Карточки
Тесты
Зави
Тест: 3.2
Признаки делимости на 2, 5 и 10
В коробке 4 765 открыток. Можно ли разложить их в наборы по 5 штук без остатка? Можно разделить столбиком, а можно ответить сразу — посмотрев только на последнюю цифру числа. В этом уроке вы узнаете признаки делимости на 2, 5 и 10, увидите на клетках, почему они верны, и научитесь подбирать цифру вместо звездочки так, чтобы число делилось нужным образом.
Четность числа видна по последней цифре
Определение
Число $a$ делится нацело на число $b$, если при делении $a$ на $b$ остаток равен нулю. Коротко говорят: «$a$ делится на $b$». Числа, которые делятся на 2, называют четными, остальные — нечетными.
Например, $12 : 2 = 6$ — число 12 делится на 2. А $13 : 2 = 6$ (остаток 1) — число 13 на 2 не делится.
Чтобы узнать, делится ли число на 2, делить не обязательно. Представим число клетками. Каждый десяток соберем в плитку из двух рядов по пять клеток, а единицы, которым не хватило на десяток, оставим отдельно — это хвост. Число 34 — это 3 плитки и хвост из 4 клеток, число 37 — 3 плитки и хвост из 7 клеток.
Разделить на 2 — значит разложить клетки парами. Плитка уже лежит в два ряда: ее 10 клеток — это 5 пар. Поэтому плитки раскладываются парами при любом их количестве. Остается хвост. У числа 34 хвост из 4 клеток — это 2 пары, лишних клеток нет. У числа 37 хвост из 7 клеток — 3 пары и одна лишняя клетка.
Так устроено любое число. Сотня — это 10 плиток, тысяча — 100 плиток, и все они раскладываются парами. В записи числа хвост — это цифра единиц, то есть последняя цифра. Например, $3\,186 = 3\,180 + 6$: в числе 3 180 ровно 318 плиток, а хвост из 6 клеток — 3 пары. Значит, 3 186 делится на 2. Цифра 0 тоже четная: у числа 40 хвоста нет совсем, и лишней клетки не бывает.
Признак делимости на 2
Число делится на 2, если его последняя цифра четная: 0, 2, 4, 6 или 8. Если последняя цифра нечетная (1, 3, 5, 7 или 9), число на 2 не делится.
$$3\,186 = 3\,180 + 6$$
Ошибка
Как ошибаются. Смотрят на первую цифру: «Число 52 начинается с 5, пятерка нечетная — значит, 52 на 2 не делится».
Проверка делением. $52 : 2 = 26$ — делится. А число 25 начинается с четной двойки, но $25 : 2 = 12$ (остаток 1) — не делится. Цифры одни и те же, а ответы разные: решает цифра, которая стоит в конце.
Где ломается рассуждение. Первая цифра числа 52 считает плитки: их 5. Но плитки раскладываются парами, сколько бы их ни было. Лишняя клетка может появиться только в хвосте, а хвост у 52 — 2 клетки, ровно одна пара.
На 5 и на 10 решает тот же хвост
Плитку можно разложить не только парами. Ее 10 клеток — это 2 ряда по 5 клеток, то есть две пятерки. А сама плитка — ровно один десяток. Поэтому при делении на 5 и на 10 плитки снова не мешают, и все решает хвост.
Разложим число 45 рядами по 5 клеток. 4 плитки дают 8 рядов, а хвост из 5 клеток — еще один полный ряд. Значит, 45 делится на 5: $45 : 5 = 9$. Теперь разложим 45 десятками. 4 плитки — это 4 десятка, а хвост из 5 клеток до десятка не дотягивает. Значит, 45 на 10 не делится.
В хвосте бывает от 0 до 9 клеток. Целыми пятерками он раскладывается, только если в нем 0 или 5 клеток. Целым десятком — только если он пустой.
Признаки делимости на 5 и на 10
Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Число делится на 10, если его последняя цифра 0. С другими последними цифрами число не делится ни на 5, ни на 10.
$$4\,765 = 4\,760 + 5$$
Пример 1
Задача. Не выполняя деления, определите, делится ли число 4 765 на 5, на 10 и на 2.
Решение. Последняя цифра — 5. По признаку делимости на 5 число делится на 5. На 10 оно не делится: последняя цифра не 0. На 2 тоже не делится: 5 — нечетная цифра.
Проверка. $4\,765 : 5 = 953$. Если разложить 4 765 открыток в наборы по 5 штук, получится 953 набора и лишних открыток не останется.
Ответ: делится на 5, не делится на 10 и на 2.
Делится на 10 — значит, делится и на 2, и на 5
Сравним последние цифры из двух признаков. Для делимости на 2 подходят 0, 2, 4, 6, 8. Для делимости на 5 — 0 и 5. Общая цифра у этих списков одна — 0. А нуль на конце — это и есть признак делимости на 10.
| Последняя цифра | Делится на 2 | Делится на 5 | Делится на 10 |
|---|---|---|---|
| 0 | да | да | да |
| 2, 4, 6, 8 | да | нет | нет |
| 5 | нет | да | нет |
| 1, 3, 7, 9 | нет | нет | нет |
Делимость на 2 и на 5 одновременно
Число делится и на 2, и на 5 только тогда, когда оно оканчивается нулем, то есть делится на 10.
$$70 : 2 = 35, \quad 70 : 5 = 14, \quad 70 : 10 = 7$$
На клетках это видно так: хвост, который раскладывается и парами, и пятерками, может быть только пустым. Хвост из 5 клеток — одна пятерка, но парами он не раскладывается. Хвост из 2, 4, 6 или 8 клеток раскладывается парами, но не пятерками.
Обратите внимание
Каждое число, которое делится на 10, делится и на 5. Обратное неверно: число, которое оканчивается на 5, делится на 5, но не делится на 10 — его хвост из пяти клеток до десятка не дотягивает.
Целый список чисел проверяется за один проход
Признаки особенно удобны, когда чисел много. Порядок всегда один: найти последнюю цифру и сравнить ее с таблицей. Нули и четные цифры внутри записи ничего не решают — они меняют только число плиток.
Пример 2
Задача. Из чисел 146, 275, 380, 3 009, 512, 1 005, 2 470, 661 выберите те, что делятся на 2, на 5 и на 10.
Решение. Выпишем последние цифры: 6, 5, 0, 9, 2, 5, 0, 1 и отметим их в таблице ниже.
На 2 делятся числа с последней цифрой 0, 2, 4, 6 или 8: 146, 380, 512, 2 470. На 5 — с последней цифрой 0 или 5: 275, 380, 1 005, 2 470. На 10 — с последней цифрой 0: 380 и 2 470. Число 3 009 не делится ни на одно из трех, хотя в его записи два нуля: последняя цифра 9.
Ответ: на 2 — 146, 380, 512, 2 470; на 5 — 275, 380, 1 005, 2 470; на 10 — 380, 2 470.
| Число | Последняя цифра | На 2 | На 5 | На 10 |
|---|---|---|---|---|
| 146 | 6 | да | нет | нет |
| 275 | 5 | нет | да | нет |
| 380 | 0 | да | да | да |
| 3 009 | 9 | нет | нет | нет |
| 512 | 2 | да | нет | нет |
| 1 005 | 5 | нет | да | нет |
| 2 470 | 0 | да | да | да |
| 661 | 1 | нет | нет | нет |
Заметьте: числа, которые делятся на 10, попали во все три списка. Так и должно быть — нуль на конце дает делимость и на 2, и на 5.
Цифру вместо звездочки выбирает хвост
В задачах вместо одной цифры часто стоит звездочка, и нужно подобрать цифру так, чтобы число делилось на 2, на 5 или на 10. Сначала посмотрите, где стоит звездочка. Если она в конце, звездочка и есть хвост: от нее все зависит. Если звездочка внутри записи, она меняет только число плиток, а хвост остается прежним.
Пример 3
Задача. Какие цифры можно поставить вместо звездочки в числе 3 18*, чтобы оно делилось на 2, но не делилось на 5?
Решение. Звездочка — последняя цифра. На 2 делятся числа, которые оканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8. Из них уберем те, что делятся на 5, — они оканчиваются на 0 или 5. Убираем 0, остаются 2, 4, 6 и 8: числа 3 182, 3 184, 3 186, 3 188.
Ответ: 2, 4, 6 или 8.
Пример 4
Задача. Делится ли на 5 число 4*5 при любой цифре вместо звездочки?
Решение. Звездочка стоит в разряде десятков, а последняя цифра при любой звездочке — 5. Значит, каждое из чисел 405, 415, …, 495 делится на 5. Проверим крайние: $405 : 5 = 81$, $495 : 5 = 99$.
Ответ: да, при любой цифре.
Повышенная сложность: самое маленькое и самое большое число
Скрыть
Задача. Найдите наименьшее четырехзначное число, которое делится на 10, и наибольшее четырехзначное число, которое делится на 5, но не делится на 2.
Решение. Наименьшее четырехзначное число — 1 000. Оно оканчивается нулем, поэтому делится на 10. Наибольшее четырехзначное число — 9 999. Число, которое делится на 5, но не на 2, оканчивается на 5. Самое большое такое число, не больше 9 999, — 9 995.
Ответ: 1 000 и 9 995.
Вывод
Признаки делимости на 2, 5 и 10 заменяют деление одним взглядом на последнюю цифру. Они понадобятся, когда нужно разделить предметы поровну, проверить ответ и сокращать дроби. Чтобы вспомнить правило, представьте число клетками: десятки собраны в плитки 2 × 5, которые всегда раскладываются и парами, и пятерками, и десятками. Решает только хвост — последняя цифра.
Еще упражнения на эту тему — в уроке «Признаки делимости на 10, 5 и на 2».
Часто задаваемые вопросы
Потому что $0 : 2 = 0$ без остатка. На клетках число, которое оканчивается нулем, состоит из одних плиток, хвоста нет, и лишней клетки не остается. Поэтому 10, 20, 100 — четные числа.
У многозначного числа одной первой цифры недостаточно. Например, 52 и 53 начинаются одинаково, но только 52 делится на 2. Все цифры до последней вместе показывают число плиток-десятков, а остаток единиц задает последняя цифра. У однозначного числа первая цифра является и последней.
Да. На 2 делятся числа с последней цифрой 0, 2, 4, 6, 8, на 5 — с последней цифрой 0 или 5. Оба условия выполняются только для цифры 0, а число с нулем на конце делится на 10.
Плитка из 10 клеток раскладывается и парами, и пятерками, ведь $10 = 2 \cdot 5$. Тройками ее разложить нельзя: 10 на 3 не делится. Поэтому для делимости на 3 одной последней цифры мало — нужен другой признак, ему посвящен следующий урок.
Для больших чисел признак быстрее. В задачах со звездочкой можно перебрать цифры от 0 до 9 и проверить каждое полученное число делением. Признак позволяет сразу отобрать подходящие цифры и сократить число проверок.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий