Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Английский язык Русский язык Геометрия Физика Всеобщая история Обществознание География Биология
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Приближённые значения. Округление чисел.

Содержание

    Приближённые значения применяются в случаях, если невозможно вычислить точное значение или если точное значение не требуется.

    Приближённые значения

    Представьте, что вы смотрите на часы в комнате и они показывают два часа и две минуты. Но когда вы переходите в другую комнату, там на часах $13.59$. Какие-то из этих часов отстают или спешат… Но если вам не нужно совершенно точно указать время, то можно смело сказать, что часы показывают приблизительно два часа.

    Другой пример. В интернете можно встретить информацию, что размер африканского слона около $300$ сантиметров. На самом деле есть слоны покрупнее и помельче, кто-то из них достигает почти четырёх метров, а слонихи обычно ростом $270-280$ см. И, конечно, никому не приходит в голову перемерить всех имеющихся слонов, чтобы указать их точные размеры. Вместо этого называют приблизительное или, говоря математическим языком, приближённое значение. Размеры слона округляют до $300$ сантиметров.

    Правила округления натуральных чисел

    Округлением натурального числа называют замену этого числа таким ближайшим по значению, у которого одна или несколько последних цифр в записи заменяется нулями.

    Поэтому такой процесс и называется округление – число заканчивается на круглые нули.

    Как правильно округлить натуральное число

    1. Выбрать в записи числа разряд, до которого производится округление (можно подчеркнуть его для удобства)
    2. Выделить число справа от выбранного разряда
    3. Если это число справа от подчёркнутой цифры $0, 1, 2, 3$ или $4$, то все цифры, включая данное число, заменить нулями, а цифру разряда, до которой округляли, оставить без изменений
    4. Если число справа от подчёркнутой цифры $5, 6, 7, 8$ или $9$, то также все цифры справа от подчёркнутой заменяем нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, увеличиваем на $1$

    При округлении используется вот такой знак:

    Рисунок 1. Знак «Приближённо равно»

    Давайте рассмотрим принцип округления на примере слона Гектора. Его рост $320$ см, нужно округлить до сотен.

    Подчёркиваем число в разряде сотен и смотрим на следующее число (разряд десятков). Это $2$, следовательно, заменяем все цифры после разряда сотен нулями, а число сотен оставляем без изменений.

    Рисунок 2

    А рост слонихи Офелии $275$ см. Давайте округлим его до десятков.

    Подчёркиваем число десятков, смотрим на разряд справа (единицы). Это $5$. Заменяем число единиц нулями, а цифру в разряде десятков увеличиваем на $1$.

    Рисунок 3

    Обратите внимание, что когда мы округляли массу слона, у нас получилось меньшее число, а когда массу слонихи – большее.

    Можно сказать, что $300$ – это приближение числа $320$ с недостатком, а $280$ – это приближение числа $275$ с избытком.

    Округление десятичных дробей до целых

    Образавру подарили арбуз. Он решил его взвесить, но у него не было хороших весов. На тех, которые были, оказались только килограммовые деления. Вот что показали весы:

    Рисунок 4

    Арбуз весит больше $4$ кг, но немного меньше $5$ кг. Если обозначить массу арбуза буквой n, получается, что $4 < n < 5$

    Число $4$ будет приближённым значением n с недостатком, а $5$ – приближённым значением n с избытком.

    Между $4$ и $5$ нет натуральных чисел, получается, мы будем округлять дробное число либо до одного натурального числа, либо до другого.

    Замену дробного числа ближайшим к нему натуральным числом или нулём называют округлением этого числа до целых.

    Если у числа n цифра десятых больше $5$, то число n ближе к большему значению, чем к меньшему, и его можно округлить до целых в большую сторону (также это называется “округлить с избытком”).

    Почему мы сравниваем именно с $5$?

    Потому что именно $5$ десятых равно удалено и от меньшего числа, и от большего.

    Позже Образавр купил другие весы, чтобы взвесить арбуз точнее, и узнал, что он весит $4.8$ кг.

    Так как масса арбуза почти равна $5$, то можно сказать, что его массу можно округлить до $5$ кг.

    Образавру понравилось взвешивать и округлять. Он взвесил ещё и дыню, которую купил по дороге. Оказалось, дыня весит $3.1$ кг. Если округлять до целых, то масса дыни ближе к трём килограммам, чем к четырём.

    Если у числа n цифра десятых меньше $5$, то число n ближе к меньшему значению, чем к большему, и его можно округлить до целых в меньшую сторону (также это называется “округлить с недостатком”).

    А что же делать, если у числа ровно $5$ десятых? Например, кот Рыжик весит ровно $6,5$ кг. Число $6,5$ равно удалено и от $6$ кг, и от $7$ кг. Если мы хотим округлить массу Рыжика до целых, то чему она будет равна?

    Условились, что если цифра десятых равна $5$, то число округляется в большую сторону, с избытком.

    Следовательно, массу Рыжика также нужно будет округлить с избытком, и она будет приближённо равна $7$ кг.

    Округление десятичных дробей до десятых, сотых и т.д.

    Числа можно округлять и до других разрядов.

    Марина забыла дома линейку. В школе она свернула тетрадный листок в клеточку в несколько раз, и на получившейся полоске бумаги сделала отметины и написала цифры. Марина знала, что одна клеточка – это $0.5$ см. У неё получилась линейка.

    Правда, линейка получилась не очень точная. Например, когда ей понадобилось измерить отрезок, оказалось, что делений не хватает.

    Рисунок 5

    Можете ли сказать, чему приближённо равен отрезок АВ?

    Показать ответ

    Скрыть

    Отрезок АВ приближённо равен $8.5$ см.

    Как правильно округлить десятичную дробь

    1. Выбрать в записи числа разряд, до которого производится округление (можно подчеркнуть его для удобства)
    2. Выделить число справа от выбранного разряда
    3. Если это число справа от подчёркнутой цифры $0, 1, 2, 3$ или $4$, то все цифры, включая данное число, заменить нулями, а цифру разряда, до которой округляли, оставить без изменений
    4. Если число справа от подчёркнутой цифры $5, 6, 7, 8$ или $9$, то также все цифры справа от подчёркнутой заменяем нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, увеличиваем на $1$
    5. Если цифры, заменяемые нулями, находятся в дробной части (справа от запятой), то нули не записываются, а просто отбрасываются

    Давайте потренируемся. Длина карандаша равна $17.72$ см. Округлите это значение до десятых.

    Показать решение

    Скрыть

    Чтобы округлить число $17.\textcolor{blue}{7} \textcolor{red}{2}$ до десятых, нам нужно заменить все цифры после разряда десятых нулями. В нашем случае это одна цифра. Сравним эту цифру с $5. $

    $$2 < 5$$

    Следовательно, округляем число в меньшую сторону, а число десятых оставляем без изменений.

    Рисунок 6

    Округление дробных чисел при переводе обыкновенных дробей в десятичные

    При переводе обыкновенных дробей в десятичные иногда мы сталкиваемся с ситуацией, когда дробь не может быть представлена в виде десятичной.

    Например, $\frac{1}{6}$. Если мы разделим $1$ на $6$, калькулятор покажет вот такое число:

    Рисунок 7

    Известно, что дробь может быть переведена в десятичную только в том случае, если её знаменатель раскладывается на простые множители $2$ и $5. $

    Получается, мы не можем представить дробь $\frac{1}{6}$ в виде десятичной. Мы можем только найти приближённое значение.

    Например, мы можем округлить число на рисунке 5 до тысячных.

    Как это можно сделать?

    Скрыть

    Выделим число, до которого нужно округлить (тысячные) и то, которое следует за ним (десятитысячные).

    $0.16 \textcolor{blue}{6} \textcolor{red}{6}66$

    Посмотрим на число десятитысячных. Это $6. $

    $$6 > 5$$

    Следовательно, мы берём число тысячных и увеличиваем его на $1. $

    У нас получается $0.167$

    Рисунок 8

    Приближённые значения приходят к нам на помощь, когда вычислить точное значение не представляется возможным. Но всё-таки в рамках школьного курса математики мы чаще имеем дело с точными цифрами, и, если есть возможность получить точный ответ, следует стараться это сделать.

    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение