5 класс Математика Натуральные числа Умножение, деление, степень

Степень числа. Квадрат и куб числа

Содержание

В уроке «Деление с остатком» вы делили и умножали натуральные числа. Сегодня разберем новое действие — возведение в степень: короткую запись произведения одинаковых множителей. Узнаем, почему вторую степень называют квадратом, а третью — кубом, и как степень вычисляют в выражениях. Здесь много примеров, схем и заданий.

Когда один и тот же множитель повторяется

На шахматной доске 8 рядов по 8 клеток, всего $8 \cdot 8 = 64$ клетки. Представьте, что у вас есть 64 одинаковых кубика. Можно ли сложить из них сплошной куб без пустот и лишних кубиков? А из 32 кубиков? Ответим на оба вопроса в третьем разделе.

Шахматная доска 8 на 8 — 64 клетки и горка из 64 кубиков: сложатся ли они в куб? — 64 клетки доски — это 8 рядов по 8; сложатся ли 64 кубика в куб?

Чтобы ответить, нужна удобная запись для произведений вроде $2 \cdot 2 \cdot 2$ или $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$. В них один и тот же множитель повторяется несколько раз. Поставим множители друг на друга, как этажи башни: в башне $2 \cdot 2 \cdot 2$ три этажа, и на каждом стоит число 2.

Вместо всей башни пишут одно число 2, а справа сверху маленьким числом — сколько в ней этажей: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Читают: «два в третьей степени».

Определение

Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим 1, — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Число $a$ называют основанием степени, число $n$ — показателем степени.

Первую степень числа считают равной самому числу: $a^1 = a$.

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{множителей}}$$

Основание отвечает на вопрос «что умножаем», показатель — «сколько раз это число стоит множителем». Найти значение степени — значит возвести число в степень: развернуть башню в произведение и перемножить по порядку.

Пример 1. Значение степени

Найдите значение $5^4$.

Основание 5, показатель 4: в башне четыре этажа, на каждом число 5. Разворачиваем и умножаем слева направо: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$; $5 \cdot 5 = 25$; $25 \cdot 5 = 125$; $125 \cdot 5 = 625$.

Ответ: $5^4 = 625$.

Ошибка

Иксератопс спешит и пишет: $2^3 = 2 \cdot 3 = 6$. Проверим на числах: развернем степень. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, а не 6.

Где сломалось рассуждение? Произведение $2 \cdot 3$ — это сумма трех слагаемых: $2 + 2 + 2 = 6$. А степень $2^3$ — произведение трех множителей: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Показатель 3 не умножается на основание, он считает этажи башни. Совет: прежде чем считать степень, всегда разворачивайте ее в произведение.

Башня из трёх двоек: 2³ = 2·2·2 = 8; ошибочно считать 2·3 = 6 — Показатель — число множителей: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8, а 2 · 3 = 2 + 2 + 2 = 6

Попробуйте сами: меняйте основание и показатель и следите, как растет башня и ее значение. Рядом модель показывает и произведение $a \cdot n$. Сравните два действия при $a = 2$, $n = 3$: $2^3 = 8$, а $2 \cdot 3 = 6$. Затем проверьте $a = 2$, $n = 2$: результаты совпали, но действия по-прежнему разные — показатель считает множители. Цель: получите 64 тремя способами и запишите пары основания и показателя.

m5-stepen-bashnya

{"questions":[{"content":"Как записать произведение $7 \\cdot 7 \\cdot 7$ степенью?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$7 \\cdot 3$","$3^7$","$7^2$","$7^3$"],"explanations":["Это произведение двух чисел, а не запись повторного умножения","Основание и показатель перепутаны: повторяется 7, а не 3","Множитель 7 повторен три раза, а не два",""],"answer":[3]}},"hints":["Множитель 7 повторен 3 раза.","Основание 7, показатель 3: $7^3$."],"step":1},{"content":"Решавр записал: $3^4 = 3 \\cdot 4 = 12$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет","Верно 7: надо сложить","Верно 64: основание и показатель перепутаны местами","Показатель принят за множитель, верно 81"],"explanations":["$3 \\cdot 4$ — это сложение четырех троек, а не четыре множителя 3","Степень — не сложение, а повторное умножение","$4^3 = 64$, а нужно $3^4$",""],"answer":[3]}},"hints":["Показатель 4 — число множителей, а не второй множитель.","Верно: $3^4 = 3 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 = 81$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Почему вторую степень называют квадратом

Разложим на столе квадрат из клеток: 4 ряда по 4 клетки. Сколько всего клеток? Ряд из 4 клеток повторяется 4 раза: $4 \cdot 4 = 16$. Это степень $4^2$ — башня из двух этажей «4». Шахматная доска устроена так же: $8 \cdot 8 = 8^2 = 64$ клетки.

Квадрат из 16 клеток со стороной 4: 4 · 4 = 4² = 16 — Квадрат 4 × 4 состоит из 4² = 16 клеток

Число клеток со стороной 1 в квадрате — это его площадь. Если сторона квадрата равна $a$, клеток будет $a$ рядов по $a$, то есть $a \cdot a = a^2$. Поэтому вторую степень числа называют его квадратом.

Правило

Квадрат числа $a$ — это его вторая степень, произведение двух множителей, каждый из которых равен $a$. Площадь квадрата со стороной $a$ равна квадрату стороны.

$$a^2 = a \cdot a$$

Запись $a^2$ читают двумя способами: «$a$ во второй степени» или короче — «$a$ в квадрате». Например, $3^2$ — «три в квадрате». Площадь, найденную так, измеряют в квадратных единицах: если сторона дана в метрах, площадь будет в квадратных метрах, если в сантиметрах — в квадратных сантиметрах. Обратите внимание: квадрат числа 3 — это $3 \cdot 3 = 9$, а не $3 \cdot 2 = 6$. Число 2 в записи $3^2$ снова считает этажи башни.

Пример 2. Площадь квадратной клумбы

Клумба имеет форму квадрата со стороной 7 м. Найдите ее площадь.

Площадь квадрата — квадрат стороны: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$. Проверим смыслом: клумбу можно разбить на 7 рядов по 7 квадратов со стороной 1 м.

Ответ: 49 квадратных метров. Число $7 \cdot 4 = 28$ — это периметр клумбы в метрах, а не площадь.

{"questions":[{"content":"Сторона квадрата 9 см. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"81"}},"hints":["Площадь квадрата — квадрат стороны: $9^2$.","$9 \\cdot 9 = 81$."],"step":1},{"content":"Найдите квадрат числа 15. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"225"}},"hints":["Квадрат числа — вторая степень: $15^2 = 15 \\cdot 15$.","$15 \\cdot 15 = 225$."],"step":1}],"mix":1}

Почему третью степень называют кубом

Теперь сложим из кубиков большой куб, у которого на каждом ребре 4 кубика. Нижний слой — квадрат $4 \cdot 4 = 16$ кубиков. Таких слоев 4, поэтому всего $16 \cdot 4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64$ кубика. Башня из трех этажей «4» — это куб.

Куб 4×4×4 из четырёх слоёв по 16 кубиков: 16 · 4 = 4³ = 64 — Куб с ребром 4: 4 слоя по 4² = 16 кубиков, всего 4³ = 64

Правило

Куб числа $a$ — это его третья степень. Сплошной куб, у которого на ребре $a$ единичных кубиков, состоит из $a^3$ кубиков; это число и есть его объем. Если ребро дано в сантиметрах, объем измеряют в кубических сантиметрах: кубик с ребром 1 см занимает один кубический сантиметр. Например, при ребре 3 см в одном слое $3 \cdot 3$ кубика, слоев 3, объем $3^3 = 27$ кубических сантиметров.

$$a^3 = a \cdot a \cdot a$$

Пример 3. Ответ на вопрос о доске

Можно ли сложить сплошной куб из 64 кубиков? А из 32?

Ищем число, куб которого равен 64. Перебираем по порядку: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$. Подходит 4: куб с ребром 4 кубика. Значит, 64 кубика — и 64 клетки доски — можно сложить и в квадрат $8^2$, и в куб $4^3$.

Для 32: $3^3 = 27$ меньше 32, а $4^3 = 64$ больше. Между ними кубов нет, поэтому из 32 кубиков сплошной куб не сложить.

Ответ: из 64 кубиков можно, из 32 нельзя.

Важно

Модель «клетки и кубики» работает только для второй и третьей степени. Степень $2^5$ уже не нарисовать фигурой — ее считают как повторное умножение: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

{"questions":[{"content":"Ребро куба равно 3 см. Найдите его объем в кубических сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"27"}},"hints":["Объем куба — куб ребра: $3^3$.","$3 \\cdot 3 \\cdot 3 = 27$."],"step":1},{"content":"Ребро куба равно 7 см. Его объем равен [[fill_choice-1]] кубических сантиметров.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["21","343","49","84"],"answer":1}},"hints":["Объем куба — число кубиков с ребром 1 см: $7^3 = 7 \\cdot 7 \\cdot 7$.","$7 \\cdot 7 = 49$, $49 \\cdot 7 = 343$."],"step":1}],"mix":1}

Квадраты и кубы, которые полезно помнить

Квадраты и кубы небольших чисел встречаются в задачах постоянно, поэтому их удобно знать наизусть. Каждое число таблицы легко проверить: квадрат — умножить число само на себя, куб — еще раз умножить результат на это число.

Число $a$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Квадрат $a^2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
Куб $a^3$	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

Число $a$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Квадрат $a^2$	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400

В таблице видны закономерности. Квадрат числа, оканчивающегося нулем, оканчивается двумя нулями: $10^2 = 100$, $20^2 = 400$. Степень единицы всегда равна 1: $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. А основание и показатель менять местами нельзя.

6² = 36, а 2⁶ = 64: при перестановке основания и показателя значение меняется — 6² = 36, а 2⁶ = 64: от перестановки основания и показателя значение меняется

Сравним $6^2$ и $2^6$. Запись $6^2$ — башня из двух этажей «6»: $6 \cdot 6 = 36$. Запись $2^6$ — башня из шести этажей «2»: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$. Числа разные. Поэтому сравнивать степени «на глаз» по основанию или показателю нельзя — нужно вычислить обе.

Ошибка

Иксератопс переставляет числа: «$2^7 = 7^2$». Проверим: $2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$, а $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.

Где сломалось рассуждение? Основание — это то, что повторяют, показатель — сколько раз. При перестановке меняются и множитель, и число повторов, поэтому значение другое. Совет: прежде чем менять числа местами, разверните обе записи.

Интересный факт: кто придумал запись степени

Скрыть

Запись с маленьким показателем справа сверху ввел французский математик Рене Декарт в книге «Геометрия» (1637). Любопытно, что сам он писал $x^3$ и $x^4$, а вторую степень по привычке обозначал $xx$ — так было не длиннее.

Совпадение $2^4 = 4^2 = 16$ — случайное исключение: обе степени равны $16$.

{"questions":[{"content":"Соотнесите каждую степень с ее значением. Одно число лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$14^2$","$2^7$","$3^5$","$11^2$"],"items":["196","128","243","121","14"]}},"instruction":"Соотнесите степени и значения","hints":["Разверните каждую степень в произведение: $2^7 = 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2$.","$14^2 = 196$, $2^7 = 128$, $3^5 = 243$, $11^2 = 121$; лишнее 14 — это $2 \\cdot 7$, а не степень."],"step":1},{"content":"Какое из чисел больше: $3^2$ или $2^3$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Больше $2^3$","Больше $3^2$","Сравнить нельзя","Равны"],"explanations":["Решили по показателю 3 > 2, не вычислив: $2^3 = 8$, $3^2 = 9$","","Обе степени вычисляются: 9 и 8","Числа похожи, но не равны: 9 и 8"],"answer":[1]}},"hints":["$3^2 = 9$.","$2^3 = 8$.","$9 > 8$, значит больше $3^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите числа на две группы: квадраты натуральных чисел и числа, которые квадратами не являются.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Квадрат натурального числа","Не квадрат"],"items":[["25","100","169"],["27","18","40"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Ищите число, которое получается при умножении натурального числа на себя: подойдут табличные квадраты.","Проверка границами: $4^2 = 16 < 18 < 25 = 5^2$; $5^2 = 25 < 27 < 36 = 6^2$; $6^2 = 36 < 40 < 49 = 7^2$. Значит, 18, 27, 40 не квадраты; $25 = 5^2$, $100 = 10^2$, $169 = 13^2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

В выражении степень вычисляют первой

Как вычислить $2 + 3^2$? Показатель 2 относится только к тройке: в башне два этажа «3», а двойка стоит отдельно. Поэтому сначала возводим в степень, потом складываем: $2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$.

2 + 3² = 11: показатель относится только к 3; (2 + 3)² = 25: показатель относится ко всей скобке — Показатель относится к числу слева от него: 2 + 3² = 11, а (2 + 3)² = 25

Правило

В выражении без скобок сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Если степень стоит у скобки, она относится ко всему выражению в скобках, и скобку вычисляют первой.

$$2 + 3^2 = 2 + 9 = 11, \qquad (2 + 3)^2 = 5^2 = 25$$

Пример 4. Степень рядом с умножением

Найдите значения выражений $2 \cdot 3^2$ и $(2 \cdot 3)^2$.

В первом выражении показатель стоит у тройки: $3^2 = 9$, затем $2 \cdot 9 = 18$.

Во втором степень относится ко всей скобке: $2 \cdot 3 = 6$, затем $6^2 = 36$.

Ответ: $2 \cdot 3^2 = 18$, $(2 \cdot 3)^2 = 36$. Подробнее о порядке действий — в следующем уроке «Порядок действий».

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $5 + 2^3$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Сначала степень: $2^3 = 8$.","Потом сложение: $5 + 8 = 13$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Степень сокращает запись длинных произведений и встречается везде, где считают клетки, кубики, площади и объемы. Главное — помнить: показатель говорит, сколько раз основание стоит множителем, а не на что его умножить.

Часто задаваемые вопросы

Чем отличается $3^4$ от $3 \cdot 4$?

$3 \cdot 4$ — это четыре слагаемых по 3, то есть 12. $3^4$ — четыре множителя по 3: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. Чтобы не перепутать, разворачивайте степень в произведение.

Чему равна первая степень числа?

Самому числу: $a^1 = a$. В башне один этаж, умножать не на что, например $7^1 = 7$.

Почему вторую степень называют квадратом, а третью — кубом?

Квадрат со стороной $a$ состоит из $a \cdot a = a^2$ единичных клеток, а куб с ребром $a$ — из $a \cdot a \cdot a = a^3$ единичных кубиков. Названия пришли из геометрии. Для четвертой и следующих степеней фигуры нет, их называют просто по номеру: «в четвертой степени».

Можно ли поменять местами основание и показатель?

Нет. $2^6 = 64$, а $6^2 = 36$. Иногда результаты случайно совпадают, например $2^4 = 4^2 = 16$, но общего правила для замены нет.

Как быстро возвести в степень число 10?

Каждый множитель 10 добавляет к единице один ноль. Поэтому в записи $10^n$ после единицы стоит столько нулей, каков показатель: $10^2 = 100$, $10^4 = 10\,000$.

Награды за урок