5 класс Математика Натуральные числа Умножение, деление, степень

Задачи на покупки: цена, количество, стоимость

Содержание

В уроке «Анализ условия, схема, арифметический способ» вы превращали условие задачи в схему из отрезков. Теперь применим схему к самым частым задачам из жизни — задачам на покупки: найдем стоимость, цену и количество, посчитаем сдачу, сравним, что выгоднее, и разберемся с ценами в рублях и копейках.

Вопрос, к которому мы вернемся в четвертом разделе: тетрадь стоит 115 руб., ручка — 148 руб. Хватит ли 500 руб., чтобы купить 3 тетради и ручку?

Стоимость — цена, повторенная столько раз, сколько купили

Набор фломастеров стоит 125 руб. Купили 3 набора. Нарисуем схему: каждый набор — отрезок длиной «125 руб.». Наборов три, значит, отрезков три, и они одинаковые. Вся покупка — это три отрезка, выложенные подряд.

Что видно на схеме? Одно и то же число 125 повторяется 3 раза: $125 + 125 + 125$. Сумму одинаковых слагаемых короче записать умножением: $125 \cdot 3 = 375$. Покупка стоит 375 руб.

Три набора фломастеров по 125 рублей: три равных отрезка подряд, 125 · 3 = 375. Ошибка: 125 + 3 дает почти один отрезок — Стоимость — это цена, выложенная столько раз, сколько штук купили: 125 · 3 = 375 руб. Сложение 125 + 3 дает отрезок почти как у одного набора

Определение

Цена — сколько стоит одна штука (один килограмм, один литр). Количество показывает, сколько единиц товара купили: штук, килограммов, литров. Стоимость — сколько стоит вся покупка.

Правило

Стоимость равна цене, умноженной на количество:

$$\text{стоимость} = \text{цена} \cdot \text{количество}$$

Почему верно: каждая купленная штука добавляет к покупке ровно одну цену. Сколько штук — столько раз повторяем цену. Это «столько раз по столько», а «столько раз по столько» — это умножение.

Ошибка

Иксератопс решает ту же задачу и складывает все числа условия: $125 + 3 = 128$ руб.

Проверка на числах. Один набор стоит 125 руб., а три набора — всего на 3 руб. дороже? Тогда второй и третий наборы почти бесплатные. Так не бывает.

Где сломалось. Число 125 — это рубли, число 3 — это штуки. Рубли и штуки складывать нельзя, как нельзя складывать метры и минуты. Решавр проверяет единицы: «рубли за штуку» умножить на «штуки» — получаются рубли. Сложение такой проверки не проходит.

{"questions":[{"content":"Купили 4 тетради по 18 руб. Сколько рублей заплатили? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["72","72,0","72,00","72.0","72.00"]}},"hints":["Стоимость — это цена, повторенная столько раз, сколько купили.","Цену 18 руб. повторяем 4 раза: 4 · 18 = 72.","Ответ: 72 руб."],"step":1},{"content":"Иксератопс решил задачу: «5 альбомов по 24 руб. Сколько стоит покупка?» Он записал: 24 + 5 = 29 руб. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Стоимость нужно разделить на количество: 24 : 5","Из цены нужно вычесть количество: 24 − 5","Ошибки нет: числа условия можно складывать","Цену нужно умножить на количество: 24 · 5 = 120"],"explanations":["Цену одной штуки находят делением общей стоимости на количество. Здесь 24 руб. уже цена одной штуки, поэтому делить 24 : 5 не нужно. Стоимость 5 штук: 24 · 5 = 120 руб.","Вычитание не связано с повторением цены: цена повторяется столько раз, сколько купили","Рубли и штуки складывать нельзя: единицы разные",""],"answer":[3]}},"hints":["Стоимость — это цена, повторенная столько раз, сколько штук.","Проверим единицы: руб./шт. · шт. = руб.","24 · 5 = 120. Ошибка: цена не умножена на количество."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Цену и количество находят делением

В задаче на покупку три величины, и любую из них можно спросить. Если известна вся покупка, а спрашивают про одну штуку, схема та же, только теперь известен весь отрезок, а одинаковые кусочки неизвестны.

7 пирожков стоят 196 руб. Весь отрезок — 196 руб., он разбит на 7 равных кусочков. Длину одного кусочка находим делением: $196 : 7 = 28$. Один пирожок стоит 28 руб.

Деление: 196 рублей за 7 пирожков, цена одного 28; 300 рублей, ручки по 45, хватает на 6 штук, остаток 30 — Известна вся покупка — делим: на равные части (цена) или по цене (количество)

Правило

Цену находят делением стоимости на количество, количество — делением стоимости на цену:

$$\text{цена} = \text{стоимость} : \text{количество}, \qquad \text{количество} = \text{стоимость} : \text{цена}$$

Почему верно: умножение и деление — взаимно обратные действия. Если $28 \cdot 7 = 196$, то $196 : 7 = 28$ и $196 : 28 = 7$. Проверка ответа всегда одна: умножьте цену на количество — должна получиться стоимость.

Пример 1

Ручка стоит 45 руб. Сколько ручек можно купить на 300 руб.?

Решение. Узнаем, сколько раз отрезок «45 руб.» укладывается в отрезок «300 руб.»: $300 : 45 = 6$ (ост. 30). Шесть ручек стоят $45 \cdot 6 = 270$ руб., останется 30 руб. На седьмую ручку 30 руб. не хватит.

Ответ: 6 ручек.

Важно

Если деление получилось с остатком, ответом на вопрос «сколько можно купить» служит неполное частное: остаток — это оставшиеся деньги, которых недостаточно для еще одной штуки. В примере остаются 30 руб., а до седьмой ручки не хватает 15 руб.

{"questions":[{"content":"6 ручек стоят 90 руб. Сколько рублей стоит одна штука? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["15","15,0","15,00","15.0","15.00"]}},"hints":["Цена одной штуки — это стоимость, разделенная поровну на все штуки.","90 : 6 = 15.","Ответ: 15 руб."],"step":1},{"content":"Альбом стоит 32 руб. Сколько целых штук можно купить на 250 руб.? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["7","7,0","7,00","7.0","7.00"]}},"hints":["Нужно узнать, сколько целых раз цена укладывается в имеющиеся деньги.","250 : 32 = 7 (ост. 26). Для целых предметов берут неполное частное.","Остаток 26 руб. меньше цены 32 руб., на следующую штуку не хватит. Ответ: 7 шт."],"step":1}],"mix":1}

Сдача — то, что осталось от денег

Купили 4 сырка по 37 руб. и отдали на кассе 500 руб. Отложим на схеме отрезок «500 руб.» — это все деньги. Из него отрезаем кусок, который ушел на покупку: 4 одинаковых отрезка по 37 руб. То, что осталось от отрезка денег, и есть сдача.

Сдача: купюра 500 рублей, 4 сырка по 37 стоят 148, сдача 500 − 148 = 352; ошибка: вычли только один сырок и получили 463 — Сдача — остаток отрезка денег после отрезка покупки: 500 − 148 = 352 руб.

Правило

Сначала находят стоимость покупки, потом вычитают ее из денег, которые отдали:

$$\text{сдача} = \text{деньги}-\text{стоимость}$$

Пример 2

Купили 3 тетради по 64 руб. и заплатили купюрой в 200 руб. Сколько рублей сдачи получили?

Решение. 1) Стоимость покупки: $64 \cdot 3 = 192$ руб. 2) Сдача: $200-192 = 8$ руб.

Проверка. Покупка и сдача вместе дают все деньги: $192 + 8 = 200$.

Ответ: 8 руб.

Ошибка

Иксератопс пишет: $500-37 = 463$ руб. сдачи. Он вычел цену одного сырка, а купили четыре.

Вторая ошибка — вычитать «наоборот»: Иксератопс пишет $148-500$, то есть пытается взять купюру 500 руб. из покупки на 148 руб.

Проверка на числах. Если сдача 463 руб., то покупка стоила $500-463 = 37$ руб. — это один сырок, а не четыре.

Проверка наоборот. Запись $148-500$ не отвечает на вопрос об остатке от 500 руб.: сдача — это то, что осталось от отданных денег после оплаты, поэтому считают $500-148 = 352$. Если же стоимость больше отданных денег, покупка еще не оплачена: сдачи нет, нужно доплатить разность стоимости и денег.

Где сломалось. Пропущен первый вопрос плана: «Сколько стоит вся покупка?». Сдачу считают только от стоимости всей покупки, и вычитают всегда из денег: $500-148$, а не $148-500$. Сдача не больше денег, которые отдали.

{"questions":[{"content":"Покупатель отдал 100 руб., покупка стоит 72 руб. Иксератопс записал 72 − 100. Сдачу правильно находят так: [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["72 − 100","100 + 72","100 · 72","100 − 72"],"answer":3}},"hints":["Сдача — это деньги, которые остались после оплаты.","Из денег убираем стоимость покупки, а не наоборот.","Сдача: 100 − 72 = 28 руб."],"step":1},{"content":"Покупатель взял 3 булочки по 28 руб. и заплатил купюрой в 100 руб. Сколько рублей сдачи он получил? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["16","16,0","16,00","16.0","16.00"]}},"hints":["Сначала найдем стоимость покупки: 3 · 28 = 84 руб.","Сдача — это то, что осталось от денег: из денег вычитаем стоимость.","100 − 84 = 16. Ответ: 16 руб."],"step":1},{"content":"Соотнесите задачу и то, что в ней нужно найти. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["7 шт. по 15 руб. Сколько стоит покупка?","6 ручек стоят 90 руб. Сколько стоит одна ручка?","На 120 руб. покупают альбомы по 17 руб. Сколько альбомов можно купить?","Покупатель отдал 100 руб., покупка стоит 72 руб. Сколько он получит обратно?"],"items":["Стоимость: цена · количество","Цену: стоимость : количество","Количество: деньги : цена (неполное частное)","Сдачу: деньги − стоимость","Стоимость: цена + количество"]}},"instruction":"Соотнесите задачи и вопросы","hints":["Прочитайте вопрос каждой задачи: что именно спрашивают.","Стоимость находят умножением, цену — делением стоимости на количество, количество — делением денег на цену (берут неполное частное), сдачу — вычитанием.","Лишний вариант — «цена + количество»: рубли и штуки не складывают."],"step":1}],"mix":1}

Покупка из нескольких товаров: два чека

Когда товаров несколько видов, каждый вид — свой отдельный «чек»: свой ряд одинаковых отрезков. Сначала находим стоимость каждого вида, потом складываем. Вот здесь сложение законно: складываем рубли с рублями. Если товар весовой, повторяется цена одного килограмма: 3 кг по 80 руб. — это $80 \cdot 3$ руб.

Вернемся к вопросу из начала урока. Тетрадь стоит 115 руб., ручка — 148 руб. Хватит ли 500 руб. на 3 тетради и ручку?

Два чека: три тетради по 115, всего 345, и ручка 148; вместе 493 рубля. Купюра 500 рублей, хватает, остается 7 — Два чека складываем: 345 + 148 = 493 руб. — это меньше 500, денег хватит

Пример 3

Прикидка. Округлим цену тетради вниз до 110 руб. и вверх до 120 руб., а цену ручки — вниз до 140 руб. и вверх до 150 руб.: $3 \cdot 110 + 140 = 470$ — хватит, $3 \cdot 120 + 150 = 510$ — не хватит. Когда сумма близка к имеющимся деньгам, прикидка не решает, нужен точный счет.

Решение. 1) Первый чек — тетради: $115 \cdot 3 = 345$ руб. 2) Второй чек — ручка: 148 руб. 3) Вся покупка: $345 + 148 = 493$ руб. 4) Сравниваем: $493 \lt 500$, останется $500-493 = 7$ руб.

Ответ: хватит, останется 7 руб.

Правило

Стоимость разных товаров находят отдельно (цена · количество), затем складывают. Если известна вся покупка и ее часть, неизвестную часть находят вычитанием известной из общей суммы.

Тот же порядок работает, когда покупки сделаны в разных местах. В канцелярском магазине купили 2 альбома по 85 руб., в булочной — 3 булочки по 24 руб. Первый чек: $85 \cdot 2 = 170$ руб., второй: $24 \cdot 3 = 72$ руб., всего $170 + 72 = 242$ руб.

Бывает и обратная задача: известна вся покупка, а неизвестна цена одного товара. 2 блокнота по 40 руб. и ручка вместе стоят 105 руб. На ручку ушло $105-2 \cdot 40 = 25$ руб.: из всей суммы вычитаем стоимость того, что уже известно.

{"questions":[{"content":"Купили 3 кг яблок по 80 руб. за килограмм и 2 кг груш по 95 руб. за килограмм. Сколько рублей заплатили за всю покупку? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["430","430,0","430,00","430.0","430.00"]}},"hints":["Первый товар: 3 · 80 = 240 руб.","Второй товар: 2 · 95 = 190 руб.","Вместе: 430 руб. Ответ: 430 руб."],"step":1},{"content":"Для каждой покупки найдите стоимость и распределите покупки по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Денег хватит","Денег не хватит"],"items":[["3 шт. по 40 руб., денег 150 руб.","4 шт. по 30 руб., денег 120 руб.","5 шт. по 25 руб., денег 130 руб."],["2 шт. по 55 руб., денег 100 руб."]]}},"instruction":"Распределите покупки по группам","hints":["Стоимость покупки — цена, умноженная на количество.","Сравните стоимость с деньгами: если стоимость больше денег, то не хватит.","Хватит: 3 шт. по 40 руб. — 3·40; 4 шт. по 30 руб. — 4·30; 5 шт. по 25 руб. — 5·25."],"step":1},{"content":"За ручку и 3 тетради заплатили 145 руб. Одна тетрадь стоит 30 руб. Сколько рублей стоит ручка? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["55","55,0","55,00","55.0","55.00"]}},"hints":["Найдем стоимость 3 одинаковых предметов: 3 · 30 = 90 руб.","Стоимость всей покупки равна цене ручки плюс стоимости 3 одинаковых предметов, поэтому из 145 вычитаем 90.","145 − 90 = 55. Ответ: 55 руб."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Что выгоднее — сравниваем цену одной штуки

В магазине продают йогурты наборами: 4 шт. за 196 руб. или 6 шт. за 288 руб. Иксератопс сравнивает суммы: «196 меньше 288 — первый набор выгоднее». Но во втором наборе и йогуртов больше. Суммы за разное количество сравнивать нечестно.

Решавр приводит наборы к одной штуке — к одному отрезку-цене. Первый набор: $196 : 4 = 49$ руб. за йогурт. Второй: $288 : 6 = 48$ руб. за йогурт. Отрезок второго короче — второй набор выгоднее, хотя стоит дороже.

Что выгоднее: 4 йогурта за 196 рублей, цена одного 49, или 6 йогуртов за 288 рублей, цена одного 48; йогурт по 48 выгоднее — Общая сумма больше, а одна штука дешевле: выгоднее тот набор, где короче отрезок-цена

Правило

Чтобы узнать, что выгоднее, найдите цену одной штуки в каждом предложении и сравните их. Выгоднее там, где одна штука дешевле.

Пример 4

Сколько можно сэкономить на 12 йогуртах? Для одинакового количества найдите затраты обоими способами, из больших затрат вычтите меньшие.

12 йогуртов — это 3 набора по 4 шт. или 2 набора по 6 шт. Первым способом: $196 \cdot 3 = 588$ руб., вторым: $288 \cdot 2 = 576$ руб. Экономия $588-576 = 12$ руб. — ровно по 1 руб. на каждом из 12 йогуртов.

{"questions":[{"content":"В магазине продают тетради одинакового качества: набор из 3 шт. за 96 руб., или набор из 5 шт. за 150 руб. Найдите цену одной штуки в каждом наборе и выберите, что выгоднее.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Набор из 3 шт. за 96 руб.","Одинаково: цены за одну штуку равны","Набор из 5 шт. за 150 руб.","Сравнивать нельзя: штук в наборах разное число"],"explanations":["Здесь штука дороже (32 руб. против 30 руб.), поэтому этот набор менее выгоден","Цена одной штуки разная: 32 и 30 руб.","","Можно: нужно найти цену одной штуки в каждом наборе"],"answer":[2]}},"hints":["Количество разное, поэтому сравниваем цену одной штуки.","96 : 3 = 32 руб., 150 : 5 = 30 руб.","Выгоднее там, где штука дешевле: сравнивают цену единицы, а не общую сумму."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Цены с копейками: десятичная запятая

В магазине цена часто записана с копейками: 23,60 руб. В рубле 100 копеек, поэтому две цифры после запятой — это копейки: 23,60 руб. = 23 руб. 60 коп. Схема не меняется: отрезок-цена просто имеет длину 23,60.

Запись цены	Рубли	Копейки
23,60 руб.	23	60
17,80 руб.	17	80
8,05 руб.	8	5

Пример 5

Карандаш стоит 23,60 руб. Купили 6 карандашей и заплатили 200 руб. Сколько стоит покупка и сколько сдачи получили?

Решение. 1) Стоимость: $23{,}60 \cdot 6$. Умножаем как натуральные числа: $2360 \cdot 6 = 14160$, в множителе 23,60 два знака после запятой — отделяем два знака: $141{,}60$ руб. 2) Сдача: $200-141{,}60 = 58{,}40$ руб.

Проверка. $141{,}60 + 58{,}40 = 200$.

Ответ: покупка 141,60 руб., сдача 58,40 руб.

Правило

Чтобы умножить цену с копейками на целое количество, умножьте без запятой и отделите справа столько цифр, сколько их было после запятой в цене.

Обратите внимание

С копейками ошибка «цена + количество» маскируется: $23{,}60 + 6 = 29{,}60$ руб. похоже на настоящую цену. Но и здесь помогает прикидка: уже два карандаша стоят 47,20 руб., значит, шесть не могут стоить 29,60 руб. Дополнительно проверим единицы: цену за штуку умножаем на число штук.

В модели ниже меняйте цену и количество: отрезки-цены выкладываются в ряд под купюрой в 100 руб., а под схемой пересчитываются стоимость и сдача. Подберите цену (в рублях и десятках копеек, например 12,30) и количество так, чтобы сдача со 100 руб. была 15,50 руб.

m5-zadachi-pokupki-sdacha

Решение задачи-вызова

Скрыть

Сдача 15,50 руб., значит, покупка стоит $100-15{,}50 = 84{,}50$ руб. Переберем количество от 1 до 10. При 1 шт. цена была бы 84,50 руб. — больше предела модели (50 руб.). При 2, 4 и 8 шт. получаем $42{,}25$, $21{,}125$ и $10{,}5625$ руб. — цена не в десятках копеек. При 3, 6, 7 и 9 шт. деление не заканчивается ($28{,}1\ldots$; $14{,}08\ldots$; $12{,}07\ldots$; $9{,}38\ldots$). При 10 шт. цена $8{,}45$ руб. — тоже не в десятках копеек. А $84{,}50 : 5 = 16{,}90$ руб. — подходит. Проверка: $16{,}90 \cdot 5 = 84{,}50$, $100-84{,}50 = 15{,}50$.

{"questions":[{"content":"Одна ручка стоит 12,40 руб. Сколько рублей стоят 4 шт.? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["49,6","49,60","49.6","49.60"]}},"hints":["Стоимость — цена, умноженная на количество.","Десятичную дробь умножаем как натуральное число, потом ставим запятую: 4 · 12,40 = 49,60.","Ответ: 49,60 руб."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи на покупки встречаются каждый день: в магазине, при сборе денег на подарок, при выборе между двумя упаковками. Все они держатся на одной схеме — ряде одинаковых отрезков-цен. Перед решением спросите себя, что известно: одна цена или весь ряд, и что нужно найти.

Что нужно найти	Что видно на схеме	Действие
Стоимость	Цена повторена столько раз, сколько штук	цена · количество
Цену	Весь ряд разбит на равные куски	стоимость : количество
Количество	Сколько раз отрезок-цена укладывается в ряд	стоимость : цена
Сдачу	Остаток отрезка денег	деньги − стоимость
Сумму покупки из разных товаров	Два чека подряд	чек 1 + чек 2
Что выгоднее	Чей отрезок-цена короче	сравнить цену одной штуки

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя сложить цену и количество?

Цена измеряется в рублях, количество — в штуках. Складывать можно только величины одного рода: рубли с рублями. Цена за штуку, умноженная на число штук, дает рубли — поэтому стоимость находят умножением.

Как быстро проверить ответ в задаче на покупку?

Подставьте ответ обратно: цена, умноженная на количество, должна дать стоимость; покупка плюс сдача должны дать все отданные деньги. Если сдача получилась больше отданных денег, ошибка точно есть.

Всегда ли большая упаковка выгоднее?

Нет. Иногда одна штука в большой упаковке стоит дороже, чем в маленькой. Поэтому сравнивают не общую сумму и не размер упаковки, а цену одной штуки.

Как умножить цену с копейками на количество?

Умножьте числа, не обращая внимания на запятую, а потом отделите справа столько цифр, сколько их было после запятой в цене. Например, 12,30 · 3: 1230 · 3 = 3690, отделяем две цифры — 36,90 руб.

Зачем прикидка, если все равно нужно считать точно?

Прикидка быстро отсекает явные ошибки: если тетрадь стоит 115 руб., то три тетради стоят больше 300 и меньше 360 руб., поэтому ответы 10 руб. и 10 000 руб. сразу исключаются. Когда сумма близка к имеющимся деньгам, прикидка не дает ответа — тогда считают точно.

Награды за урок