дроби не меняется.

Деление числителя и знаменателя на одинаковое число

Хорошо, с умножением дробей на одинаковое число мы разобрались. А как насчёт деления?

В шоколадке 12 кусочков. Значит, в дробной части на рисунке  $\frac{4}{12}$ шоколадки (рисунок 4, а).

Но в то же время мы можем сказать, что это $\frac{1}{3}$ часть шоколадки (рисунок 4, б).

При этом мы видим, что эти части совершенно равны. Значит, мы можем сделать вывод, что $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

Разберём ещё один пример. Мы помним, что дробь – это деление. Возьмём дробь, которую можно разделить нацело, например, $\frac{20}{4}$

$$ \frac{20}{4}=5$$

Теперь разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число, например, на 2.

$$\frac{20:2}{4:2}=\frac{10}{2}=5$$

Следовательно, $\frac{20}{4}=\frac{10}{2}$

Можно сформулировать правило:

При делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется.
$$\frac{а}{b}=\frac{a:c}{b:c}$$

{"questions":[{"content":"Какие из дробей ниже будут равны дроби $\\frac{a}{b}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{a \\cdot t}{t \\cdot b}$","$\\frac{a : t}{t : b}$","$\\frac{a \\cdot t}{b : t}$","$\\frac{a : t}{b : t}$"],"answer":[0,3]}},"step":1,"hints":["При умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется.","Следовательно, равными дроби $\\frac{a}{b}$ будут дроби $\\frac{a \\cdot t}{t \\cdot a}$ и $\\frac{a : t}{b : t}$"]}]}

Сокращение дробей

Это свойство дробей позволяет нам выполнять упрощение или сокращение.

Если и числитель, и знаменатель дроби делятся на одно и то же натуральное число, то дробь можно сократить на это число.
Дроби, которые можно сократить, называют сократимыми.

По сути, сокращение – это уменьшение чисел в числителе и знаменателе (без изменения величины дроби).

Вы, наверняка, и сами замечали, что дроби вида $\frac{20}{60}$ выглядят как-то громоздко, их так и хочется представить в виде $\frac{2}{6}$, а то и $\frac{1}{3}$.

В математике принято сокращать те дроби, которые можно сократить.

Давайте разберёмся, как правильно и удобно это делать.

Один из способов таков: нужно найти максимальное число, на которое делится и числитель, и знаменатель. Это число будет называться «Наибольший общий делитель» или НОД.

Для этого нужно разложить числитель и знаменатель на простые множители, определить общие множители и, если их несколько, умножить их друг на друга.

Например, попробуем сократить дробь $\frac{36}{120}$

$$36=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$$

$$120=3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 $$

Наибольшим общим делителем будет $3 \cdot 2 \cdot 2 $ или $12$.

Следовательно, $\frac{36}{120}=\frac{36:12}{120:12}=\frac{3}{10}$

Также сокращать дроби можно постепенно (см. рисунок 5):

Если числитель и знаменатель имеют только один общий делитель, единицу, то они называются несократимыми.

Например, дробь $\frac{3}{4}$. У чисел $3$ и $4$ нет общих множителей, кроме единицы. Такие числа называют взаимно простыми.

{"questions":[{"content":"Образавры ходили за грибами. Зелёный Образавр набрал $\\frac{3}{4}$ корзинки, синий Образавр - $\\frac{55}{88}$, а розовый - $\\frac{35}{40}$ корзинки грибов. Расположите цифры в порядке возрастания. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","x":1,"items":["$\\frac{55}{88}$","$\\frac{3}{4}$","$\\frac{35}{40}$"]}},"hints":["Для сравнения представьте все дроби как дробные числа со знаменателем 8, а потом сравните числители."]},{"content":"Какие дроби будут равными дроби $\\frac{3}{4}$?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$\\frac{12}{16}$","$\\frac{5}{7}$","$\\frac{6}{8}$","$\\frac{30}{40}$"],"answer":[0,2,3]}},"hints":["Сократите все сократимые дроби"]},{"content":"Каким будет наибольший общий делитель для дроби $\\frac{40}{44}$?[[input-40]]","widgets":{"input-40":{"type":"input","answer":"4"}}}]}