Перевод периодической дроби в обыкновенную дробь

Периодические дроби – очень интересное явление. Только представьте себе дробь, у которой нет конца, и её «хвост» длится и длится. В рамках этого урока мы расскажем, как сделать перевод периодических дробей в обыкновенные. Сначала рассмотрим состав чистых и смешанных периодических дробей, а затем — запись периодической дроби в виде примера, ведь знак дроби означает знак деления.

Состав периодической дроби

Прежде чем мы начнём превращать периодические дроби в обыкновенные, нам необходимо разобраться, как называются части периодических дробей. Это нам понадобится.

Итак, на первом месте – целая часть периодической дроби.

Всё, что после запятой, будет дробной частью.

У чистых периодических дробей дробная часть состоит из периода (повтораяющейся части дроби). Она взята в скобки. В скобках может быть не одна, а несколько цифр. Количество цифр в скобках называется длиной периода.

В смешанной периодической дроби между запятой и периодом есть ещё одна или несколько цифр. Эти цифры в период не входят, то есть не повторяются. Надо сказать, что в разных пособиях эта часть дроби может называться по-разному. Иногда ей не дают никакого названия, и просто пишут «цифры между запятой и периодом». Но также эту часть называют непериодической частью или предпериодом.

{"questions":[{"content":"Рассмотрите дробь $4.7(13) $<br />Соедините части дроби с их определениями[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$4$","$7$","$13$","$2$"],"items":["целая часть периодической дроби","непериодическая часть дроби или предпериод","период","длина периода"]}}}]}

Перевод чистых периодических дробей в обыкновенные дроби

С чистыми периодическими дробями (то есть с теми, у которых период начинается сразу после запятой) всё очень просто. Для них существует простой алгоритм.

Для того чтобы перевести дробную часть чистой периодической дроби в обыкновенную, в числитель обыкновенной дроби пишем период, а в знаменатель – цифру $9$. Её нужно написать столько же раз, сколько цифр в периоде (то есть количество девяток будет равно длине периода).
Если у дроби есть целая часть, она записывается перед обыкновенной дробью без изменений.

После того, как дробь записана, её можно сократить, разделив числитель и знаменатель на одинаковое число.

$$2\frac{63 : 3}{99 : 3} = 2\frac{21}{33}$$

Проверим этот способ на нашей старой знакомой, дроби $0.(3)$

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Какая из следующих обыкновенных дробей равна периодической дроби $3.(81)$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3\\frac{9}{11}$","$3\\frac{81}{9}$","$3\\frac{81}{999}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Переведём дробь $3.(81)$ в обыкновенную дробь. Целую часть дроби оставляем без изменений. Период записываем в числитель, а в знаменатель пишем столько же девяток, сколько цифр у нас в периоде.","У нас получается $3\\frac{81}{99}$. Дробную часть можно сократить, разделив числитель и знаменатель на $9$. Получится $3\\frac{9}{11}$."]}]}

Перевод смешанных периодических дробей в обыкновенные дроби

Со смешанными дробями дело обстоит сложнее, тут нужно запомнить более длинный алгоритм действий. Кроме того, нужно хорошо знать названия всех частей периодической дроби, чтобы не запутаться.

Для перевода смешанной периодической дроби в обыкновенную нужно:
1) записать целую часть дроби (если она есть) без изменений
2) записать в виде числителя разность дробной части периодической дроби (записываем её без скобок, как если бы это было натуральное число) и предпериода (непериодической части) дроби
3) записать в виде знаменателя число, состоящее из девяток и нулей, где число девяток равно длине периода, а нулей – длине предпериода.

Выглядит очень длинно и сложно! Но проделав подобные вычисления несколько раз, вы сможете выполнять их без особого труда.

Давайте попробуем. Возьмём дробь $1.7(28)$

Целую часть записываем без изменений, переходим к дробной.

В числителе пишем $728$ – то есть переписываем все цифры дробной части, сохраняя порядок, но отбросив скобки. Ставим минус и вычитаем непериодическую часть дроби, то есть $7$. Получаем $721$.

Теперь знаменатель. В периоде $2$ цифры, пишем две девятки. В дробной части до периода стоит одна цифра, значит, ноль будет один. Получается знаменатель $990$.

При желании можно проверить на калькуляторе, разделив $721$ на $990$. Получим $0.72828282828…$ или $0.7(28) $.

Разберём ещё один пример.

$$0,03(7)$$

Целой части нет, переходим сразу к дробной. Нам нужно записать дробную часть в виде натурального числа, поэтому вместо $03(7)$ запишем $37$. Ноль просто отбрасываем, так как если перед любым натуральным числом поставить $0$, то оно не изменится. Скобки также убираем.

Нам нужно вычесть из этого числа предпериод. Вычитаем $3$, у нас получается $34$.

В знаменателе пишем одну девятку, так как длина периода равна одному, и два ноля, так как в непериодической части дроби у нас две цифры.

Получилось $\frac{34}{900}$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2, получится $\frac{17}{450}$.

Скажите, а может ли при переводе смешанной периодической дроби в обыкновенную получиться знаменатель $9$? Или $99$?

Показать ответ

Скрыть

{"questions":[{"content":"Запишите, какой числитель будет у обыкновенной дроби, равной $4.5(8)$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"53"}},"step":1,"hints":["Чтобы найти числитель этой дроби, возьмём дробную часть (отбросив скобки), вычтем предпериод.","У нас получится $58-5 = 53$"]}]}

Уже после того, как вы переведёте несколько периодических дробей в обыкновенные, вы почувствуете, что алгоритм запомнился и уже не кажется таким сложным. Также хорошо проверять свои вычисления при помощи калькулятора, разделяя числитель полученной дроби на знаменатель.

{"questions":[{"content":"Запишите цифрами периодическую дробь, в которой целая часть равна шести, непериодическая часть - двадцать одна сотая, длина периода - три, период - семьсот восемьдесят один.  [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6.21(781)"}},"step":1,"hints":["Записываем целую часть, ставим запятую. Записываем дробную часть – $21$ сотая.","Записываем трёхзначный период и берём его в скобки."]},{"content":"Распределите периодические дроби на три группы по тому, какой знаменатель получится при их переводе в обыкновенные дроби. [[grouper-8]]","widgets":{"grouper-8":{"type":"grouper","labels":["Знаменатель $9$","Знаменатель $90$","Знаменатель $990$"],"items":[["$0.(5)$","$21.(7)$"],["$13.5(6)$","$8.1(4)$"],["$0.7(89)$","$10.3(51)$"]]}},"step":1,"hints":["Знаменатель $9$ получится при переводе в обыкновенные дроби чистых периодических дробей с длиной периода $1$.","Знаменатель $90$ получится при переводе в обыкновенные дроби смешанных периодических дробей с длиной периода $1$ и одной цифрой в непериодической части.","Знаменатель $990$ получится при переводе в обыкновенные дроби смешанных периодических дробей с длиной периода $1$ и одной цифрой в непериодической части."]},{"content":"Найдите равенство с ошибкой[[choice-50]]","widgets":{"choice-50":{"type":"choice","options":["$0.(72) = \\frac{8}{11}$","$0.5(13) = \\frac{254}{495}$","$0.1(4) = \\frac{7}{45}$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Чтобы найти ошибочную обыкновенную дробь, можно перевести периодические дроби в обыкновенные, а затем сократить их.","Переведём в обыкновенную дробь $0.(72) $. Это чистая периодическая дробь, следовательно, в числителе будет период, а в знаменателе – столько девяток, сколько цифр в периоде. $0.(72) = \\frac{72}{99} = \\frac{8}{11}$","Переведём в обыкновенную дробь $0.5(13) $. Это смешанная периодическая дробь. Согласно правилу, в числителе будет разность $513-5=508$, а в знаменателе две девятки и один ноль.<br />$\\frac{508}{990} = \\frac{254}{495}$","Переведём в обыкновенную дробь $3.1(4) $. Это смешанная периодическая дробь. Согласно правилу, в числителе будет разность $14-1=13$, а в знаменателе одна девятка и один ноль.<br />$\\frac{13}{90}$. Эту дробь нельзя сократить, так как $13$ и $90$ являются взаимно простыми числами. Следовательно, равенство $0.1(4) = \\frac{7}{45}$ будет ошибочным."]},{"content":"Запишите цифрами знаменатель дроби, которая получится при переводе в обыкновенную дробь дроби $a.bn(m)$[[input-83]]","widgets":{"input-83":{"type":"input","answer":"900"}},"step":1,"hints":["В периоде дроби одна цифра, следовательно, в знаменателе будет одна девятка.","Между запятой и периодом, в непериодической части дроби, две цифры. Следовательно, в знаменателе будет два нуля."]}]}