5 класс Математика Натуральные числа Умножение, деление, степень

Анализ условия задачи, схема и арифметический способ решения

Содержание

Складывать и вычитать натуральные и десятичные числа вы уже умеете. В этом уроке научимся решать текстовые задачи арифметическим способом: находить в условии вопрос и данные, рисовать к задаче схему-отрезок, составлять план по вопросам и проверять ответ по смыслу.

Сначала найдите, о чем спрашивают

Вот задача: «В автобусе ехали 24 человека. На остановке 9 человек вышли, а 12 человек вошли. Сколько человек стало в автобусе?» Иксератопс прочитал условие и сразу сложил все числа: $24 + 9 + 12 = 45$. Решавр сначала взял карандаш и нарисовал отрезок. Ответы у них получились разные. Кто прав, выясним во втором разделе, а пока посмотрим, из чего вообще состоит задача.

Определение

Текстовая задача состоит из условия и вопроса. Данные — числа и сведения из условия, которые известны. Вопрос — то, что нужно найти; обычно он стоит в конце и начинается словами «сколько», «на сколько», «какой».

Возьмем задачу попроще: «В шкафу лежало 48 тетрадей. Учитель раздал ученикам 30 тетрадей. Сколько тетрадей осталось в шкафу?» Отметим ее части так, как это делает Решавр: вопрос подчеркнем, данные обведем.

Условие задачи про 48 тетрадей: вопрос подчеркнут, числа 48 и 30 обведены, ниже схема-отрезок: 48, кусок 30, остаток со знаком вопроса — Сначала вопрос, потом данные: каждое число проверяем — нужно ли оно для ответа

Вопрос — «сколько тетрадей осталось». Данные — 48 тетрадей было и 30 раздали. Число 48 — это тетради до раздачи, а нужно узнать, сколько тетрадей осталось. Тетради раздали, их стало меньше, поэтому ответ находим вычитанием: $48-30 = 18$ тетрадей. Число 48 тоже про тетради, но это не ответ: важно, какую величину оно задает.

Как читать задачу

Найдите вопрос: что нужно узнать.
Отметьте данные: что известно.
Для каждого числа спросите: нужно ли оно, чтобы ответить на вопрос.

{"questions":[{"content":"У Маши было 12 тетрадей, 5 из них она отдала подруге. Сколько тетрадей осталось у Маши? Какая величина в этой задаче неизвестна?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сколько подруг у Маши","Сколько тетрадей Маша отдала","Сколько тетрадей было у Маши","Сколько тетрадей осталось у Маши"],"explanations":["В условии об этом не спрашивается","Число 5 уже дано в условии, его не нужно искать","Число 12 уже дано в условии, его не нужно искать",""],"answer":[3]}},"hints":["Вопрос задачи — это предложение со словами «сколько», «на сколько», «во сколько раз»; ответом будет неизвестная величина.","Данные — это то, что известно; найти нужно то, о чем спрашивают.","Ответ: Сколько тетрадей осталось у Маши."],"step":1}],"mix":1}

Условие можно нарисовать отрезками

Вернемся к автобусу. Решавр рисует все, что было в начале, одним отрезком и подписывает: 24. Затем 9 человек вышли — людей стало меньше, поэтому от отрезка он отрезает кусок 9. Потом 12 человек вошли — людей стало больше, и к оставшейся части он пристраивает кусок 12. Новый отрезок — это то, что спрашивают. Его длина неизвестна, поэтому над ним стоит знак «?».

Схема в автобусе: было 24, вышли 9, осталось 15, вошли 12, итог со знаком вопроса — Вышли — отрезаем кусок, вошли — пристраиваем: «?» стоит над итоговым отрезком

На схеме видно, что 9 и 12 действуют по-разному: один кусок убран, другой добавлен. Значит, и действия разные: 9 вычитаем, 12 прибавляем. А у Иксератопса оба числа прибавлены, будто вышедшие пассажиры остались в автобусе.

Схема-отрезок

Известное рисуем сплошным отрезком и подписываем числом, искомое отмечаем знаком «?». Если известно, сколько было, и ищем, сколько осталось после уменьшения, отрезаем кусок — вычитаем. Если количество увеличилось — пристраиваем кусок и складываем. А если известно, сколько осталось, и ищем, сколько было, то убранное нужно прибавить к остатку.

Посмотрим, как работает последнее правило. «На полке осталось 21 книга: 14 книг взяли читатели. Сколько книг было на полке сначала?» Известен остаток, а искать нужно целое, поэтому к остатку пристраиваем убранный кусок: $21 + 14 = 35$ (книг). Проверка: если от 35 книг взять 14, останется $35-14 = 21$, как и сказано в условии. Складывать здесь нужно именно потому, что известно, сколько осталось, а искомое — «было».

Пример 1

Задача. В автобусе ехали 24 человека. На остановке 9 человек вышли, а 12 человек вошли. Сколько человек стало в автобусе?

Схема. Отрезок 24, от него отрезан кусок 9, к остатку пристроен кусок 12; над итоговым отрезком — «?».

Решение. 1) $24-9 = 15$ (чел.) — осталось после того, как вышли. 2) $15 + 12 = 27$ (чел.) — стало после того, как вошли.

Проверка. Вошло больше, чем вышло, на $12-9 = 3$ человека, значит, людей должно стать на 3 больше, чем 24. Так и есть: $24 + 3 = 27$.

Ответ: 27 человек.

Теперь видно, где ошибся Иксератопс: его 45 больше, чем $24 + 12 = 36$ — столько было бы, если бы никто не вышел. Такого ответа быть не может.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В классе 28 учеников, 9 из них ушли на олимпиаду. Сколько учеников осталось в классе? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pkgil4h5tdeq.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["19","19,0","19,00","19.0","19.00"]}},"hints":["Нарисуйте отрезок для всего количества и отметьте на нем известную часть.","Искомая часть — остаток отрезка, поэтому действие — вычитание.","28 − 9 = 19. Ответ: 19."],"step":1},{"content":"Соотнесите слова из условия задачи и действие, которое они означают на схеме-отрезке. Одно действие лишнее. Считайте, что известно начальное количество, а нужно найти конечное.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Ушли 6 человек","Привезли еще 15 кг","Продали 20 кг","Пришли еще 9 гостей"],"items":["Вычесть 6","Прибавить 15","Вычесть 20","Прибавить 9","Умножить на 4"]}},"instruction":"Соотнесите слова и действия","hints":["Если количество уменьшилось, от отрезка отрезают кусок — это вычитание.","Если количество увеличилось, к отрезку пристраивают кусок — это сложение.","Ответ: «ушли 6 человек» — вычесть 6; «привезли еще 15 кг» — прибавить 15; «продали 20 кг» — вычесть 20; «пришли еще 9 гостей» — прибавить 9; «умножить на 4» лишнее."],"step":1},{"content":"[[image-2]]В зале было 32 стула, 9 стульев унесли в другую комнату. Сколько стульев осталось в зале? Какая схема подходит к вопросу задачи?[[choice-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qco5gfjcihkr.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Схема А","Схема Б","Схема В","Схема Г"],"explanations":["Здесь известные числа сложены в целое: на схеме «?» — весь отрезок, но по условию часть убрали","На схеме часть длиннее целого: часть не может быть больше целого","","На схеме убранная часть отрезана дважды, а по условию ее убрали один раз"],"answer":[2]}},"hints":["Найдите на схеме отрезок с «?»: он должен соответствовать вопросу.","Проверьте, что часть не длиннее целого, а каждая подпись на схеме совпадает с числом из условия: целое, убранная часть, искомый остаток.","Верна схема В: целое 32, часть 9, остаток «?»: 32 − 9 = 23."],"step":1}],"mix":1}

Что можно узнать сразу

Бывает, что на вопрос задачи нельзя ответить одним действием. «В первый день Решавр прочитал 18 страниц, а во второй — на 7 страниц больше. Сколько страниц он прочитал за два дня?» Чтобы сложить два дня, нужно знать оба числа. А второе нам не дано: известно только, что оно на 7 больше первого.

Нарисуем схему. Первый день — отрезок 18. Второй день — такой же отрезок и еще кусок 7. Над вторым отрезком знак «?»: его длину можно найти сразу. Общая скобка справа от обоих отрезков — тоже «?»: это вопрос задачи, и ответить на него получится только вторым шагом.

План по вопросам

Спросите себя: что можно узнать сразу по данным? Запишите это первым вопросом и ответьте на него.
Ответ первого вопроса становится новым данным.
Повторяйте, пока не получится ответить на вопрос задачи.

Пример 2

Задача. В первый день Решавр прочитал 18 страниц, а во второй — на 7 страниц больше. Сколько страниц он прочитал за два дня?

План. 1) Сколько страниц прочитано во второй день? 2) Сколько страниц прочитано за два дня?

Решение. 1) $18 + 7 = 25$ (стр.) — во второй день. 2) $18 + 25 = 43$ (стр.) — за два дня.

Проверка. Во второй день прочитано на $25-18 = 7$ страниц больше, чем в первый, как и сказано в условии.

Ответ: 43 страницы.

Мы нашли ответ цепочкой арифметических действий над известными числами. Такой способ решения называют арифметическим.

Иксератопс и здесь сложил бы числа подряд: $18 + 7 = 25$ — и ответил бы на первый вопрос плана вместо вопроса задачи. План помогает не остановиться на полпути.

Попробуйте сами: в каждой из трех задач выберите верное решение. После выбора вы увидите разбор своего выбора и верного решения.

m5-analiz-uliki

{"questions":[{"content":"В первой коробке 14 карандашей, во второй на 6 карандашей больше. Сколько карандашей в двух коробках? Какой вопрос в плане решения нужно поставить первым?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сколько карандашей было в первой коробке?","Сколько карандашей в двух коробках?","Сколько карандашей во второй коробке?","На сколько меньше карандашей в первой коробке?"],"explanations":["Это уже дано в условии: 14","Это вопрос задачи, а не первый шаг плана: на него нельзя ответить, пока не известно, сколько во второй коробке","","Это уже дано в условии: разность равна 6"],"answer":[2]}},"hints":["План по вопросам: сначала то, что можно узнать сразу из данных.","Из условия сразу можно узнать, сколько во второй коробке: 14 + 6 = 20.","Потом — сколько в двух: 14 + 20 = 34. Первым идет вопрос про вторую коробку."],"step":1},{"content":"На складе было 120 ящиков яблок. В первый день вывезли 35 ящиков, а во второй — на 12 ящиков больше, чем в первый. Сколько ящиков осталось? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["38","38,0","38,00","38.0","38.00"]}},"hints":["План по вопросам: сначала узнаем, сколько вывезли во второй день.","35 + 12 = 47 ящиков вывезли во второй день.","120 − 35 − 47 = 38. Ответ: 38."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Не каждое число в условии нужно

«На полке стоят 35 книг, 12 из них — словари. Длина полки 80 см. Сколько книг на полке не словари?» Вопрос о книгах. Схема: отрезок 35 — все книги, от него отрезан кусок 12 — словари, остаток с «?» — остальные книги. Числу 80 на схеме места нет: сантиметры не книги. Это лишнее данное. Ответ: $35-12 = 23$ книги.

Ошибка

Как ошибаются. Иксератопс складывает все числа условия: $35 + 12 + 80 = 127$ книг.

Проверка на числах. На полке всего 35 книг, а «не словарей» получилось 127 — часть оказалась больше целого. Так не бывает.

Где сломалось рассуждение. Иксератопс не спросил, что нужно найти. Тогда он не заметил, что 80 — длина полки, а не книги, и что словари нужно отнять, а не прибавить. Схема сразу показывает обе ошибки: для 80 нет места на отрезке, а кусок 12 лежит внутри отрезка 35, а не снаружи.

Верно: число 80 см на схему не попало, отрезок 35 с куском 12 и остатком. Ошибка: все числа подряд дали 127, больше целого 35 — Сверху верная схема: 80 см на нее не попадает. Снизу — ошибка Иксератопса: все числа подряд дают 127 книг из 35 (масштабы панелей разные)

Бывает и наоборот: числа не хватает. «Купили ручки по 15 рублей. Сколько заплатили?» Схема не дорисовывается: сколько кусков по 15 рублей ставить, неизвестно. Это недостающее данное — количество ручек. Пока его нет, задачу решить нельзя, и честный ответ — «не хватает данных».

Лишнее и недостающее

Число, которому нет места на схеме вопроса, — лишнее: в решении его не используют. Но проверяйте связь: иногда число про другой предмет нужно. Например: «В саду растут только яблони и груши, всего 40 деревьев. Из них 15 груш. Сколько яблонь?» Тогда яблонь $40-15 = 25$: условие замыкает целое, и груши помогают найти ответ. Если схему нельзя достроить до «?», в условии не хватает данного и ответ найти нельзя. Например, 2 ручки по 15 рублей стоят 30 рублей, а 3 — 45 рублей: сколько ручек, не сказано, поэтому ответа нет.

{"questions":[{"content":"В саду росло 40 яблонь и 25 груш. Садовник посадил еще 15 яблонь. Сад огорожен забором длиной 200 м. Сколько яблонь стало в саду? Распределите данные по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Нужно для ответа","Лишнее данное"],"items":[["40 яблонь","15 яблонь"],["25 груш","200 м забора"]]}},"instruction":"Распределите данные по группам","hints":["Вопрос — о яблонях: найдите числа, которые говорят, сколько их было и сколько добавили.","Груши и длина забора на число яблонь не влияют — это лишние данные.","Ответ: нужны 40 яблонь и 15 яблонь ($40 + 15 = 55$); лишние — 25 груш и 200 м."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В коробке было 40 карандашей. Несколько карандашей раздали. Сколько карандашей осталось? Чего не хватает в условии, чтобы решить задачу?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Номера коробки","Сколько карандашей было в коробке","Цвета карандашей","Сколько карандашей раздали"],"explanations":["Номер коробки не влияет на ответ","Это известно: 40","Цвет на ответ не влияет",""],"answer":[3]}},"hints":["Нарисуйте схему и посмотрите, какую часть отрезка нельзя подписать числом.","Посмотрите, какой величины в условии нет.","Не хватает: сколько карандашей раздали"],"step":1},{"content":"В магазине было 40 кг яблок, привезли еще 25 кг, а потом продали 18 кг. Иксератопс решил: 40 + 25 + 18 = 83. Решавр сказал, что в решении ошибка. Какая?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Привезли нужно вычесть из 40","Продали нужно вычесть, а не прибавить","Надо вычесть из 18 число 40","Ошибки нет: в задаче надо сложить все числа"],"explanations":["Привезенное по условию прибавляют к запасу, а не вычитают","","18 кг — проданное, 40 кг — начальный запас: вычитают проданное из запаса, а не запас из проданного","Складывать все числа подряд нельзя: «продали» уменьшает остаток"],"answer":[1]}},"hints":["Нарисуйте схему: было, прибавилось, убавилось.","Слова «продали» говорят о том, что количество уменьшилось.","Верно: 40 + 25 − 18 = 47. Ошибка: продали нужно вычесть."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Ответ должен подходить к условию

«В походе 42 ребенка. В одну байдарку садятся 12 человек. Сколько нужно байдарок?» Иксератопс разделил с остатком: $42 : 12 = 3$ (ост. 6) — и записал ответ: 3 байдарки. Но что будет с остатком? Ответ надо проверить по условию.

Нарисуем отрезок 42 и будем откладывать на нем куски по 12. Три полных куска — это $12 \cdot 3 = 36$ детей. Остаются $42-36 = 6$ детей. Их тоже нужно посадить, а для этого нужна еще одна байдарка. Ответ: 4 байдарки.

Отрезок 42 ребенка разбит на куски по 12: три полных байдарки и остаток 6 детей для четвертой; Иксератопс остановился на трех байдарках и забыл остаток — Три байдарки увозят 36 детей, 6 остаются на берегу: нужна четвертая байдарка

Проверка ответа по смыслу

Ответ отвечает на вопрос задачи, а не на промежуточный вопрос?
Часть не больше целого, остаток не больше того, что было?
Число людей и целых предметов — целое; длина и масса могут быть дробными?
Единицы записаны: человек, страниц, метров?

Пример 3

Задача. Длина ленты 8,4 м. Для одного банта отрезали 2,5 м, для другого — 3,2 м. Сколько метров ленты осталось?

Схема. Отрезок 8,4 м; от него отрезаны два куска — 2,5 м и 3,2 м; остаток — «?».

Решение. 1) $8{,}4-2{,}5 = 5{,}9$ (м) — осталось после первого банта. 2) $5{,}9-3{,}2 = 2{,}7$ (м) — осталось после второго.

Проверка по смыслу. Остаток меньше всей ленты: $2{,}7 < 8{,}4$. Обратное действие: $2{,}7 + 2{,}5 + 3{,}2 = 8{,}4$ — сходится.

Ответ: 2,7 м.

Вернемся к автобусу. Вопрос показал, что искать: сколько человек стало. Слова «вышли» и «вошли» подсказали действия, а план по шагам задал порядок: $24-9 = 15$, потом $15 + 12 = 27$. Ответ 27 мы проверили по смыслу: он не больше $24 + 12 = 36$, а значит, 45 Иксератопса не подходит.

{"questions":[{"content":"В группе 35 учеников, из них 14 — мальчики. Сколько девочек в группе? Выберите ответ, который имеет смысл.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["490","21,5","49","21"],"explanations":["Число 490 намного больше, чем всего учеников","21,5 — нецелое число: получилось 21 и еще половина человека. Число людей должно быть целым","Получилось больше, чем было всего: 49 > 35",""],"answer":[3]}},"hints":["Часть не может быть больше целого, а число людей — целое, не дробное.","Находим часть вычитанием: 35 − 14 = 21.","Ответ: 21."],"step":1},{"content":"Длина веревки 12,5 м. Сначала отрезали 3,2 м, потом еще 4,6 м. Сколько метров веревки осталось? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["4,7","4,70","4.7","4.70"]}},"hints":["Отрезали два раза, поэтому от всей длины отнимаем обе части.","12,5 − 3,2 = 9,3.","9,3 − 4,6 = 4,7. Ответ: 4,7 м."],"step":1},{"content":"На поездку едут 47 участников экскурсии. В одном микроавтобусе 12 мест. Сколько таких машин нужно заказать как минимум, чтобы все поехали? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Разделим с остатком: 47 : 12 = 3 (ост. 11).","3 машины вместят 36 человек, а нужно 47: 11 человек остаются, для них нужна еще одна машина.","Число машин не бывает дробным, поэтому округляем вверх: 4. Ответ: 4."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Текстовая задача решается не числами подряд, а схемой: условие превращается в отрезки, а вопрос — в знак «?». Схема подсказывает действие и план, отсекает лишние числа и показывает, если данных не хватает. Ответ всегда сверяйте с условием.

Часто задаваемые вопросы

Обязательно ли рисовать схему, если задача простая?

В задаче в одно действие схему можно представить в уме. Но если чисел три и больше или есть слова «на … больше», схема быстро показывает, какое число вычитать, а какое прибавлять. Она занимает минуту и спасает от ответа «все числа подряд».

Как понять, что число лишнее?

Нарисуйте схему для вопроса задачи. Если числу на ней нет места, например это длина полки, а спрашивают о книгах, — оно лишнее. Лишние числа в решение не включают.

Почему нельзя просто сложить все числа?

Числа в условии означают разное: что-то убавилось, что-то прибавилось, что-то вообще не относится к вопросу. Сначала установите, как числа связаны с вопросом. Сложение подряд может дать слишком большой ответ (45 человек в автобусе вместо 27), слишком маленький (в задаче про страницы $18 + 7 = 25$ вместо 43) или случайно верный — полагаться на него нельзя.

Чем «на 7 больше» отличается от «в 7 раз больше»?

Если ищем число, которое на 7 больше известного, к отрезку пристраивают кусок 7, это сложение (а если известно большее число, а ищем меньшее, кусок 7 отнимают). «В 7 раз больше» — отрезок повторяют 7 раз, это умножение. Такие задачи будут в следующих уроках модуля.

Что делать, если при делении на группы остались люди?

Остаток нельзя отбрасывать. В задаче про байдарки три полные группы увозят 36 детей, а 6 детей остаются, поэтому нужна еще одна байдарка: 4, а не 3. Если же получилось дробное число людей, ищите ошибку в решении.

Награды за урок