Деление на десятичную дробь

На этом уроке мы объясним, как выполнить деление на десятичную дробь. Деление натурального числа на десятичную дробь и десятичной дроби на другую десятичную дробь происходит по схожему принципу. Вам понадобится вспомнить такие правила, как умножение на разрядную единицу (перенос запятой) и деление десятичной дроби на натуральное число.

Деление натурального числа на десятичную дробь

На рисунке 1 изображён отрезок АВ длиной $2.5$ см. Сколько раз поместится этот отрезок в отрезок СD, длина которого $5$ см?

Проще всего, конечно, просто померить линейкой. Так мы поймём, что отрезок АВ помещается в отрезок CD ровно два раза. А как это высчитать, не прибегая к помощи линейки?

Нам нужно разделить $5$ см на $2.5$ см. Логично будет перевести и то, и другое в миллиметры. Так как в одном сантиметре $10$ мм, мы можем умножить и одно, и другое число на 10. Тогда у нас не будет дробных чисел, будет только два натуральных числа.

Итак, мы не будем делить $5$ см на $2.5$ см. Мы будем делить $50$ мм на $25$ мм, получится $2$. Мы уже знаем, что этот ответ правильный.

Но подождите, мы же увеличивали наше выражение в $10$ раз? Почему у нас не получился ответ в $10$ раз больше?

Показать ответ

Скрыть

Теперь можно вывести правило:

При делении натурального числа на десятичную дробь нужно умножить делимое и делитель на оно и то же разрядное число так, чтобы делитель стал натуральным числом. Другими словами, нужно перенести запятую в делителе на столько знаков, сколько нужно, чтобы делитель стал натуральным числом, а затем дописать к делимому столько же нулей, на сколько знаков перенесли запятую в делителе.

Давайте потренируемся. Разделим $17$ на $6.8$

Сначала нужно сделать так, чтобы в делителе было натуральное число. Переносим запятую в делителе на один знак вправо, и приписываем к делимому один ноль.

Теперь делим $170$ на $68$. Начинаем деление. У нас получается $2$, и в остатке $34$. Ставим в частном запятую и продолжаем деление, для этого приписываем к 34 цифру $0. $
$340$ делится на $68$ без остатка.

{"questions":[{"content":"Разделите $76$ на $1.6$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"47.5"}},"step":1,"hints":["Чтобы из дроби $1.6$ сделать натуральное число, её нужно умножить на $10$. Умножаем $1.6$ на $10$, получаем $16, $ затем умножаем $76$ на $10, $ получаем $760$.","Делим $760$ на $16$. Сначала делим $76$, получается $4$ и $12$ в остатке. Сносим ноль, делим $120$ на $16$, получаем $7$, в остатке $8. $<br />$8$ уже нельзя разделить на $16$, поэтому ставим в частном запятую, дописываем к остатку $0. $","$80$ делится на $16$ без остатка, получаем $5$. Итак, $76 \\div 1.6 = 47.5$"]}]}

Деление десятичной дроби на другую десятичную дробь

Теперь разберём случай, когда делимое тоже является дробью.

Отрезок EF равен $1.3$ см, а отрезок GH равен $3.9$ см. Во сколько раз отрезок GH больше?

Напрашивается то же самое решение: переводим оба размера в миллиметры, то есть умножаем на $10$. Теперь мы можем разделить $39$ на $13$, у нас получится $3$. Можно даже проверить при помощи линейки – деление выполнено верно.

Получается, действуем по тому же алгоритму: умножаем делимое и делитель на одно и то же разрядное число, добиваясь, чтобы делитель стал натуральным числом.

При делении десятичной дроби на другую десятичную дробь нужно умножить делимое и делитель на оно и то же разрядное число так, чтобы делитель стал натуральным числом. Другими словами, нужно перенести запятую в делителе на столько знаков, сколько нужно, чтобы делитель стал натуральным числом, а затем перенести запятую в делимом на столько же знаков.

{"questions":[{"content":"Расположите в порядке убывания значений выражений.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$4.8 : 0.6$","$6.3 : 0.9$","$4.2 : 0.7$"]}},"step":1,"hints":["Высчитаем частное в каждом примере. Для этого превратим делитель из десятичной дроби в натуральное число. Так как количество знаков после запятой в делимых и делителях одинаковы, в каждом примере можно просто убрать запятые.","$4.8 : 0.6 = 48 : 6 = 8$<br />$6.3 : 0.9 = 63 : 9 = 7$<br />$4.2 : 0.7 = 42 : 7 = 6$"]}]}

Перенос запятой при делении на десятичную дробь

Хорошо, а что делать, если количество знаков после запятой в делимом и делителе разное? Например, если после переноса запятой делимое остаётся дробью?

Ничего страшного, делим дробь на натуральное число. Помните, что в этом случае нужно будет поставить в частном запятую, как только закончим делить целую часть делителя.

Например, разделим $7.04$ на $2.2$

Показать вычисления

Скрыть

Иногда бывает так, что знаков «не хватает». Например, нам нужно разделить 4.8 на 0.006. Как думаете, что нужно сделать в таком случае?

Показать ответ

Скрыть

Другими словами, мы всё равно умножаем и делимое, и делитель на одно и то же разрядное число. Если при этом приходится дописывать нули, это не делает наше вычисление ошибочным. Наоборот, если мы их не допишем, то разрядность «поедет», и ответ будет неверным.

{"questions":[{"content":"Найдите пример, в котором вычисление выполнено неверно[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0.35 : 0.007 = 50$","$0.21 : 0.7 = 0.3$","$6.4 : 0.08 = 8$"],"explanations":["$0.35 : 0.007 = 350 : 7 = 50$","$0.21 : 0.7 = 2.1 : 7 = 0.3$","$6.4 : 0.08 = 640 : 8 = 80$"],"answer":[2]}}}]}

Итак, деление на десятичную дробь почти не отличается от тех вычислений, что мы делали ранее. Важно только каждый раз переделывать делитель в натуральное число, умножая на разрядную единицу, и умножать делимое на то же самое разрядное число.

{"questions":[{"content":"Расположите в порядке возрастания значения $x$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$86.4 : x = 43.2$","$x \\cdot 2.3 = 6.9$","$53.4 : x = 5.34$"]}},"step":1,"hints":["Вычислим значение $x$ в примере $86.4 : x = 43.2$<br />Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. <br />$x = 86.4 : 43.2 = 864 : 432 = 2$","Вычислим значение $x$ в примере $x \\cdot 2.3 = 6.9$<br />Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. <br />$x = 6.9 : 2.3 = 69 : 23 = 3$","Вычислим значение $x$ в примере $53.4 : x = 5.34$<br />Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. <br />$x = 53.4 : 5.34 = 5340 : 534 = 10$"]},{"content":"Соедините по парам части равенств, где $N$ и $M$ означают любые числа в пределах от $1$ до $9$. [[matcher-10]]","widgets":{"matcher-10":{"type":"matcher","labels":["$0.0N : 0.M$","$0.N : 0.0M$","$0.N : 0.M$"],"items":["$0.N : M$","$N0 : M$","$N : M$","$N00 : M$"]}},"step":1,"hints":["Чтобы выполнить деление на десятичную дробь, нужно умножить делимое и делитель на одну и те же разрядную единицу таким образом, чтобы делитель стал натуральным числом. <br />$0.0N : 0.M \t= (0.0N \\cdot 10) : (0.M \\cdot 10) = 0.N : M$","$0.N : 0.0M = (0.N \\cdot 100) : (0.0M \\cdot 100) =\tN0 : M$","$0.N : 0.M = (0.N \\cdot 10) : (0.M \\cdot 10) = N : M$"]},{"content":"Поезд прошёл $78$ километров за $1.3$ часа. Сколько километров он пройдёт за $2.4$ часа? [[input-33]]","widgets":{"input-33":{"type":"input","answer":"144"}},"step":1,"hints":["Для начала найдём скорость поезда. Для этого разделим расстояние, пройденное поездом, на время. У нас получится $78 : 1.3 = 780 : 13 = 60$","Теперь, зная скорость поезда – $60$ км/ч – мы можем легко посчитать, сколько он пройдёт за заданное время. <br />$60 \\cdot 2.4 = 144$"]}]}