Деление смешанных чисел

Деление смешанных чисел осуществляют по тому же принципу, что и умножение: сначала нужно перевести смешанную дробь в неправильную, а затем выполнять действие как с обыкновенной дробью.

Мы можем либо делить делимое на дробь, либо умножать его на дробь, обратную делителю.

Разберём подробнее все случаи.

Деление смешанного числа на натуральное

Можно сказать, что существует два способа разделить смешанное число на целое.

При делении смешанной дроби на натуральное число необходимо представить смешанную дробь в виде неправильной, а затем умножить её на число, обратное делителю.

Напомним, что любое целое число можно представить в виде неправильной дроби с единицей в роли знаменателя; если мы делаем из этой дроби обратную, то единица переносится в числитель, а знаменателем и будет наше число. Например, так:

$$4\frac{2}{5} : 2 = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{22 \cdot 1}{5 \cdot 2}$$

Существует и такая формулировка:

При делении смешанной дроби на натуральное число необходимо представить смешанную дробь в виде неправильной дроби, а затем умножить знаменатель на делитель, а числитель оставить без изменений.

$$4\frac{2}{5} : 2 = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} : 2 = \frac{22}{5 \cdot 2}$$

Получается, что мы делаем одно и то же действие. Запись немного отличается, но считаем мы так же: после того, как мы перевели смешанное число в неправильную дробь, числитель уже не меняется, ведь для того, чтобы разделить дробь на целое число, нужно умножить её знаменатель на это число.

Это довольно простое действие, и, если числа, которыми мы оперируем, небольшие, то такой пример можно решить и устно:

$$4\frac{2}{5} : 2 = \frac{22}{10} = 2 \frac{2}{10}$$

{"questions":[{"content":"Найдите к каждой дроби обратную (смешанные числа предварительно представьте в виде неправильных дробей)[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$2\\frac{6}{10}$","$\\frac{11}{15}$","$3\\frac{4}{5}$"],"items":["$\\frac{10}{26}$","$\\frac{15}{11}$","$\\frac{5}{19}$"]}}}]}

Деление целого числа на смешанную дробь

$$8 : 5\frac{1}{4}$$

Такой пример выглядит сложнее. Но он решается по тому же принципу.

При делении целого числа на смешанную дробь, нужно перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем умножить целое число на дробь, обратную данной неправильной дроби.

$$8 : 5\frac{1}{6} = 8 : \frac{31}{6} = 8 \cdot \frac{6}{31}$$

Мы перемещаем бывшее делимое, а теперь один из множителей, в числитель дроби и выполняем умножение:

$$8 \cdot \frac{6}{31} = \frac{8 \cdot 6}{31} = \frac{48}{31} = 1\frac{17}{31}$$

Давайте потренируемся.

Образавр пошёл за грибами и набрал две корзинки за полтора часа. Сколько корзинок он набрал за час?

Показать решение

Скрыть

При желании можно проверить, умножив собранное за час количество корзинок на время сбора. Кстати, у нас получится умножение смешанных чисел.

Показать проверку

Скрыть

{"questions":[{"content":"В каком из примеров нельзя сократить дроби? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{5 \\cdot 22}{13 \\cdot 3}$","$\\frac{4 \\cdot 11}{9 \\cdot 16}$","$\\frac{2 \\cdot 10}{12 \\cdot 3}$"],"explanations":["Множители не имеют общих делителей, отличных от единицы.","",""],"answer":[0]}}}]}

Деление смешанного числа на дробь и дроби на смешанное число

Зная общий принцип, можете сформулировать, как происходит деление?

Показать правило

Скрыть

Давайте для тренировки выполним такое упражнение: посмотрите на пример и найдите ошибку в вычислениях.

Показать правильный вариант

Скрыть

Хотя мы и заменяем деление дробей умножением, важно помнить, что в данном случае мы не можем свободно менять множители местами. В обратную дробь можно превращать только делитель. Правильное решение будет выглядеть так:

{"questions":[{"content":"Потренируемся в делении обыкновенных дробей. Соедините примеры с ответами. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\frac{2 }{5} : \\frac{3}{10}$","$\\frac{3 }{4} : \\frac{7}{8}$","$\\frac{12}{30} : \\frac{8}{20}$"],"items":["$1\\frac{1 }{3}$","$\\frac{6}{7}$","$1$","$\\frac{4}{10}$"]}}}]}

Деление смешанных чисел

И наконец разберём деление одного смешанного числа на другое. Правило для него то же самое, с той лишь разницей, что оба смешанных числа должны быть в виде неправильных дробей.

Мама купила четыре новые книги сказок, чтобы читать Тимоше по вечерам. За две недели и ещё один день она прочитала три книги, а четвёртую прочла на $\frac{4}{7}$. Сколько книг читала мама за неделю?

Разделим количество книг на количество недель.

$$3\frac{4}{7} : 2\frac{1}{7}$$

Сначала переведём обе дроби в неправильные. У нас получится $\frac{25 }{7}$ и $\frac{15}{7}$. Произведём умножение делимого на дробь, обратную делителю. В данном примере мы можем сократить множители:

{"questions":[{"content":"Выполните вычисления и выберите правильный ответ.<br />$5 : 3\\frac{9}{12}$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1\\frac{1}{3}$","$2\\frac{1}{9}$","$1\\frac{2}{15}$"],"answer":[0]}},"hints":["Представим целое число и смешанное в виде неправильной дроби: <br />$5 : 3\\frac{9}{12} = \\frac{5}{1} : \\frac{36 + 9}{12}$","Умножим делимое на дробь, обратную делителю. Один из множителей и знаменатель можно сократить на $5$<br />$\\frac{5 \\cdot 12}{45} = \\frac{12}{9} = 1\\frac{1}{3}$<br />"]},{"content":"Соедините примеры с ответами[[matcher-7]]","widgets":{"matcher-7":{"type":"matcher","labels":["$1\\frac{3}{4} : 1\\frac{7}{8}$","$2\\frac{4}{5} : 2\\frac{4}{8}$","$4\\frac{3}{6} : 2\\frac{1}{3}$"],"items":["$\\frac{14}{15}$","$1\\frac{3}{25}$","$1\\frac{13}{14}$"]}}},{"content":"Превратите дроби в обратные и расположите получившиеся результаты в порядке возрастания. [[sorter-22]]","widgets":{"sorter-22":{"type":"sorter","items":["$\\frac{8}{13}$","$\\frac{9}{18}$","$\\frac{9}{21}$","$\\frac{9}{26}$"]}}}]}