Карточки
Тесты
Зави
Тест: 2.11
Удобные вычисления
Вы уже знаете законы сложения и умножения и порядок действий. В этом уроке научимся пользоваться ими для счета в уме: переставлять и группировать числа так, чтобы получались круглые суммы и произведения, умножать на 4, 25 и 99 и проверять ответ прикидкой.
Одну и ту же сумму можно считать короткой дорогой
Попробуйте сложить в уме $35 + 87 + 65$. Если идти по порядку, сначала получится $35 + 87 = 122$, а потом $122 + 65 = 187$. При первом сложении приходится переносить единицу в следующий разряд ($5 + 7 = 12$). Если сначала получить $100$, оставшееся сложение проще.
Теперь заметим: $35$ и $65$ вместе дают ровно $100$. Сложим сначала их, а $87$ добавим потом: $100 + 87 = 187$. Ответ тот же, а считать почти нечего.
Представим вычисление как путь от условия к ответу. Пункт назначения один — значение выражения. Дорог к нему много, и законы действий разрешают выбирать, по какой идти. Удобный способ — это дорога через круглые числа: $10$, $100$, $1000$.
Вопрос на весь урок. Тетрадь стоит $17$ рублей. Сколько заплатить за $4$ одинаковых комплекта по $25$ тетрадей? Подумайте, в каком порядке удобно считать, и запомните свой вариант: к ответу вернемся в конце урока.
Слагаемые и множители можно переставлять и собирать в пары
Почему в первом разделе можно было сложить $35$ и $65$ раньше, чем $87$? Это разрешают два закона, которые вы уже знаете. Здесь важно не название, а то, что именно они позволяют менять.
Правило
Переместительный закон: от перестановки слагаемых (множителей) значение не меняется.
Сочетательный закон: соседние слагаемые (множители) можно объединять скобками по-разному.
Вместе они означают: в сумме из одних плюсов (в произведении из одних умножений) числа можно переставлять и группировать как угодно.
$$a+b=b+a, \qquad a \cdot b=b \cdot a$$$$(a+b)+c=a+(b+c), \qquad (a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$$
Посмотрим, как эти законы помогают искать пары. В сумме $37 + 46 + 63 + 54$ ищем пары, у которых единицы дополняют друг друга до десяти: $7 + 3$ и $6 + 4$. Значит, пары — $37$ и $63$, $46$ и $54$.
Пример 1
Вычислите удобным способом: а) $37 + 46 + 63 + 54$; б) $5 \cdot 37 \cdot 2$.
Решение. а) Переставим и сгруппируем: $(37 + 63) + (46 + 54) = 100 + 100 = 200$.
б) Множители $5$ и $2$ дают $10$: $(5 \cdot 2) \cdot 37 = 10 \cdot 37 = 370$.
Ответ: а) $200$; б) $370$.
Как искать пары быстро: для сложения смотрите на последние цифры — $1$ и $9$, $2$ и $8$, $5$ и $5$ дают круглое число. Для умножения запомните три пары: $2 \cdot 5 = 10$, $4 \cdot 25 = 100$, $8 \cdot 125 = 1000$.
Пары помогают и в длинном ряду. Сумма $1+2+3+\ldots+10$: сложите первое и последнее число, второе и предпоследнее: $1+10=11$, $2+9=11$ и так далее. Всего $5$ таких пар, значит, сумма равна $5 \cdot 11 = 55$.
Показать, почему законы верны
Скрыть
Сумма — это общее количество предметов. Если сложить в одну кучку $35$ яблок, потом $87$, потом $65$, всего будет столько же, сколько при другом порядке: яблоки не появляются и не исчезают от того, в какой последовательности их кладут. Поэтому порядок и группировка слагаемых не влияют на сумму.
Для умножения представьте прямоугольник из клеток $5$ на $37$. Если повернуть его, получится $37$ на $5$, а клеток столько же. Произведение трех множителей — это коробка из кубиков: ее можно считать слоями в любом направлении.
Минус держится за свое число
Законы из предыдущего раздела говорят о суммах и произведениях. А что если в выражении есть вычитание? Посмотрим на $70-25+15$. Хочется сгруппировать $25$ и $15$: вместе они дают круглое $40$.
Ошибка
Как ошибаются. Пишут $70-(25+15)=70-40=30$.
Проверка на числах. Посчитаем по порядку: $70-25=45$, $45+15=60$. Получилось $60$, а не $30$.
Где сломалось. Скобки сделали так, что из $70$ вычли и $25$, и $15$. А в условии $15$ прибавляется. Знак стоит перед числом и переезжает вместе с ним: «$-25$» и «$+15$» — это разные шаги пути, их нельзя склеить в одно вычитание.
Правило
В выражении только со сложением и вычитанием можно менять порядок слагаемых, но число переносят вместе со знаком, который стоит перед ним. Следите, чтобы не пришлось вычитать большее число из меньшего.
Если вычитаются два числа подряд, их можно сложить и вычесть одной суммой:
Нельзя заменять $a-b+c$ на $a-(b+c)$: тогда $c$ тоже вычитается.
$$a-b-c=a-(b+c)$$
Пример 2
Вычислите удобным способом: а) $70-25+15$; б) $1000-275-125$.
Решение. а) Переставим $+15$ ближе к $70$ вместе со знаком: $70+15-25=85-25=60$.
б) Оба числа вычитаются, значит, их можно сначала сложить: $275+125=400$, $1000-400=600$.
Ответ: а) $60$; б) $600$.
Простая проверка, если сомневаетесь в группировке: посчитайте выражение по порядку слева направо. Это длиннее, но порядок действий никогда не обманывает. Совпали ответы — короткая дорога выбрана верно.
Неудобный множитель можно разложить на круглые части
Как умножить в уме $35 \cdot 12$? Пары для $35$ здесь нет. Зато $12$ легко разбить: $12 = 10 + 2$. Представим произведение как площадь прямоугольника со сторонами $35$ и $12$ и разрежем его на две полосы.
Правило
Распределительный закон: чтобы умножить число на сумму, можно умножить его на каждое слагаемое и сложить результаты.
Так же для разности: $a \cdot (b-c)=a \cdot b-a \cdot c$.
$$a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c$$
Закон работает и в обратную сторону. Если в сумме двух произведений есть общий множитель, его выносят за скобки: в прямоугольнике это значит склеить две полосы одной ширины в одну.
Пример 3
Вычислите удобным способом: а) $35 \cdot 12$; б) $23 \cdot 7+23 \cdot 3$.
Решение. а) $35 \cdot 12=35 \cdot (10+2)=35 \cdot 10+35 \cdot 2=350+70=420$.
б) Общий множитель $23$: $23 \cdot 7+23 \cdot 3=23 \cdot (7+3)=23 \cdot 10=230$.
Ответ: а) $420$; б) $230$.
Обратите внимание
Умножать нужно на каждую часть. Если посчитать только $35 \cdot 10 = 350$ и забыть полосу $35 \cdot 2$, ответ получится меньше настоящего на целую полосу.
Для частых множителей есть готовые короткие дороги
Некоторые множители встречаются так часто, что для них стоит запомнить свой прием. Каждый прием — это один из законов, которые мы уже разобрали.
Приемы
- Умножение на 25. Ищем в другом множителе четверку: $25 \cdot 4 = 100$. Например, $25 \cdot 36=25 \cdot 4 \cdot 9=100 \cdot 9=900$ (сочетательный закон).
- Умножение на 4. Ищем пару $25$ или удваиваем дважды: $4 \cdot 17 = 34 \cdot 2 = 68$.
- Умножение на 99. Заменяем $99$ на $100-1$:
$$99 \cdot n=100 \cdot n-n$$
Прием с $99$ — это распределительный закон для разности. Сначала берем на одну «полосу» больше ($100$ раз по $n$), а потом возвращаем лишнюю полосу ($1$ раз по $n$).
Пример 4
Вычислите удобным способом $99 \cdot 13$.
Решение. $99 \cdot 13=(100-1) \cdot 13=100 \cdot 13-1 \cdot 13=1300-13=1287$.
Ответ: $1287$.
Показать прием для 101 и 98
Скрыть
Та же идея работает для чисел рядом с круглым: $101 \cdot 13=100 \cdot 13+13=1313$ (полоса добавляется), $98 \cdot 13=100 \cdot 13-2 \cdot 13=1300-26=1274$ (убираем две полосы).
Ограждение вдоль дороги ловит ошибку
Короткая дорога быстрая, но на ней легко перепутать знак: вместо $1300-13$ написать $1300+13$. Чтобы такая ошибка не прошла незамеченной, поставим вдоль пути ограждение — коридор, за который ответ выйти не может.
Для $99 \cdot 13$: множитель $99$ меньше $100$, но больше $90$. Значит, произведение меньше $100 \cdot 13=1300$ и больше $90 \cdot 13=1170$. Ответ $1287$ лежит внутри коридора от $1170$ до $1300$. А ошибочный ответ $1313$ выходит за верхнюю границу — его видно без пересчета.
Но у прикидки есть предел. За границами коридора ответ точно неверен. Внутри — он только возможен: например, $1200$ проходит эту прикидку, а $99 \cdot 13 = 1287$. Точный расчет все равно нужен.
Так же ставят ограждение и для суммы. В первом разделе было $35 + 87 + 65$: $35 + 65 = 100$, а $87$ больше $80$, но меньше $100$. Значит, сумма больше $100 + 80 = 180$ и меньше $100 + 100 = 200$. Ответ $187$ лежит в коридоре от $180$ до $200$.
Алгоритм удобного вычисления
- Посмотрите на знаки: где только плюсы (только умножения), а где вычитание.
- Найдите круглые пары или множитель, который удобно разложить ($12=10+2$, $99=100-1$).
- Переставьте слагаемые вместе с их знаками и сгруппируйте.
- Вычислите и проверьте прикидкой: ответ вне коридора — точно ошибка, внутри — возможен.
Подробнее о том, как строить коридор для любых вычислений, — в следующем уроке. Отработать приемы на большом наборе примеров можно в тренажёре.
Вернемся к вопросу урока. Четыре комплекта по $25$ тетрадей по $17$ рублей — это $4 \cdot 25 \cdot 17$. Соберем круглую пару: $(4 \cdot 25) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700$ рублей. Проверим коридором: $17$ больше $10$ и меньше $20$, значит, ответ больше $100 \cdot 10 = 1000$ и меньше $100 \cdot 20 = 2000$. Ответ $1700$ лежит внутри.
Вывод
Удобные вычисления экономят время на контрольных и в магазине, а главное — упрощают промежуточные вычисления, поэтому ошибиться труднее. Законы действий не меняют ответ, они только выбирают дорогу к нему.
Часто задаваемые вопросы
Нет, ответ по порядку тоже верный. Но в задании «вычислите удобным способом» ждут именно короткую дорогу, и она надежнее: меньше переходов через десяток — меньше ошибок.
Нет: $50-20=30$, а $20-50$ среди натуральных чисел даже не вычисляется. Переставлять можно только число вместе с его знаком: $70-25+15=70+15-25$.
Сначала посмотрите на знаки, потом на последние цифры и на множители рядом с круглыми ($25$, $99$, $101$). Если пары нет, попробуйте разложить один множитель на круглую часть и остаток.
Прикидка ловит ошибки, которые не видны при пересчете тем же способом: перепутанный знак, потерянную полосу, лишний ноль. Она занимает несколько секунд. Но ответ внутри коридора еще не доказан: прикидка отбрасывает только часть ошибок.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий