5 класс Математика Натуральные числа Умножение, деление, степень

Задачи на части, сумму и разность

Содержание

В этом уроке решаем задачи, где целое разбито на две или три части, а про части известно, на сколько или во сколько раз одна больше другой. Вы уже умеете рисовать схему-отрезок и решали задачи на покупки; здесь та же схема покажет, как найти каждую часть несколькими арифметическими действиями, без уравнений.

Задача, к которой вернемся во втором разделе: в двух коробках 52 карандаша, в одной на 8 карандашей больше, чем в другой. Сколько карандашей в каждой коробке? Ответ «по 26» — неверный, и схема покажет почему.

Целое — весь отрезок, части — его куски

В двух корзинах 30 яблок, в первой корзине 12 яблок. Нарисуем один длинный отрезок — это все 30 яблок. Разрежем его на два куска: левый — 12 яблок первой корзины, правый — яблоки второй корзины, их число пока неизвестно, над ним ставим «?».

На схеме видно: два куска вместе дают весь отрезок. Значит, $12 + ? = 30$, и неизвестный кусок — это то, что останется от целого, если убрать известный: $30-12 = 18$ яблок.

Один отрезок 30, левая часть 12, правая часть со знаком вопроса; 30 − 12 = 18 — Целое — весь отрезок; чтобы найти часть, из целого вычитают другую часть: 30 − 12 = 18

Определение

Целое — все количество, о котором идет речь в задаче. Части — куски, на которые разбито целое. Сумма всех частей равна целому.

Правило

Целое = сумма частей. Если частей две, неизвестная часть = целое − известная часть.

Делить целое пополам можно, только если сказано, что части равны: 30 яблок поровну в двух корзинах — это $30:2 = 15$ в каждой. Если про равенство ничего не сказано, пополам не делим. Неизвестная часть = целое − известная часть работает, когда частей две; для трех частей вычитают все известные.

{"questions":[{"content":"В двух классах вместе 54 ученика, в первом классе 26 учеников. Каким действием найти число учеников во втором классе?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$54:2$","$54 + 26$","$26 + 26$","$54-26$"],"explanations":["Деление пополам верно, только если части равны, а здесь это не сказано","К целому прибавили его же часть: получилось больше целого","Вторую часть приняли равной первой без причины",""],"answer":[3]}},"hints":["Целое — весь отрезок, он разбит на две части: одна известна, другая — «?».","Чтобы найти часть, из целого вычитают известную часть.","$54-26 = 28$. Ответ: $54-26$."],"step":1}],"mix":1}

Когда одна часть больше: срезаем лишний кусок

Вернемся к карандашам: вместе 52, в одной коробке на 8 больше. Нарисуем два отрезка друг под другом. Нижний — меньшая коробка. Верхний — такой же длины плюс еще кусок длиной 8: это и есть «на 8 больше». Скобка справа охватывает оба отрезка и подписана «52».

Что видно на схеме: если мысленно отрезать от верхнего отрезка лишний кусок 8, оба отрезка станут одинаковыми. А вместе они станут короче на 8: $52-8 = 44$.

Сумма двух чисел 52, одно больше другого на 8. Срезаем лишний кусок 8, остаются два равных отрезка по 22, вместе 44; большее число 22 + 8 = 30 — Срезали лишний кусок 8 — осталось 44, это две равные меньшие части

Правило

Чтобы найти две части по их сумме и разности:

из суммы вычтите разность — получится сумма двух равных меньших частей;
разделите результат на 2 — получится меньшая часть;
прибавьте к меньшей части разность — получится большая часть.

Почему это верно: после того как лишний кусок срезан, части равны по построению — значит, делить пополам теперь можно. А срезанный кусок принадлежит большей части, поэтому его возвращаем именно ей.

Задача 1

В двух коробках 52 карандаша, в одной на 8 карандашей больше, чем в другой. Сколько карандашей в каждой коробке?

Решение.

1) $52-8 = 44$ (кар.) — в двух коробках, если из большей убрать лишние 8.

2) $44:2 = 22$ (кар.) — в меньшей коробке.

3) $22 + 8 = 30$ (кар.) — в большей коробке.

Проверка: $22 + 30 = 52$ — сумма верна; $30-22 = 8$ — разность верна.

Ответ: 22 карандаша и 30 карандашей.

Ошибка

Иксератопс видит слово «вместе» и сразу делит: $52:2 = 26$ — «в меньшей коробке 26, в большей $26 + 8 = 34$».

Проверим на числах: $26 + 34 = 60$, а карандашей всего 52. Ответ не сходится с условием на 8 карандашей.

Где сломалось рассуждение: деление пополам дает две равные части, а части здесь не равны. Разность сначала надо убрать, и только потом делить. На схеме ошибка видна сразу: после двух половинок по 26 добавлен кусок 8, и он оказался справа за границей целого 52.

Ошибка: сумму 52 разделили пополам до вычитания разности, получили 26 и 26, к большему добавили 8, вышло 60, больше 52 — Если сначала разделить 52 пополам, а потом прибавить 8, части в сумме дадут 60, а не 52

Проверьте себя в трех заданиях: выберите шаг решения или условие, после каждого ответа вы увидите разбор. Выбор здесь назван «прогнозом»: сначала вы выбираете, потом сравниваете выбор с разбором. Схема в этом задании не меняется — рисуйте отрезки сами на листе.

m5-chasti-srezaem

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В двух корзинах вместе 30 яблок, причем в одной на 6 яблок больше, чем в другой. Сколько яблок в той корзине, где их меньше? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0zoogtbglsx2.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["12","12,0","12,00","12.0","12.00"]}},"hints":["Если «срезать» лишнее с большей части, то обе части станут равными.","30 − 6 = 24 — это две равные меньшие части. Каждая: 24 : 2 = 12.","Ответ: 12."],"step":1},{"content":"В двух коробках вместе 40 карандашей, причем в одной на 8 карандашей больше, чем в другой. Сколько карандашей в коробке, где их больше? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["24","24,0","24,00","24.0","24.00"]}},"hints":["Сначала найдем меньшую часть: (40 − 8) : 2 = 16.","Большая часть на 8 больше: 16 + 8 = 24.","Проверка: 16 + 24 = 40. Ответ: 24."],"step":1},{"content":"В двух коробках вместе 44 карандаша, в одной на 6 карандашей больше, чем в другой. Иксератопс решил по-другому, а Решавр проверил суммой и разностью. Какое решение верное?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Меньшая 19, большая 25: сначала (44 − 6) : 2","Меньшая 16, большая 22: из половины вычитаем 6","Меньшая 22, большая 28: сначала 44 : 2","Обе по 22: делим 44 поровну"],"explanations":["","Сумма 16 + 22 = 38, а не 44: половина суммы, уменьшенная на разность, не дает меньшую часть","Сумма 22 + 28 = 50, а не 44: пополам делили до того, как срезали разность","Разность 0 вместо 6: в условии одна часть больше другой, а здесь они равны"],"answer":[0]}},"hints":["Части не равны: в одной на разность больше.","Чтобы разделить пополам, сначала уберем лишнее из большей части.","(44 − 6) : 2 = 19 — меньшая часть; большая 25."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Во столько раз больше: целое делим на равные доли

Другой вид условия: у Пети и Васи вместе 32 марки, у Пети в 3 раза больше, чем у Васи. Здесь нет лишнего куска заданной длины. Зато марки Васи можно взять за одну долю, тогда марки Пети — это три такие же доли.

На схеме: отрезок Васи — один кусок, отрезок Пети — три таких же куска подряд. Скобка «32» охватывает все. Считаем куски: $1 + 3 = 4$ равные доли.

Вася — одна доля со знаком вопроса, Петя — три такие же доли, вместе 4 равные доли и 32; 32 : 4 = 8, 8 · 3 = 24 — «В 3 раза больше» — это 1 доля и 3 доли: целое 32 делим на 4 равные доли

Правило

Если одна часть в $k$ раз больше другой, то меньшая часть — 1 доля, большая — $k$ долей, всего $k + 1$ равных долей.

Задача 2

У Пети и Васи вместе 32 марки, у Пети в 3 раза больше марок, чем у Васи. Сколько марок у каждого?

Решение.

1) $1 + 3 = 4$ (доли) — всего равных долей.

2) $32:4 = 8$ (марок) — одна доля, это марки Васи.

3) $8 \cdot 3 = 24$ (марки) — у Пети.

Проверка: $8 + 24 = 32$; $24:8 = 3$.

Ответ: у Васи 8 марок, у Пети 24 марки.

Обратите внимание

Частая ошибка — разделить 32 на 3: «в 3 раза» сразу превращается в «3 доли». Но тогда забыта доля Васи. По схеме долей всегда на одну больше, чем «во столько раз». А разность здесь тоже можно найти: у Пети на $3-1 = 2$ доли больше, то есть на $8 \cdot 2 = 16$ марок больше, чем у Васи.

{"questions":[{"content":"Одна часть больше другой в несколько раз. Соотнесите слова из условия и число равных долей, на которые делят целое. Одно число лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Части поровну","Одна в 2 раза больше другой","Одна в 3 раза больше другой","Одна в 5 раз больше другой"],"items":["2 доли","3 доли","4 доли","6 долей","5 долей"]}},"instruction":"Соотнесите условие и число долей","hints":["Меньшая часть — одна доля, большая — столько долей, во сколько раз она больше.","Всего долей на одну больше, чем «во столько раз».","Ответ: поровну — 2; в 2 раза — 3; в 3 раза — 4; в 5 раз — 6; число 5 лишнее."],"step":1},{"content":"В двух корзинах вместе 45 яблок, в одной из них в 4 раза больше, чем в другой. Сколько яблок в корзине, где их больше? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["36","36,0","36,00","36.0","36.00"]}},"hints":["Всего 5 равных частей: 45 : 5 = 9 — меньшая часть.","Большая часть — 4 таких части: 9 · 4 = 36.","Проверка: 9 + 36 = 45. Ответ: 36."],"step":1},{"content":"В двух коробках вместе 48 карандашей, в одной в 3 раза больше, чем в другой. На сколько карандашей в одной коробке больше, чем в другой? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["24","24,0","24,00","24.0","24.00"]}},"hints":["Всего 4 равных части, значит одна часть: 48 : 4 = 12.","Большая — 3 части, меньшая — одна: разность в 2 части.","12 · 2 = 24. Ответ: 24."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Чтобы стало поровну, лишнее делят пополам

У Ани 26 наклеек, у Оли 14. Сколько наклеек Аня должна отдать Оле, чтобы у девочек стало поровну? Первый ответ, который приходит в голову, — разность $26-14 = 12$. Проверим: у Ани станет $26-12 = 14$, у Оли $14 + 12 = 26$. Девочки просто поменялись количествами.

На схеме видно почему: лишний кусок 12 у Ани нужно разрезать пополам. Одна половина остается у Ани, другая переходит к Оле — тогда концы отрезков выровняются. В красной плашке справа показано, что получится, если отдать все 12: у Ани 14, у Оли 26.

Выравнивание: у Ани 26, у Оли 14, разность 12; Аня отдает половину разности, 6, и у обеих по 20. Ошибка: отдать все 12 — Лишний кусок 12 режем пополам: 6 остается, 6 переходит — у обеих по 20

Задача 3

У Ани 26 наклеек, у Оли 14 наклеек. Сколько наклеек Аня должна отдать Оле, чтобы у девочек стало поровну?

Решение.

1) $26-14 = 12$ (накл.) — на столько у Ани больше.

2) $12:2 = 6$ (накл.) — столько нужно отдать.

Проверка: у Ани $26-6 = 20$, у Оли $14 + 6 = 20$ — поровну.

Ответ: 6 наклеек.

Правило

Чтобы стало поровну, передают половину разности: передать = (большее − меньшее) : 2. После этого проверяют, что у обоих поровну.

Тот же прием «срезать лишнее» работает и для трех частей: из суммы вычитают все лишние куски, и остаются три равные части. Разберем такую задачу на схеме.

Задача 4

На трех полках 45 книг. На второй полке на 3 книги больше, чем на первой, а на третьей — на 6 книг больше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

Решение. Нарисуем три отрезка: первый — одна доля, второй — доля и кусок 3, третий — доля и кусок 6.

1) $45-3-6 = 36$ (кн.) — на трех полках, если убрать лишние куски; теперь полки равны.

2) $36:3 = 12$ (кн.) — на первой полке.

3) $12 + 3 = 15$ (кн.) — на второй; $12 + 6 = 18$ (кн.) — на третьей.

Проверка: $12 + 15 + 18 = 45$.

Ответ: 12, 15 и 18 книг.

Три полки, вместе 45 книг: первая — одна доля, вторая — доля и кусок 3, третья — доля и кусок 6; 45 − 3 − 6 = 36, 36 : 3 = 12 — Три полки: убираем лишние куски 3 и 6 — остаются три равные доли по 12

{"questions":[{"content":"В трех ящиках вместе 48 кг яблок. Во втором на 6 кг больше, чем в первом, а в третьем на 9 кг больше, чем в первом. Сколько килограммов яблок в первом ящике? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["11","11,0","11,00","11.0","11.00"]}},"hints":["Уберем из второго лишние 6 кг, из третьего лишние 9 кг: останется 48 − 6 − 9 = 33 кг.","Теперь во всех трех ящиках поровну, это три равные части.","33 : 3 = 11. Ответ: 11 кг."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"У Пети 48 марок, у Васи 30 марок. Сколько марок должен отдать Петя Васе, чтобы у мальчиков стало поровну? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["9","9,0","9,00","9.0","9.00"]}},"hints":["Разность 48 − 30 = 18: на столько у Пети больше.","Если Петя отдаст часть, то у него станет меньше, а у Васи больше, поэтому лишнее делят пополам.","18 : 2 = 9. Ответ: 9."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите условия по видам задач.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Сумма и разность","Кратное сравнение","Выравнивание"],"items":[["В двух пачках 60 листов, в одной на 10 листов больше","Два мешка весят 25 кг, первый тяжелее второго на 5 кг"],["В двух пачках 60 листов, в одной в 2 раза больше","Отец в 4 раза старше сына, вместе им 50 лет"],["У Миши 30 открыток, у Димы 18. Сколько открыток Миша должен отдать Диме, чтобы стало поровну?","В одной банке 9 л воды, в другой 3 л. Сколько литров перелить, чтобы стало поровну?"]]}},"instruction":"Распределите условия по группам","hints":["Для каждого условия нарисуйте два отрезка: добавляется отдельный кусок, повторяется целый отрезок или часть переходит от одного к другому?","«На столько больше» — срезаем лишний кусок; «во столько раз больше» — целое делим на равные доли.","«Чтобы стало поровну» — выравнивание: лишнее делим пополам."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Проверка: части должны снова сложиться в целое

Проверяйте все данные условия. Обычно это сумма частей и связь между ними («на столько» или «во столько раз»). Ответ верен, только если выполнены оба. В задаче о карандашах ответ 26 и 26 дает нужную сумму 52, но разность равна 0 вместо 8; ответ 26 и 34 дает разность 8, но сумму 60 вместо 52. Поэтому здесь нужны обе проверки. Для выравнивания проверяют равенство после передачи.

Задача 5

Два куска ткани вместе имеют длину 8,4 м, один длиннее другого на 1,2 м. Найдите длину каждого куска.

Решение.

1) $8{,}4-1{,}2 = 7{,}2$ (м) — два равных коротких куска.

2) $7{,}2:2 = 3{,}6$ (м) — короткий кусок.

3) $3{,}6 + 1{,}2 = 4{,}8$ (м) — длинный кусок.

Проверка: $3{,}6 + 4{,}8 = 8{,}4$; $4{,}8-3{,}6 = 1{,}2$.

Ответ: 3,6 м и 4,8 м.

Два отрезка 3,6 м и 4,8 м, у длинного выделен кусок 1,2, вместе 8,4 м; проверка суммой и разностью — Найденные куски 3,6 и 4,8 снова складываются в целое 8,4 и отличаются на 1,2

Вид задачи	Что проверить
Сумма и разность	Части дают сумму; большая минус меньшая равна разности
Кратное сравнение	Части дают сумму; большая, деленная на меньшую, дает «во столько раз»
Выравнивание	После передачи у обоих поровну

{"questions":[{"content":"В двух пакетах вместе 34 мандарина, в одном на 6 больше, чем в другом. Расставьте шаги решения по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Вычесть разность из суммы: $34-6 = 28$","Тогда полученный остаток 28 разделить на 2: $28:2 = 14$ — меньшая часть","Значит, к найденной меньшей части прибавить разность: $14 + 6 = 20$","Затем сложить обе найденные части и сравнить с суммой: $14 + 20 = 34$"]}},"hints":["Покажите на двух отрезках, какой кусок мешает им быть равными.","Каждый шаг использует число, найденное на предыдущем.","$34-6 = 28$; $28:2 = 14$; $14 + 6 = 20$; $14 + 20 = 34$."],"step":1},{"content":"В двух корзинах вместе 30 яблок, в одной на 8 больше, чем в другой. Какая пара чисел — количество яблок в меньшей и в большей корзине — подходит? Проверьте суммой и разностью.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["8 и 22","15 и 23","11 и 19","7 и 15"],"explanations":["Сумма 30 верна, но разность 14, а не 8","Сумма 15 + 23 = 38, а не 30","","Сумма 7 + 15 = 22, а не 30"],"answer":[2]}},"hints":["Две части должны давать в сумме целое и отличаться на заданную разность.","Меньшая: (30 − 8) : 2 = 11; большая: 11 + 8 = 19.","Проверка: 11 + 19 = 30, 19 − 11 = 8."],"step":1},{"content":"На двух участках вместе 12,6 га, на одном на 2,4 га больше, чем на другом. Сколько га там, где их меньше? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["5,1","5,10","5.1","5.10"]}},"hints":["Уберем лишнее: 12,6 − 2,4 = 10,2.","Разделим поровну: 10,2 : 2 = 5,1.","Проверка: 5,1 + 7,5 = 12,6. Ответ: 5,1."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи на части встречаются постоянно: разделить покупки, деньги, время, расстояние. Не нужно запоминать формулы — достаточно нарисовать схему, и по ней видно, что делать.

И всегда последний шаг — проверка: части складываются в целое и связаны так, как сказано в условии.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли сначала найти большую часть, а не меньшую?

Можно. Если к меньшей части пристроить недостающий кусок, обе станут как большая: сумма + разность = две большие части. Для карандашей: (52 + 8) : 2 = 30 — большая коробка, 30 − 8 = 22 — меньшая. Ответ тот же.

Что делать, если после вычитания разности получилось нечетное целое число?

Тогда деление на 2 не дает целого числа, и части не могут быть целыми. Для карандашей или учеников это значит, что в условии ошибка. Для длин и масс так бывает: ответ получится дробным или десятичным, например 7 : 2 = 3,5 кг.

Как не перепутать «на 3 больше» и «в 3 раза больше»?

«На 3 больше» — к отрезку пристраивают кусок длиной 3, это сложение. «В 3 раза больше» — отрезок повторяют 3 раза, это умножение. Нарисуйте схему — и разница станет видна.

Почему при выравнивании нельзя отдать всю разность?

Потому что отданное одновременно уходит у одного и прибавляется у другого. Разница уменьшается на удвоенное отданное количество, поэтому отдают половину разности.

Награды за урок