Разряды десятичных дробей. Умножение десятичной дроби на разрядную единицу

На этом уроке рассмотрим, как называются разряды десятичных дробей, что они означают, а также что происходит с десятичными дробями при умножении на разрядные единицы.

Разряды десятичной дроби

Мы используем десятичную систему счисления (то есть $10$ цифр). Также наша система счисления позиционная. Это значит, что имеет значение, где стоит цифра.

Сравните:

$$5$$

$$50$$

$$500$$

Цифра $5$ одна и та же, но так как она находится в различных разрядах, то в первом случае она означает $5$ единиц, во втором – $5$ десятков (или $50$ единиц), в третьем – $5$ сотен (ли пятьсот единиц).

Или вот ещё пример:

$$32$$

$$23$$

Цифры $3$ и $2$ также одинаковые. Но значение числа разное. $32$ – это три десятка и две единицы, а $23$ – два десятка и три единицы.

У десятичных дробей тоже есть единицы, десятки, сотни и так далее. Они считаются от запятой.

Имеет большое значение, в каком разряде стоит цифра. Например, $0.2$ метра – это $20$ сантиметров, а $0.02$ метра – это $2$ сантиметра, в $10$ раз меньше.

{"questions":[{"content":"Рассмотрим число $0.4263$. Соедините цифры и названия разрядов.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$4$","$2$","$6$","$3$"],"items":["разряд десятых","разряд сотых","разряд тысячных","разряд десятитысячных"]}}}]}

Что означают разряды?

Образавр и Вообразавр качались на качелях, и вдруг им стало интересно, какой они длины. Вообразавр сбегал домой за строительной рулеткой, и они замерили качели. У них получилось $1.932$ м.

Проверим, так ли это?

{"questions":[{"content":"Выполните сложение и впишите результат как десятичную дробь.[[input-1]]<br />$1 + \\frac{9}{10} + \\frac{3}{100} + \\frac{2}{1000}$","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1.932"}},"hints":["Сначала приведём все дроби к общему знаменателю. Это будет 1000.<br />$1 + \\frac{9}{10} + \\frac{3}{100} + \\frac{2}{1000} = 1 + \\frac{9 \\cdot 100}{10\\cdot 100} + \\frac{3 \\cdot 10}{100\\cdot 10} + \\frac{2}{1000}$","Теперь выполним сложение: <br /> $1 + \\frac{900 + 30 + 2}{1000} = 1\\frac{932}{1000}$","Если представить эту обыкновенную дробь в виде десятичной, получится $1.932$"]}]}

Умножение десятичных дробей на разрядные единицы

Вообразавр старательно считал что-то на листочке, а потом вдруг сказал:

— Спорим, я смогу умножить любое число на двузначное число, а потом на трёхзначное и даже на четырёхзначное, и потрачу на это всего три секунды?

Образавр удивился, но согласился и написал на листочке число. А потом начал считать. Раз, два, три!

Вообразавр показал листочек. Он всё успел и всё вычислил правильно!

Образавр засмеялся и сказал:

— А я тогда могу умножить любую десятичную дробь на $10$, $100$ и $1000$, и тоже справлюсь за три секунды!

Для того чтобы умножить любое число на $10$, достаточно приписать в конце этого числа $0$. Проверим:

$$2 \cdot 10 = 20$$

$$3 \cdot 10 = 30$$

И если умножать число на множитель, который представляет из себя единицу с каким-то количеством нулей, достаточно просто приписать к данному числу это количество нулей:

$$4 \cdot 10 000 = 40 000$$

$$5 \cdot 100 000 = 500 000$$

Числа вида $10$, $100$ и $1000$ называются «разрядными единицами», потому что единица – единственная значимая часть этих чисел, и количественное значение числа зависит от того, в каком разряде она находится.

{"questions":[{"content":"Сможете быстро вычислить? Сколько будет $6573 \\cdot 1000$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6573000"}}}]}

Десятичные дроби тоже подчиняются этому правилу, но по-своему. Запятая, отделяющая целые числа от дробных, перемещается.

При увеличении десятичной дроби в $10$ раз запятая перемещается на один разряд вправо.
Проще говоря, при умножении на $10$ запятая переносится вправо на один знак.

При умножении десятичной дроби на разрядную единицу достаточно перенести запятую на столько знаков вправо, сколько нулей содержится в разрядной единице.

Давайте рассмотрим на примере. В стакан помещается $0.2$ воды. Если мы возьмём $10$ таких стаканов, у нас получится $2$ литра.

А что будет, если взять $100$ стаканов?

$$0.2 \cdot 100 = 20$$

Мы переносим запятую вправо, и так как нулей в разрядной единице два, мы переносим её на два знака. У нас после запятой только один знак, но так как число $2$ должно оказаться в разряде десятков, мы добавляем цифру $0$ .

{"questions":[{"content":"Длина карандаша 0.15 м. Если выложить 100 карандашей в ряд, какова будет длина получившегося ряда в метрах?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["15","15 м"]}}},{"content":"Соедините равенства с тем значением х, при котором они верны. [[matcher-6]]","widgets":{"matcher-6":{"type":"matcher","labels":["$3,2907 \\cdot x = 329,07$","$78,45 \\cdot x = 784,5$","$1,65 \\cdot x = 165$","$0,4478 \\cdot x = 4478$"],"items":["$x = 100$","$x = 10$","$x = 100$","$x = 10000$","$x = 1000$"]}}},{"content":"Найдите ошибочное утверждение[[choice-27]]","widgets":{"choice-27":{"type":"choice","options":["В числе $0,5782$ в разряде сотых находится $8$","В числе $2,2451$ в разряде десятых находится $2$","В числе $0,3896$ в разряде тысячных находится $9$","В числе 3,9248 в разряде десятитысячных находится $8$"],"explanations":["Правильный ответ $7$, а $8$ находится в разряде тысячных.","","",""],"answer":[0]}}}]}