0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Среднее арифметическое

Содержание

    Возможно, вы слышали выражения «средний балл за контрольную», «среднее количество осадков» или «средняя годовая температура». Этот урок посвящён среднему арифметическому: тому, что это такое, как найти среднее арифметическое натуральных чисел и дробей, и где это может пригодиться.

    Знакомство со средним арифметическим

    Решавр, Вообразавр и Иксератопс собирали грибы. Решавр нашёл $5$ грибов, Вообразавр – $7$, а Иксератопс целых $9$! Друзья решили разделить найденное количество грибов поровну.

    Рисунок 1

    Они сложили все грибы в кучку, а потом каждый взял себе равное число грибов, то есть они поделили общее количество на $3$.

    $5 + 7 + 9 = 21$

    $21 : 3 = 7$

    Рисунок 2

    То число грибов, которое получилось у каждого из друзей, будет средним арифметическим.  

    Среднее арифметическое нескольких чисел – это сумма этих чисел, разделённая на количество слагаемых.

    Задачи на нахождение среднего арифметического натуральных чисел

    Автомобиль $2$ часа ехал через город со скоростью $30$ км/ч, по пригороду час со скоростью $60$ км/час, а затем ещё $3$ часа по трассе со скоростью $100$ км/час. Вычислите среднюю скорость автомобиля.

    Сначала найдём сумму всех расстояний. У нас получится $30 \cdot 2 + 60 + 100 \cdot 3 = 420$

    Теперь разделим эту сумму расстояний на количество часов.

    $$420 : 6 = 70$$

    Следовательно, если бы автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч в течение такого же времени ($6$ часов), он проехал бы такое же расстояние.

    Рассмотрим другую задачу.

    Первый рабочий за рабочий день собирает $50$ деталей, второй – $44$ более сложные детали, а третий работает над самыми сложными и делает за день гораздо меньше деталей. Сколько деталей он делает, учитывая, что средняя производительность всех трёх рабочих $38$ деталей за смену?

    Зная, что средняя производительность $38$, а рабочих трое, мы можем найти сумму деталей, которые они собирают за день.

    $$38 \cdot 3 = 114$$

    Теперь просто вычтем из этого числа то, что делают первые двое рабочих и найдём количество деталей, которые делает третий.

    $$114-50-44 = 20$$

    Показать проверку

    Скрыть

    $$(50 + 44 + 20) : 3 = 114 : 3 = 38$$

    Как найти среднее арифметическое десятичных дробей

    Решать задачи на среднее арифметическое достаточно просто, если речь идёт о натуральных числах. Ненамного сложнее дело обстоит с десятичными дробями.

    Рисунок 3

    На рисунке 3 изображены три отрезка. Длина отрезка АВ $5.9$ см, отрезка CD – $7.3$ см, а отрезок EF равен среднему арифметическому первых двух отрезков. Какова длина отрезка EF?

    Сложим длины отрезков АВ и CD и вычислим их среднюю длину.

    $$5.9 + 7.3 = 13.2$$

    $$13.2 : 2 = 6.6$$

    Теперь решим задачу на нахождение слагаемых. Два кролика ели морковку, серый кролик съел в $1.4$ раза больше морковки, чем белый. Сколько морковки съел каждый, если среднее количество съеденного – $7.5$ морковок?

    Начинаем «распутывать» наш пример. Если мы знаем, что среднее арифметическое двух чисел – $7.5$, значит, их сумма – $7.5 \cdot 2 = 15$

    Примем количество съеденного белым кроликом за $x$, тогда серый съел $1.4 \cdot x$. Можно составить уравнение:

    $$1.4 \cdot x + x = 15$$

    Вычислим, сколько съел каждый из кроликов.

    Показать решение

    Скрыть

    Сначала найдём значение выражения.

    $$1.4 \cdot x + x = 2.4 \cdot x = 15$$

    $$x = 15 : 2.4 = 6.25$$

    Мы получили число моркови, которую съел белый кролик. Теперь давайте определим, сколько съел серый.

    $$6.25 \cdot 1.4 = 8.75$$

    Проверим наше решение, сложив количество съеденного обоими кроликами и найдя среднее арифметическое.

    $$8.75 + 6.25 = 15$$

    $$15 : 2 = 7.5$$

    Значит, наше решение было верным.

    Как найти среднее арифметическое обыкновенных дробей

    Вычислять среднее арифметическое обыкновенных дробей приходится не так уж часто. Но давайте рассмотрим, как это делается.

    Особенность поиска среднего арифметического обыкновенных дробей состоит в том, что нужно складывать их, а, значит, приводить к общему знаменателю.

    Напомним, что приведение к общему знаменателю основывается на основном свойстве дроби, которое позволяет умножить обе части дроби на одно и то же число без изменения значения. Таким образом, мы можем найти для дробных слагаемых дополнительные множители, с помощью которых знаменатели слагаемых станут одинаковыми.

    Найдём среднее арифметическое дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{7}$.

    Мы можем выполнить сложение только в том случае, если у обоих слагаемых будет одинаковый знаменатель. Сначала нужно понять, к какому наименьшему общему знаменателю нужно привести эти дроби. Для этого требуется найти число, которое делится и на $3$, и на $7$. Это число будет называться НОК (наименьшее общее кратное). Для чисел $3$ и $7$ это будет произведение этих чисел, $21$.

    Для того чтобы вычислить дополнительные множители, нужно разделить НОК на каждый из знаменателей. Таким образом, для $3$ дополнительным множителем будет $7$,  а для $7$ это будет $3$.

    Умножаем обе части дроби на один и тот же дополнительный множитель.

    $$\frac{2}{3} = \frac{2\cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}$$

    $$\frac{4}{7} = \frac{4\cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21}$$

    Теперь у нас две дроби с одинаковым знаменателем, и мы можем легко их сложить.

    $$\frac{14}{21} + \frac{12}{21} = \frac{14 + 12}{21} =  \frac{26}{21}$$

    Осталось только разделить эту сумму на число слагаемых. При делении обыкновенной дроби нужно умножить знаменатель дроби на делитель:

    $$\frac{26}{21} : 2 = \frac{26}{21 \cdot 2} = \frac{26}{42}$$

    Эту дробь можно сократить, разделив обе части на $2$. У нас получится $\frac{13}{21}$.

    Многие операции, которые мы разобрали подробно, можно сделать и устно – здесь они расписаны так только для того, чтобы немного повторить пройденный материал.

    Разберём ещё пример со смешанными дробями. Найдём среднее арифметическое для дробей $2\frac{1}{6}$ и $3\frac{1}{15}$.

    Сначала нужно перевести каждую из этих смешанные дробей в неправильную. Для этого нужно умножить целое число на знаменатель и прибавить числитель.

    $$2\frac{1}{6} = \frac{(2 \cdot 6) + 1}{6} = \frac{13}{6}$$

    $$3\frac{1}{15} = \frac{(3 \cdot 15) + 1}{15} = \frac{46}{15}$$

    Теперь приведём эти дроби к общему знаменателю. НОК $(15$ и $6) = 30$

    Теперь подбираем дополнительные множители и складываем наши дроби.

    $$\frac{13 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{46 \cdot 2}{15 \cdot 2}$$

    $$\frac{65}{30} + \frac{92}{30} = \frac{65 + 92}{30} = \frac{157}{30}$$

    Мы могли бы выделить целую часть из этой дроби, но нет необходимости, так как мы не закончили вычисления. Для нахождения среднего арифметического разделим полученное число на $2$ (другими словами, умножим дробь на число, обратное делителю, в данном случае $\frac{1}{2}$).

    $$\frac{157}{30} : 2 = \frac{157}{30 \cdot 2} = \frac{157}{60} = 2 \frac{37}{60}$$

    Если мы захотим поделить $37$ на $60$, у нас получится периодическая дробь: $0.61(6) $

    Если нужно записать ответ в виде десятичной дроби, то можно использовать периодическую дробь. В некоторых случаях можно округлить эту дробь, например, $0.61(6) $ приблизительно равно $0.62$

    Но если в условиях не сказано, что нужна именно десятичная дробь, лучше оставить обыкновенную, так как она будет точно передавать значение выражения.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение