Округление чисел. Приближённые значения

На этом уроке мы рассмотрим, как округлять числа. Округление бывает с избытком и недостатком. Округлять можно как целые, так и дробные числа. При этом мы получаем не точные, а примерные или приближённые значения.

Приближённые значения применяются в случаях, если невозможно вычислить точное значение или если точное значение не требуется.

Приближённые значения

Представьте, что вы смотрите на часы в комнате и они показывают два часа и две минуты. Но когда вы переходите в другую комнату, там на часах $13.59$. Какие-то из этих часов отстают или спешат… Но если вам не нужно совершенно точно указать время, то можно смело сказать, что часы показывают приблизительно два часа.

Другой пример. В интернете можно встретить информацию, что размер африканского слона около $300$ сантиметров. На самом деле есть слоны покрупнее и помельче, кто-то из них достигает почти четырёх метров, а слонихи обычно ростом $270-280$ см. И, конечно, никому не приходит в голову перемерить всех имеющихся слонов, чтобы указать их точные размеры. Вместо этого называют приблизительное или, говоря математическим языком, приближённое значение. Размеры слона округляют до $300$ сантиметров.

Правила округления натуральных чисел

Округлением натурального числа называют замену этого числа таким ближайшим по значению, у которого одна или несколько последних цифр в записи заменяется нулями.

Поэтому такой процесс и называется округление — число заканчивается на круглые нули.

При округлении используется вот такой знак:

Давайте рассмотрим принцип округления на примере слона Гектора. Его рост $320$ см, нужно округлить до сотен.

Подчёркиваем число в разряде сотен и смотрим на следующее число (разряд десятков). Это $2$, следовательно, заменяем все цифры после разряда сотен нулями, а число сотен оставляем без изменений.

А рост слонихи Офелии $275$ см. Давайте округлим его до десятков.

Подчёркиваем число десятков, смотрим на разряд справа (единицы). Это $5$. Заменяем число единиц нулями, а цифру в разряде десятков увеличиваем на $1$.

Обратите внимание, что когда мы округляли массу слона, у нас получилось меньшее число, а когда массу слонихи — большее.

Можно сказать, что $300$ — это приближение числа $320$ с недостатком, а $280$ — это приближение числа $275$ с избытком.

{"questions":[{"content":"Рост слонёнка Голиафа $196$ см. Округлите его рост до сотен и запишите его в метрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","unit":"м","answer":"2"}},"step":1,"hints":["Подчёркиваем единицу в разряде сотен. Смотрим на число десятков, это $9$.","Увеличиваем число сотен на $1$, а все цифры после разряда сотен заменяем нулями.","$200$ см равны $2$ м."]}]}

Округление десятичных дробей до целых. Общий принцип

Образавру подарили арбуз. Он решил его взвесить, но у него не было хороших весов. На тех, которые были, оказались только килограммовые деления. Вот что показали весы:

Арбуз весит больше $4$ кг, но немного меньше $5$ кг. Если обозначить массу арбуза буквой n, получается, что $4 < n < 5$

Число $4$ будет приближённым значением n с недостатком, а $5$ – приближённым значением n с избытком.

Между $4$ и $5$ нет натуральных чисел, получается, мы будем округлять дробное число либо до одного натурального числа, либо до другого.

Замену дробного числа ближайшим к нему натуральным числом или нулём называют округлением этого числа до целых.

{"questions":[{"content":"Между какими натуральными числами расположена дробь $6.53$?<br />[[input-1]] $< 6.53 <$ [[input-4]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":"6"},"input-4":{"type":"input","inline":1,"answer":"7"}},"step":1,"hints":["Натуральные числа - это числа $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ и т.д.","$6.53$ больше $6$, но меньше $7$, следовательно, число $6$ будет приближённым значением $6.53$ с недостатком, а число $7$ - приближённым значением числа $6.53$ с избытком."]}]}

Округление с избытком и недостатком

Если у числа n цифра десятых больше $5$, то число n ближе к большему значению, чем к меньшему, и его можно округлить до целых в большую сторону (также это называется «округлить с избытком»).

Почему мы сравниваем именно с $5$?

Потому что именно $5$ десятых равно удалено и от меньшего числа, и от большего.

Позже Образавр купил другие весы, чтобы взвесить арбуз точнее, и узнал, что он весит $4.8$ кг.

Так как масса арбуза почти равна $5$, то можно сказать, что его массу можно округлить до $5$ кг.

Образавру понравилось взвешивать и округлять. Он взвесил ещё и дыню, которую купил по дороге. Оказалось, дыня весит $3.1$ кг. Если округлять до целых, то масса дыни ближе к трём килограммам, чем к четырём.

Если у числа n цифра десятых меньше $5$, то число n ближе к меньшему значению, чем к большему, и его можно округлить до целых в меньшую сторону (также это называется «округлить с недостатком»).

А что же делать, если у числа ровно $5$ десятых? Например, кот Рыжик весит ровно $6,5$ кг. Число $6,5$ равно удалено и от $6$ кг, и от $7$ кг. Если мы хотим округлить массу Рыжика до целых, то чему она будет равна?

Условились, что если цифра десятых равна $5$, то число округляется в большую сторону, с избытком.

Следовательно, массу Рыжика также нужно будет округлить с избытком, и она будет приближённо равна $7$ кг.

{"questions":[{"content":"Округлите дроби до целых и соедините с соответствующими цифрами.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["$16$","$17$"],"items":[["$16.29$","$15.93$"],["$17.4$","$16.78$"]]}},"step":1,"hints":["В дроби $16.78$ число десятых больше $5$, следовательно, дробь можно округлить в большую сторону, до $17$.","В дроби $16.29$ число десятых меньше $5$, следовательно, дробь можно округлить в меньшую сторону, до $16$.","В дроби $17.4$ число десятых меньше $5$, следовательно, дробь можно округлить в меньшую сторону, до $17$.","В дроби $15.93$ число десятых больше $5$, следовательно, дробь можно округлить в большую сторону, до $16$."]}]}

Округление десятичных дробей до десятых, сотых и т.д.

Числа можно округлять и до других разрядов.

Марина забыла дома линейку. В школе она свернула тетрадный листок в клеточку в несколько раз, и на получившейся полоске бумаги сделала отметины и написала цифры. Марина знала, что одна клеточка – это $0.5$ см. У неё получилась линейка.

Правда, линейка получилась не очень точная. Например, когда ей понадобилось измерить отрезок, оказалось, что делений не хватает.

Можете ли сказать, чему приближённо равен отрезок АВ?

Показать ответ

Скрыть

Давайте потренируемся. Длина карандаша равна $17.72$ см. Нужно округлить эту дробь до десятых.

Показать решение

Скрыть

Чтобы округлить число $17.\textcolor{blue}{7} \textcolor{red}{2}$ до десятых, нам нужно заменить все цифры после разряда десятых нулями. В нашем случае это одна цифра. Сравним эту цифру с $5. $

$$2 < 5$$

Следовательно, округляем число в меньшую сторону, а число десятых оставляем без изменений.

{"questions":[{"content":"Выберите те дроби, которые можно округлить до сотых в большую сторону. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$45.7894$","$13.9362$","$130.0171$","$62.514$"],"explanations":["","","","Число тысячных меньше $5$, значит, это число нельзя округлить до сотых в большую сторону."],"answer":[0,1,2]}},"step":1,"hints":["Для того чтобы определить, можно ли сократить число до сотых с округлением в большую сторону, нужно проверить тысячные. Если цифра тысячных больше 5, то число можно округлить до сотых с избытком.","Под это условие подходят дроби $45.7894, 13.9362, 130.0171$","При округлении до сотых эти дроби будут приближённо равны $45.79, 13.94, 130.02$"]}]}

Округление дробных чисел при переводе обыкновенных дробей в десятичные

При переводе обыкновенных дробей в десятичные иногда мы сталкиваемся с ситуацией, когда дробь не может быть представлена в виде десятичной.

Например, $\frac{1}{6}$. Если мы разделим $1$ на $6$, калькулятор покажет вот такое число:

Известно, что дробь может быть переведена в десятичную только в том случае, если её знаменатель раскладывается на простые множители $2$ и $5. $

Получается, мы не можем представить дробь $\frac{1}{6}$ в виде десятичной. Мы можем только найти приближённое значение.

Например, мы можем округлить число на рисунке 5 до тысячных.

Как это можно сделать?

Скрыть

Выделим число, до которого нужно округлить (тысячные) и то, которое следует за ним (десятитысячные).

$0.16 \textcolor{blue}{6} \textcolor{red}{6}66$

Посмотрим на число десятитысячных. Это $6. $

$$6 > 5$$

Следовательно, мы берём число тысячных и увеличиваем его на $1. $

У нас получается $0.167$

{"questions":[{"content":"Разделите на калькуляторе $1$ на $9. $ Округлите полученную дробь до десятитысячных. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"0.1111"}},"step":1,"calc":1,"hints":["Сначала выполним деление. У нас получится $0.111111$","Теперь найдём десятитысячную. Это четвёртое число после запятой. Смотрим на пятое число. Это $1$. <br />$1 < 5$, следовательно, мы можем просто отбросить все цифры после десятитысячной.","Приближённым значением будет $0.1111$"]}]}

Приближённые значения приходят к нам на помощь, когда вычислить точное значение не представляется возможным. Но всё-таки в рамках школьного курса математики мы чаще имеем дело с точными цифрами, и, если есть возможность получить точный ответ, следует стараться это сделать.

{"questions":[{"content":"Округлите дроби до сотых и выберите правильный вариант для каждой: [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$2.583$","$2.586$"],"items":["$2.58$","$2.59$"]}},"step":1,"hints":["При округлении дроби $2.586$ до сотых смотрим на число тысячных. Оно больше $5$, следовательно, округляем в большую сторону.","При округлении дроби $2.583$ до сотых смотрим на число тысячных. Оно меньше $5$, следовательно, округляем в меньшую сторону."]},{"content":"На координатном луче число $x$ расположено между числами $a$ и $b$. Определите, к какому из чисел ближе $x$, если $a = 3.5, b = 4.6, x = 4$см?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$a$","$b$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Можно решать эту задачу двумя способами. Первый: вычислить расстояния от одной точки до другой в миллиметрах. Тогда расстояние от $a$ до $x$ будет $5$ мм, а расстояние от $b$ до $x$ - $6$ мм.","Второй способ: округлим числа согласно правила округления. Тогда $3.5$ округляется до $4$, а $4.6$ округляется до 5.","Следовательно, точка $a$ будет ближе."]},{"content":"В классе $32$ человека. Марина хочет угостить всех печеньем на свой день Рождения, но печенье продаётся только в пачках по $10$ штук. Сколько пачек ей нужно купить, чтобы хватило всем? [[input-39]]","widgets":{"input-39":{"type":"input","answer":"4"}},"step":1,"hints":["Так как в одной пачке печенья $10$ штук, нам нужно округлить требуемое число до десятков. В обычных условиях мы округлили бы число $32$ до $30$, так как число единиц меньше $5$.","Но у нас есть дополнительное условие – печенья должно хватить всем. Давайте попробуем подставить под условие задачи результат, округлённый в меньшую сторону. Если у нас будет $30$ штук печенья, то есть $3$ пачки, их не хватит для $32$ человек.","Следовательно, нам нужно взять $4$ пачки, у нас будет $40$ штук, и печенья хватит всем."]}]}