0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Перевод периодической дроби в обыкновенную дробь

Содержание

    Периодические дроби – очень интересное явление. Только представьте себе дробь, у которой нет конца, и её «хвост» длится и длится. В рамках этого урока мы расскажем, как сделать перевод периодических дробей в обыкновенные. Сначала рассмотрим состав чистых и смешанных периодических дробей, а затем — запись периодической дроби в виде примера, ведь знак дроби означает знак деления.

    Состав периодической дроби

    Прежде чем мы начнём превращать периодические дроби в обыкновенные, нам необходимо разобраться, как называются части периодических дробей. Это нам понадобится.

    Итак, на первом месте – целая часть периодической дроби.

    Всё, что после запятой, будет дробной частью.

    У чистых периодических дробей дробная часть состоит из периода (повтораяющейся части дроби). Она взята в скобки. В скобках может быть не одна, а несколько цифр. Количество цифр в скобках называется длиной периода.

    В смешанной периодической дроби между запятой и периодом есть ещё одна или несколько цифр. Эти цифры в период не входят, то есть не повторяются. Надо сказать, что в разных пособиях эта часть дроби может называться по-разному. Иногда ей не дают никакого названия, и просто пишут «цифры между запятой и периодом». Но также эту часть называют непериодической частью или предпериодом.

    Рисунок 1

    Перевод чистых периодических дробей в обыкновенные дроби

    С чистыми периодическими дробями (то есть с теми, у которых период начинается сразу после запятой) всё очень просто. Для них существует простой алгоритм.

    Для того чтобы перевести дробную часть чистой периодической дроби в обыкновенную, в числитель обыкновенной дроби пишем период, а в знаменатель – цифру $9$. Её нужно написать столько же раз, сколько цифр в периоде (то есть количество девяток будет равно длине периода).
    Если у дроби есть целая часть, она записывается перед обыкновенной дробью без изменений.

    Рисунок 2

    После того, как дробь записана, её можно сократить, разделив числитель и знаменатель на одинаковое число.

    $$2\frac{63 : 3}{99 : 3} = 2\frac{21}{33}$$

    Проверим этот способ на нашей старой знакомой, дроби $0.(3)$

    Показать решение

    Скрыть

    Целой части у дроби нет, так что переходим сразу к дробной. В числитель записываем период — $3$, в знаменатель – количество девяток, равное длине периода. Длина периода дроби $1$, значит, у нас получится дробь $\frac{3}{9}$. Эту дробь можно сократить, разделив обе части дроби на $3$. У нас получится $\frac{1}{3}.$

    Перевод смешанных периодических дробей в обыкновенные дроби

    Со смешанными дробями дело обстоит сложнее, тут нужно запомнить более длинный алгоритм действий. Кроме того, нужно хорошо знать названия всех частей периодической дроби, чтобы не запутаться.

    Для перевода смешанной периодической дроби в обыкновенную нужно:
    1) записать целую часть дроби (если она есть) без изменений
    2) записать в виде числителя разность дробной части периодической дроби (записываем её без скобок, как если бы это было натуральное число) и предпериода (непериодической части) дроби
    3) записать в виде знаменателя число, состоящее из девяток и нулей, где число девяток равно длине периода, а нулей – длине предпериода.

    Выглядит очень длинно и сложно! Но проделав подобные вычисления несколько раз, вы сможете выполнять их без особого труда.

    Давайте попробуем. Возьмём дробь $1.7(28)$

    Целую часть записываем без изменений, переходим к дробной.

    В числителе пишем $728$ – то есть переписываем все цифры дробной части, сохраняя порядок, но отбросив скобки. Ставим минус и вычитаем непериодическую часть дроби, то есть $7$. Получаем $721$.

    Теперь знаменатель. В периоде $2$ цифры, пишем две девятки. В дробной части до периода стоит одна цифра, значит, ноль будет один. Получается знаменатель $990$.

    При желании можно проверить на калькуляторе, разделив $721$ на $990$. Получим $0.72828282828…$ или $0.7(28) $.

    Рисунок 3

    Разберём ещё один пример.

    $$0,03(7)$$

    Целой части нет, переходим сразу к дробной. Нам нужно записать дробную часть в виде натурального числа, поэтому вместо $03(7)$ запишем $37$. Ноль просто отбрасываем, так как если перед любым натуральным числом поставить $0$, то оно не изменится. Скобки также убираем.

    Нам нужно вычесть из этого числа предпериод. Вычитаем $3$, у нас получается $34$.

    В знаменателе пишем одну девятку, так как длина периода равна одному, и два ноля, так как в непериодической части дроби у нас две цифры.

    Получилось $\frac{34}{900}$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2, получится $\frac{17}{450}$.

    Скажите, а может ли при переводе смешанной периодической дроби в обыкновенную получиться знаменатель $9$? Или $99$?

    Показать ответ

    Скрыть

    Нет, потому что в знаменателе должно быть столько же нулей, сколько цифр в предпериоде. Если в знаменателе нет нулей, значит, в предпериоде нет цифр – следовательно, так может получиться только в случае перевода чистой периодической дроби. Если же мы имеем дело со смешанной периодической дробью, нули в знаменателе будут обязательно. Они могут «исчезнуть» только в случае сокращения – например, если мы разделим $90$ на $2$, то у нас получится $45$. Но в этом случае у нас в знаменателе не может быть цифр $9$ или $99$, так как эти цифры не могут получиться при делении натуральных чисел, состоящих из девяток и нулей, на другие натуральные числа.

    Уже после того, как вы переведёте несколько периодических дробей в обыкновенные, вы почувствуете, что алгоритм запомнился и уже не кажется таким сложным. Также хорошо проверять свои вычисления при помощи калькулятора, разделяя числитель полученной дроби на знаменатель.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение