Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Периодические дроби

Содержание

    Мы привыкли, что при делении «уголком» в каком-то шаге получается нуль и деление заканчивается. Так получалось, например, при делении десятичных дробей на натуральное число, при переводе обыкновенных дробей в десятичные, иногда даже при простом делении без остатка, когда результат деления — десятичная дробь. Но при всех этих видах деления иногда получается, что деление нельзя выполнить «до конца», и пример длится бесконечно. Получается периодическая дробь.

    Знакомство с бесконечными дробями

    Для примера попробуем перевести в десятичную дробь обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$, выполнив деление $1$ на $3$.

    Так как $1 <  3$, пишем в частное $0$, ставим запятую, дописываем к единице $0$, а дальше… Дальше мы раз за разом пишем в частном $3$, умножаем делитель на частное, получаем остаток $1$, снова дописываем $0$, снова делим…

    Рисунок 1

    Этот процесс можно продолжать и дальше, но он не принесёт нового результата. У нас не получится поделить так, чтобы в остатке получился $0$, и деление может длиться бесконечно.

    Если мы попробуем выполнить то же действие на калькуляторе, наша дробь просто не поместится на экране.

    Рисунок 2

    Такие дроби называют бесконечными или периодическими.

    Бесконечно может повторяться не только одна цифра, но и группа чисел, как, например, на рисунке 3.

    Рисунок 3

    Десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр бесконечно повторяются в определённой последовательности, называется периодической десятичной дробью.

    В состав периодической дроби входит определённое число, которое повторяется снова и снова. Это может быть как одна цифра, так и последовательность цифр. Но мы же не можем записать бесконечно много цифр, даже и одинаковых!

    Принято записывать так:

    $$0.(3) $$

    Повторяющееся число берут в скобки. Цифру или группу цифр в скобках называют периодом дроби.

    При чтении периодической дроби читается сначала число, стоящее перед периодом, а затем число, входящее в период. Например, $0.(3)$ будет читаться так: «нуль целых и три в периоде».

    Чистые и смешанные периодические дроби

    Сравните следующие десятичные дроби:

    $$3.151515151515…$$

    $$0.3454545454545…$$

    Как можно записать их в виде периодических дробей?

    Показать ответ

    Скрыть

    $$3.(15) $$

    $$0.3(45) $$

    Как видите, эти дроби отличаются. У второй дроби первая цифра после запятой не повторяется.

    Если период десятичной периодической дроби начинается сразу после запятой, такую дробь называют чистой.
    Если период начинается после некоторого количества не повторяющихся цифр, такую дробь называют смешанной.

    Округление периодических дробей

    Периодическую дробь можно сократить или округлить. Например, $0.(3)$ можно сократить до сотых.

    Рисунок 4

    Помните правило округления десятичных дробей? Нужно отметить цифру, до которой хотим сократить, а затем рассмотреть следующую за ней цифру (справа от отмеченной). Если она меньше $5$, отмеченную цифру оставляем без изменений. Если же она больше или равна $5$, то цифру в отмеченном разряде увеличиваем на $1$. Все цифры после округляемой цифры заменяем нулями и отбрасываем.

    Также периодические дроби могут быть переведены в обыкновенные. Про это рассказывается в отдельном уроке.

    Теперь вы знакомы с периодическими дробями, и если при вычислении вы увидите бесконечно повторяющиеся числа, то будете знать, с чем имеете дело.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение