Деление и дроби. Запись числа в виде дроби

На этом уроке поговорим о том, как при делении получаются дробные числа, а также о том, что любое натуральное число можно записать в виде дроби. Представить как дробь можно не только число, но и сумму чисел.

Как поделить то, что не делится?

Марина и Лена собирались пить чай, и тут к ним пришла их подруга Соня. Ей, конечно, тоже налили чая, девочки сели за стол и стали делить пирожные. Пирожных было только два, поэтому делили они их так: каждое пирожное разрезали на три части, а потом каждая взяла себе по одной части от каждого пирожного. У всех получилось поровну.

А ещё у нас получилась дробь. У каждой девочки будет $\frac{2}{3}$ пирожного.

С помощью дробей можно разделить на равные части любое натуральное число. Например, нам нужно поделить $3$ яблока на четверых. Как это сделать? Разрезать каждое яблоко на $4$ части, а потом дать каждому одинаковое количество кусочков. Сколько кусочков будет у каждого?

Показать ответ

Скрыть

Получается, мы просто записываем пример в виде дроби. В нижней части у нас написано, на сколько кусочков мы делим то, что нам нужно поделить, а в верхней – сколько кусочков получается при делении.

Дробь – знак деления

Черту дроби можно понимать как знак деления.

Даже на калькуляторе обычно деление отображается как знак дроби. А ещё можно иногда встретить вот такое написание дробей: $½, 3/4$.

Давайте теперь разберём такой пример. Мама купила $12$ мандаринов: себе, папе и двоим детям. По сколько мандаринов достанется каждому, если разделить их поровну?

$$\frac{12}{4}=3$$

Получается, иногда дробь можно «поделить до конца» и получить целое число. В таких случаях говорят, что деление выполняется нацело.

С помощью дробей можно записать результат деления двух любых натуральных чисел. Если деление выполняется нацело, то в частное – целое число. Если же разделить нацело нельзя, то частное будет дробным числом.

Выглядит это, как будто мы записали пример, а решать его поленились.

$$4:5=\frac{4}{5}$$

{"questions":[{"content":"Соедините числа с равными им дробями.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["3","4","5"],"items":["$\\frac{33}{11}$","$\\frac{36}{9}$","$\\frac{35}{7}$"]}},"step":1,"hints":["Числитель дроби соответствует делимому, а знаменатель — делителю. Значит, чтобы вычислить значение дроби, нужно числитель разделить на знаменатель.","$\\frac{33}{11} = 3$<br />$\\frac{36}{9} = 4$<br />$\\frac{35}{7} = 5$"]}]}

Как записать число в виде дроби

Любое натуральное число можно записать в виде дроби. Например, нам нужно представить число $2$ как дробь со знаменателем $4$. Мы уже делали подобное при вычитании дробей из целых чисел. Тогда мы представляли единицу как $\frac{4}{4}$, а затем умножали числитель на $2$.

Любое число можно записать в виде дроби с каким-либо знаменателем. Числитель этой дроби будет равен произведению этого числа на знаменатель.

$$a=\frac{ac}{c}$$

Например, нам нужно представить $4$ как дробь со знаменателем $5$. Нам нужно найти число, которое при делении на $5$ дало бы нам $4$. Чтобы его найти, мы умножаем $5$ на $4$, получается $20$.

$$4=\frac{20}{5}$$

Это как если бы мы решали задачу, где нам известно, на сколько человек разделили конфеты, и сколько получил в итоге каждый человек, а неизвестно было бы, какое количество конфет было изначально.

Деление суммы на число

Мы знаем, что при сложении дробей с одинаковыми знаменателями нужно сложить числительные.

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$$

А если нам нужно не складывать дроби, а, наоборот, разделить сумму на число?

$$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$$

По-другому это можно записать так:

$$(a+b) : c = a : c + b : c$$

Получается, нам необязательно сначала складывать числа, а потом делить их – можно разделить каждое число и потом сложить результаты.

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные.

Например, вспомним задачу с мандаринами. Мама купила $12$ мандаринов, которые разделили на четверых человек. Папа не знал, что мама купила мандарины, и купил $8$ штук по дороге с работы. Старший из детей решил, что мандаринов всё равно мало, пошёл и докупил ещё $4$. По сколько мандаринов получит каждый член семьи, если они разделят все получившиеся мандарины поровну?

У нас получается вот такой пример:

$$(\textcolor{blue}{12}+\textcolor{green}{8}+\textcolor{orange}{4}) : 4 = \textcolor{blue}{12} : 4 + \textcolor{green}{8} : 4 + \textcolor{orange}{4} : 4 = 3+2+1 = 6$$

Проверим? $(12+8+4) : 4 = 24 : 4 = 6$

Деление суммы перекликается с нахождением среднего арифметического, о нём мы будем говорить на отдельном уроке.

{"questions":[{"content":"Урок длится 40 минут, проверка домашней работы - 10 минут. Какую часть урока она занимает? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{10}{40}$","$\\frac{1}{4}$","$\\frac{40}{10}$","$\\frac{1}{40}$"],"explanations":["","","",""],"answer":[0,1]}}},{"content":"Объём большой кастрюли - 5 литров. Мама сварила в ней компот. Какой объём занимает жидкость, если известно, что ягоды занимают $\\frac{2}{3}$ литра?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\frac{13}{3}$ литра","$\\frac{10}{3}$ литра","$\\frac{1}{3}$ литра"],"answer":[0]}}},{"content":"В первой части учебника по математике для второго класса 39 уроков и 80 страниц. Все уроки одинаковы по размеру, и в конце учебника 2 страницы отведено на содержание. Какая дробь будет показывать количество страниц в уроке? [[choice-40]]","widgets":{"choice-40":{"type":"choice","options":["$\\frac{39}{80}$","$\\frac{80}{39}$","$\\frac{39}{78}$","$\\frac{78}{39}$","$\\frac{1}{2}$","$\\frac{2}{1}$"],"explanations":["","","","","",""],"answer":[3,5]}},"hints":["Сначала нужно вычесть 2 из 80 (так как на этих двух страницах уроков нет)","Чтобы узнать число страниц в уроке, нужно количество страниц поделить на количество уроков."]},{"content":"Нам нужно записать число 8 как дробь со знаменателем 7. Как будет выглядеть эта дробь?[[choice-79]]","widgets":{"choice-79":{"type":"choice","options":["$\\frac{8}{7}$","$\\frac{56}{7}$","$\\frac{49}{7}$"],"answer":[1]}},"hints":["Воспользуйтесь формулой $a=\\frac{ac}{c}$"]}]}