Множества

Множество — одно из наиболее важных понятий математики. На этом уроке мы расскажем, что это такое, разберём, что такое элементы множества, конечные и бесконечные множества и другие термины, связанные с понятием множества.

Когда мы говорим о множестве, мы подразумеваем набор связанных друг с другом объектов. Такие объекты называют элементами этого множества.

И если твой класс – это множество, тогда ученики класса – элементы множества.

Для записи множества используют фигурные скобки. Попробуем записать множество цветов радуги:

$\{$ Красный, оранжевый, желтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый $\}$

Конечные и бесконечные множества. Обозначения множеств

Множества могут быть конечными и бесконечными. Например, множество парт в классе, множество пальцев на руке, множество стран мира – конечные, а множество натуральных чисел, множество прямоугольников – бесконечные множества.

Если элементами множества являются числа, то такое множество мы называем числовым.

Например, $\{1,3,5,7,9\}$ – множество нечётных чисел, $\{1,2,3,4,5\}$ – множество натуральных чисел, меньших  числа $6$.

Все элементы множества должны отличаться друг от друга. В числовом множестве не может быть повторяющихся чисел.

{"questions":[{"content":"Какое из перечисленных множеств является числовым?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["{22,23,24,25}","{Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун}"],"explanations":["Да, верно! Элементами этого множества являются числа",""],"answer":[0]}},"explanation":"Если элементами множества являются числа, то такое множество мы называем числовым."}]}

Чтобы множества было легко отличить друг от друга, их обозначают прописными буквами латинского алфавита: $$A=\{1,2,3,4,5\}$$

Принадлежность к множеству. Пустое множество

Каждое из чисел $1, 2, 3, 4, 5$ принадлежит множеству $A$. Слово «принадлежит» заменяют знаком $\in$. Выглядит это так: $1 \in A$ (число $1$ принадлежит множеству $A$).

Другие числа ему не принадлежат. Вместо слов «не принадлежит» используют знак $\notin$. Записать можно так: $6 \notin А$ (число $6$ не принадлежит множеству $А$).

Множество натуральных чисел $M$, меньших числа $2$, состоит всего из одного элемента: $$M=\{1\}$$

А множество натуральных чисел $N$, меньших числа $1$, не содержит ни одного элемента.

Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначают знаком $\varnothing$.

Множество $N$ – пустое. $$N=\varnothing$$

{"questions":[{"content":"Как называется множество, которое не содержит ни одного элемента?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["Пустое","Пустым","Пустые","пустые","пустым","пустое"]}},"hints":["Представь, что твой школьный пенал это множество. Как его можно будет назвать, если в нем не окажется ни одного элемента (ручки)?"]}]}

Объединение и пересечение множеств

Рассмотрим множество учеников класса. Пять учеников ходят в шахматный кружок, а восемь учеников занимаются футболом, при этом в классе всего десять учеников. Как же так получилось? Просто трое ходят и на шахматы, и на футбол.

Обозначим множество учеников, которые ходят в шахматный кружок, буквой $A$, а множество учеников, занимающихся футболом, буквой $B$

Тогда множество всех учеников класса – объединение множеств $A$ и $B$

А множество учеников, которые ходят и на шахматы, и на футбол – общая часть (пересечение) множеств $A$ и $B$

Чтобы обозначить объединение множеств, в математике используют знак $\cup$: $$A \cup B$$

Для обозначения общей части (пересечения) множеств используют знак $\cap$: $$A \cap B$$

Пример. Объединение и пересечение двух числовых множеств

Давай рассмотрим два множества:

$А=\{22,23,24,25,26\}$

$B=\{21,23,25,27\}$

И вместе попробуем найти $A \cup B$ и $A \cap B$.

Для начала запишем объединение этих множеств, то есть все числа, которые входят в эти множества: $$A \cup B=\{21,22,23,24,25,26,27\}$$

Обрати внимание, что даже если число есть одновременно в двух множествах, как, например, 23, мы записываем его только один раз, так как в множестве не должно быть одинаковых элементов.

Теперь определим их пересечение (общую часть): $$A \cap B=\{23,25\}$$

{"questions":[{"content":"Нам даны два множества: <br />$А=\\{2,4,6,8\\}$ и $B=\\{2,5,8\\}$. Какое из множеств является их пересечением?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\{2,4,5,6,8\\}$","$\\{2,6,8\\}$","$\\{2,8\\}$","$\\{4,5,6\\}$"],"explanations":["К сожалению, это множество – объединение множеств $A$ и $B$."],"answer":[2]}}}]}

Подмножество

Посмотри на рисунок. Какие множества на нем ты видишь? 

Давай назовём множество треугольников буквой $A$: $$A=\{m,n,p\}$$

A множество прямоугольников буквой $B$: $$B=\{k,o\}$$

Тогда множество $A \cup B$ – множество всех фигур на картинке, то есть $$A \cup B=\{m,n,p,k,o\}$$

Теперь обозначим множество зелёных фигур буквой $C$: $$C=\{m,n,o\}$$

Что представляет собой множество $A\cap C$?
$A\cap C$ – множество зелёных треугольников $D$, то есть $D=\{m,n\}$

Обозначим буквой $E$ множество голубых фигур: $$E=\{k\}$$ Давай определим, что является множеством пересечения $A\cap E$? У множеств $A$ (треугольники) и $E$ (голубые фигуры) нет общих элементов, а значит они не пересекаются. $$A\cap E=\varnothing$$

Множество зелёных треугольников $D$ является частью множества всех треугольников $A$. Можно записать так:

$D \subset A$
(здесь $\subset$ – знак включения)

В таком случае говорят, что множество $D$ – подмножество множества $A$.

Если одно множество является частью другого множества, то его называют подмножеством.

Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества:$$\varnothing\subset A$$

А также само множество является своим подмножеством: $$A\subset A$$