Периодические дроби

Мы привыкли, что при делении «уголком» в каком-то шаге получается нуль и деление заканчивается. Так получалось, например, при делении десятичных дробей на натуральное число, при переводе обыкновенных дробей в десятичные, иногда даже при простом делении без остатка, когда результат деления — десятичная дробь. Но при всех этих видах деления иногда получается, что деление нельзя выполнить «до конца», и пример длится бесконечно. Получается периодическая дробь.

Знакомство с бесконечными дробями

Для примера попробуем перевести в десятичную дробь обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$, выполнив деление $1$ на $3$.

Так как $1 <  3$, пишем в частное $0$, ставим запятую, дописываем к единице $0$, а дальше… Дальше мы раз за разом пишем в частном $3$, умножаем делитель на частное, получаем остаток $1$, снова дописываем $0$, снова делим…

Этот процесс можно продолжать и дальше, но он не принесёт нового результата. У нас не получится поделить так, чтобы в остатке получился $0$, и деление может длиться бесконечно.

Если мы попробуем выполнить то же действие на калькуляторе, наша дробь просто не поместится на экране.

Такие дроби называют бесконечными или периодическими.

Бесконечно может повторяться не только одна цифра, но и группа чисел, как, например, на рисунке 3.

Десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр бесконечно повторяются в определённой последовательности, называется периодической десятичной дробью.

В состав периодической дроби входит определённое число, которое повторяется снова и снова. Это может быть как одна цифра, так и последовательность цифр. Но мы же не можем записать бесконечно много цифр, даже и одинаковых!

Принято записывать так:

$$0.(3) $$

Повторяющееся число берут в скобки. Цифру или группу цифр в скобках называют периодом дроби.

При чтении периодической дроби читается сначала число, стоящее перед периодом, а затем число, входящее в период. Например, $0.(3)$ будет читаться так: «нуль целых и три в периоде».

{"questions":[{"content":"Запишите цифрами периодическую дробь «шесть целых и восемнадцать в периоде». [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6,(18)"}},"step":1,"hints":["Записываем число целых, ставим запятую.","Цифру, обозначающую период дроби, берём в скобки."]}]}

Чистые и смешанные периодические дроби

Сравните следующие десятичные дроби:

$$3.151515151515…$$

$$0.3454545454545…$$

Как можно записать их в виде периодических дробей?

Показать ответ

Скрыть

Как видите, эти дроби отличаются. У второй дроби первая цифра после запятой не повторяется.

Если период десятичной периодической дроби начинается сразу после запятой, такую дробь называют чистой.
Если период начинается после некоторого количества не повторяющихся цифр, такую дробь называют смешанной.

{"questions":[{"content":"Распределите дроби в две группы: чистые и смешанные.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Чистые периодические дроби","Смешанные периодические дроби"],"items":[["4,(25)","0,(9)"],["1,4(8)","0,7(1)"]]}}}]}

Округление периодических дробей

Периодическую дробь можно сократить или округлить. Например, $0.(3)$ можно сократить до сотых.

Помните правило округления десятичных дробей? Нужно отметить цифру, до которой хотим сократить, а затем рассмотреть следующую за ней цифру (справа от отмеченной). Если она меньше $5$, отмеченную цифру оставляем без изменений. Если же она больше или равна $5$, то цифру в отмеченном разряде увеличиваем на $1$. Все цифры после округляемой цифры заменяем нулями и отбрасываем.

{"questions":[{"content":"Разделите на калькуляторе $1$ на $9.$ Округлите полученную дробь до десятитысячных. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"0.1111"}},"step":1,"calc":1,"hints":["Сначала выполним деление. У нас получится $0.111111…$","Теперь найдём десятитысячную. Это четвёртое число после запятой. Смотрим на пятое число. Это $1. 1 < 5$, следовательно, мы можем просто отбросить все цифры после десятитысячной.","Приближённым значением будет $0.1111$"]}]}

Также периодические дроби могут быть переведены в обыкновенные. Про это рассказывается в отдельном уроке.

Теперь вы знакомы с периодическими дробями, и если при вычислении вы увидите бесконечно повторяющиеся числа, то будете знать, с чем имеете дело.

{"questions":[{"content":"С помощью калькулятора переведите дробь в десятичную и запишите полученную периодическую дробь. <br />$\\frac{5}{11}$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"0.(45)"}},"step":1,"calc":1,"hints":["Сначала выполним деление. У нас получается $0.4545454545…$","Запишем дробь как периодическую. Повторяющаяся цифра – $45. $"]},{"content":"Выберите определения, неподходящие к дроби $5.6(11) $[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Десятичная","Периодическая","Смешанная","Чистая","Обыкновенная"],"explanations":["","","","Данная периодическая дробь не является чистой, так как перед периодом есть неповторяющаяся цифра.","Данная дробь является десятичной, а не обыкновенной."],"answer":[3,4]}}},{"content":"Какая из следующих дробей будет округлением периодической дроби $2.(27) $ до тысячных?[[choice-27]]","widgets":{"choice-27":{"type":"choice","options":["$2.273$","$2.2727$","$2.272$"],"explanations":["","В данном случае округление выполнено до десятитысячных",""],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Чтобы округлить данную дробь до тысячных нужно записать её как дробь с четырьмя знаками после нуля (так как нам нужна цифра десятитысячных). Эта дробь будет выглядеть как $2.2727…$","Нам нужно округлить дробь до тысячных, то есть после нуля останется $3$ знака. Смотрим на четвёртую цифру после нуля. Это $7. 7 > 5$, следовательно, третью цифру нужно увеличить на $1. $","Таким образом, у нас получается $2.273$"]}]}