Сравнение дробей

На этом уроке мы продолжим изучать обыкновенные дроби, узнаем, как можно сравнить дроби, потренируемся в сравнении дробей на координатном луче.

Действия с дробями

Представим, что ты приходишь домой, а там стоит тарелка с пирогом. Вкусный пирог, но не очень большой. Ты съедаешь $\frac{1}{4}$ пирога, но этого маловато, поэтому ты съедаешь ещё одну $\frac{1}{4}$. Получается, всего съедено $\frac{2}{4}$ пирога. И осталась ещё половина. Выходит, и съедена тоже половина!

$$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Если мы отложим на координатном луче отрезок ОА, где начало находится в точке 0, а точка А на расстоянии $\frac{2}{4}$, а затем отложим отрезок В, который начинается в той же точке, но имеет длину $\frac{1}{2}$, то мы увидим, что эти точки совпадут.

Две равные дроби обозначают одно и то же дробное число.

Дробные числа (или дроби) можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить.

На этом уроке мы поговорим о сравнении дробей.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

На рисунке 3 изображены две скамейки, на которых стоят коробки. Длина каждой коробки составляет пятую часть от длины скамейки. На первой скамейке 3 коробки, а на второй 2. Какая часть от каждой скамейки занята?

Показать ответ

Скрыть

Видите, у нас получаются две дроби, у которых одинаковые знаменатели, но при этом разные числительные.

Какая скамейка больше занята? Какое из чисел больше?

Показать ответ

Скрыть

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Рассмотрим ещё один пример на сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

В неделе 7 дней, из них 5 рабочих и 2 выходных. Получается, что неделя делится на 7 равных долей. Выходные дни составляют $\frac{2}{7}$, а будние $\frac{5}{7}$. Так как 2 доли меньше, чем 5 таких же долей, то $\frac{2}{7}$ < $\frac{5}{7}$

Правильно читаться это будет так: «Две седьмых меньше, чем пять седьмых».

Потренируемся и закрепим материал.

На рисунке 5 вы видите шоколадку, которая разделена на квадратики. Ответьте на вопросы.

{"questions":[{"content":"Можно ли разделить эту шоколадку на две равные части?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да","Нет"],"answer":[0]}},"hints":[]},{"content":"Если съесть 4 квадратика, оставшаяся часть будет больше или меньше съеденной?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["меньше","больше"],"answer":[1]}},"hints":[]},{"content":"Если мы разделим эту шоколадку на троих детей, какая часть достанется каждому?[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["Одна третья","Шесть двенадцатых","Четыре двенадцатых"],"answer":[0,2]}},"hints":[]}]}

Сравнение дробей с разными знаменателями

Анна делала полочки для книг. Она взяла две доски, тёмную и светлую, одинаковой длины. Тёмную разрезала на $4$ части (рисунок 6, а), а светлую — на $3$ части (рисунок 6, б).

Видите, что получается? Из $\frac{1}{4}$ доски получается маленькая полочка, а из $\frac{1}{3}$ — полочка побольше (рисунок 6, в).

Можно сделать такой вывод:

Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой больше знаменатель, и больше та, у которой знаменатель меньше.

Проверим? Длина доски 120 см.

Значит, длина тёмной полочки будет 120 : 4 = 30 сантиметров, а светлой 120 : 3 = 40 сантиметров. Чем больше делитель, тем меньше частное.

{"questions":[{"content":"Отметьте верные неравенства.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$\\frac{7}{8} >\\frac{5}{8}$","$\\frac{6}{11} >\\frac{8}{11}$","$\\frac{6}{11} <\\frac{6}{8}$","$\\frac{6}{9} >\\frac{6}{7}$"],"explanations":["","Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель. $6 < 8$, значит, это неравенство ошибочное.","","Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой больше знаменатель, и больше та, у которой знаменатель меньше. $9 > 7$, значит, это неравенство ошибочное."],"answer":[0,2]}},"step":1,"hints":["Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель. Следовательно, неравенство $\\frac{7}{8} >\\frac{5}{8}$ будет верным.","Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой больше знаменатель, и больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно, неравенство $\\frac{6}{11} <\\frac{6}{8}$ будет верным."]}]}

Сравнение дробей на координатном луче

Рассмотрим рисунок 6. Расстояние от двери до окна шесть метров. Стол стоит в трёх метрах от двери, а шкаф – в пяти метрах.  

Давайте попробуем представить это расположение на координатном луче, где дверь будет точкой отсчёта. Расстояние от двери до стола – 3/6, от двери до шкафа – 5/6.

Видите, точка С (стол) расположена слева от точки Ш (шкаф)?

Точка на координатном луче, имеющая меньшую координату, лежит слева от точки, имеющей большую координату.

А что делать, если и числитель, и знаменатель дроби не совпадает? Как их сравнить? Обычно в таких случаях дроби приводят к общему знаменателю. Как это делать, объясним позднее.