5 класс Математика Десятичные дроби Деление десятичных дробей

Десятичные дроби как результат деления

Содержание

В рамках этого урока узнаем, как можно получить десятичные дроби в результате деления, потренируемся в делении чисел, в том числе в делении меньшего числа на большее.

Мы знаем, что при невозможности поделить дробь нацело у нас получается остаток.

$$5 : 4 = 1 (ост.1) $$

Изучив обыкновенные дроби, мы можем разделить и остаток тоже, получив в итоге смешанную дробь.

$$5 : 4 = 1\frac{1}{4}$$

Но деление можно продолжать дальше, разделив $1$ на $4$. Результатом будет десятичная дробь.

Деление большего числа на меньшее

Итак, нам нужно разделить $5$ на $4$.

Записываем числа в столбик или, как еще называют, «уголком» (рисунок 1, а).

Сколько будет четверок в пятерке? Одна. Пишем единицу в частное, умножаем частное на делитель — у нас получается $4$. Записываем эту цифру под делимым и вычитаем ее из делимого. У нас получается тот самый остаток — $1$.

Мы хотим продолжить деление, но целых чисел у нас уже не получится, поэтому после единицы в частном ставим запятую (рисунок 1, б).

Для продолжения деления подписываем к остатку $0$ справа. Теперь делим $10$ на $4$. У нас получается $2$, и $2$ в остатке (рисунок 2, а).

Мы не можем разделить $2$ на $4$, а потому снова подписываем справа $0$. $20$ делится на $4$ без остатка, и у нас получается $5$ (рисунок 2, б).

Рисунок 2. Десятичная дробь как результат деления

$$5 : 4 = 1.25$$

Давайте проверим результат с помощью умножения.

У нас все получилось правильно! Давайте потренируемся.

{"questions":[{"content":"Выполните деление и запишите результат в виде десятичной дроби. <br />$7 : 2$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3.5"}},"step":1,"hints":["Начнем деление. Сколько раз нужно взять по $2$, чтобы получить число, приближенное к $7$? Возьмем $3$. Умножим частное на делитель, получаем $6$. Если бы мы делили с остатком, то могли бы записать результат как $7 : 2 = 3$ (ост. $1$).","Ставим после целой части запятую и продолжаем деление. Подписываем справа от числа $1$ цифру $0$ и делим $10$ на $2$.","$10$ делится на $2$ без остатка, получается $5$. Итого у нас получается $3.5$."]}]}

Деление меньшего числа на большее

Мы знаем, как разделить три яблока на пятерых людей — дать каждому по $\frac{3}{5}$ яблока. Таким образом, у нас получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе делитель.

Это деление возможно произвести «до конца», разделив $3$ на $5$. Собственно, черта дроби и означает знак деления. Результатом наших вычислений будет десятичная дробь.

При делении меньшего числа на большее результат всегда будет меньше единицы, и целая часть будет равна $0$.

Давайте вместе разделим $3$ на $5$. Решим пример «уголком».

$3$ на $5$ нацело не разделить. Если мы зададимся вопросом «Сколько пятерок в тройке?», ответом будет «нисколько» или $0$. Поэтому в частном записываем $0$ и ставим запятую (рисунок 4, а).

Умножаем $0$ на делитель, получаем, конечно, $0$ и записываем его под делимым (рисунок 4, б).

Теперь нам нужно найти дробную часть. Для этого подписываем к остатку справа $0$, у нас получается $30$ (рисунок 5, а).

$30$ хорошо делится на $5$, получается $6$. Умножаем $6$ на $5$, получаем $30$, подписываем под делимым. Остаток $0$ (рисунок 5, б).

Давайте проверим результат умножением, представив $0.6$ как обыкновенную дробь.

$$\frac{6}{10} \cdot 5 = \frac{6 \cdot 5}{10} = \frac{30}{10} = 3$$

Рассмотрим еще один пример.

Иногда делитель не просто больше делимого, а намного больше. Давайте разделим $2$ на $80$.

Конечно, сначала записываем в частное 0.

$$2 : 80 = 0 (ост.2)$$

Затем ставим в частном запятую и приписываем к остатку справа $0.$

Но после того, как мы приписали к остатку $0$, у нас получилось $20$, а $20$ также не делится на $80$! Что нужно сделать в таком случае?

Показать ответ

Скрыть

Приписать к частному еще один $0$, сохраняя разрядность (то есть в разряде десятых у нас также получается $0$), а к $20$ — также еще один $0$. Теперь мы можем поделить $200$ на $80$.

Рисунок 7. Сохраняем разрядность при делении

Главное в подобных примерах — сохранять разрядность.

{"questions":[{"content":"Расположите в порядке возрастания при условии, что $a = 5, b = 4$[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$\\frac{b}{a}$","$\\frac{a}{b}$","$ (a-b) + \\frac{b}{a}$"]}},"step":1,"hints":["$\\frac{b}{a} = \\frac{4}{5}$","$\\frac{a}{b} = \\frac{5}{4} = 1\\frac{1}{4}$","$ (a-b) + \\frac{b}{a} = (5-4) + \\frac{4}{5} = 1 + \\frac{4}{5} = 1\\frac{4}{5}$","$\\frac{4}{5} < 1\\frac{1}{4} < 1\\frac{4}{5}$"]}]}

Деление на координатной прямой

Для наглядности можно изобразить процесс деления с помощью координатной прямой. Отложим на координатной прямой отрезок длиной $3$ см и разделим его пополам.

Длина отрезка АС будет $1.5$ см.

$$3 : 2 = 1.5$$

{"questions":[{"content":"Разделите в столбик $9$ на $5$. Выберите правильный ответ.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1.8$","$1.4$","$1.6$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Выполним деление $9$ на $5$. При делении $9$ на $5$ получается $1$ и остаток $4$. Запишем в частное $1$, а под девяткой — произведение частного на делитель, то есть $5$. <br />$9-5 = 4$ (это число — остаток, но мы продолжим деление дальше).","Мы не можем разделить $4$ на $5$, поэтому поставим в частном запятую и припишем к четверке справа $0$. У нас получается $40$.","$40$ делится на $5$ без остатка, получается $8$."]},{"content":"Расстояние от окна до стола — $2$ шага. Разделите это расстояние на $4$ равные части. Запишите ответ в виде десятичной дроби.[[input-11]]","widgets":{"input-11":{"type":"input","answer":"0.5"}},"step":1,"hints":["Выполним деление $2$ на $4$. Так как $2 < 4$, в частном будет $0$, то есть $0$ целых. Записываем этот $0$ и ставим запятую.","Теперь мы можем приписать к двойке ноль, у нас получится $20$. <br />$20$ делится на $4$ без остатка, получается $5$."]},{"content":"Дети соревновались в сборе грибов, разбившись на две команды. В первой команде было $8$ человек, они набрали $6$ кг, во второй — $10$ человек, и они набрали $8$ кг грибов. Так как количество людей в командах было разным, дети решили, что победила та команда, где количество грибов на человека будет наибольшим. Какая из команд заняла какое место?[[matcher-25]]","widgets":{"matcher-25":{"type":"matcher","labels":["Первое место","Второе место"],"items":["Вторая команда","Первая команда"]}},"step":1,"hints":["Разделим количество грибов на количество людей в команде. Проще всего будет с командой в $10$ человек, так как, если разделить $8$ на $10$, получится $0.8$ кг грибов на человека.","Разделим $6$ на $8$. Так как $6 < 8$, у нас получится $0$ целых. Приписываем к цифре $6$ справа $0$, делим $60$ на $8$. Получается $7$, и $4$ в остатке (так как $60-56 = 4$). Для дальнейшего деления приписываем к $4$ цифру $0$. <br />$40$ делится на $8$ без остатка, получается $5$. Следовательно, в первой команде каждый ребенок набрал в среднем $0.75$ кг грибов. <br />"]}]}

Награды за урок