Множества

Множество — одно из наиболее важных понятий математики. На этом уроке мы расскажем, что это такое, разберем, что такое элементы множества, конечные и бесконечные множества и другие термины, связанные с понятием множества.

Что такое множество?

Когда мы говорим о множестве, мы подразумеваем набор связанных друг с другом объектов.

Такие объекты называют элементами этого множества.

И если твой класс – это множество, тогда ученики класса – элементы множества.

Для записи множества используют фигурные скобки. Попробуем записать множество цветов радуги:

$\{$ Красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый $\}$

{"questions":[{"content":"Приведите примеры множества и его элементов:[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Музыкальные инструменты","Мебель","Времена года"],"items":[["гитара","пианино","барабаны"],["стол, стул","диван, кровать","шкаф, полка"],["зима, лето","весна, осень"],["ручка, карандаш","книга, тетрадь"]]}}}]}

Конечные и бесконечные множества. Обозначения множеств

Множества могут быть конечными и бесконечными. Например, множество парт в классе, множество пальцев на руке, множество стран мира – конечные, а множество натуральных чисел, множество прямоугольников – бесконечные множества.

Если элементами множества являются числа, то такое множество мы называем числовым.

Например, $\{1,3,5,7,9\}$ – множество нечетных чисел, $\{1,2,3,4,5\}$ – множество натуральных чисел, меньших $6$.

Все элементы множества должны отличаться друг от друга. В числовом множестве не может быть повторяющихся чисел.

Чтобы множества было легко отличить друг от друга, их обозначают прописными буквами латинского алфавита: $$A=\{1,2,3,4,5\}$$

{"questions":[{"content":"Какое из перечисленных множеств является числовым?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["{22,23,24,25}","{Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун}"],"explanations":["Да, верно! Элементами этого множества являются числа",""],"answer":[0]}},"explanation":"Если элементами множества являются числа, то такое множество мы называем числовым."}]}

Принадлежность к множеству. Пустые множества

Если какой-то элемент принадлежит множеству — это значит, что элемент находится в этом множестве.

Каждое из чисел $1, 2, 3, 4, 5$ принадлежит множеству $A$. Слово «принадлежит» заменяют знаком $\in$. Выглядит это так: $1 \in A$ (читается «число $1$ принадлежит множеству $A$»).

Другие числа ему не принадлежат. Вместо слов «не принадлежит» используют знак $\notin$. Записать можно так: $6 \notin А$ (читается «число $6$ не принадлежит множеству $А$»).

Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается знаком $\varnothing$.

Множество $N$ – пустое: $N=\varnothing$.

{"questions":[{"content":"Как называется множество, которое не содержит ни одного элемента?[[fill_choice_big-24]]","widgets":{"fill_choice_big-24":{"type":"fill_choice_big","options":["пустое","открытое","натуральное","закрытое"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Объединение и пересечение множеств

пример

Рассмотрим множество учеников класса.

Пять учеников ходят в шахматный кружок, а восемь учеников занимаются футболом, при этом в классе всего десять учеников.
Трое ходят и на шахматы, и на футбол.

Обозначим множество учеников, которые ходят в шахматный кружок, буквой $A$, а множество учеников, занимающихся футболом, буквой $B$.

Тогда множество всех учеников класса – объединение множеств $A$ и $B$:

А множество учеников, которые ходят и на шахматы, и на футбол, – общая часть (пересечение) множеств $A$ и $B$:

Чтобы обозначить объединение множеств, в математике используют знак $\cup$: $$A \cup B$$

Для обозначения общей части (пересечения) множеств используют знак $\cap$: $$A \cap B$$

{"questions":[{"content":"Значком $\\cup$ обозначают [[fill_choice-1]] множеств, а значком $\\cap$ — [[fill_choice-5]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["пересечение","объединение"],"answer":1},"fill_choice-5":{"type":"fill_choice","options":["пересечение","объединение"],"answer":0}}}]}

Практика

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Нам даны два множества: $А=\\{2,4,6,8\\}$ и $B=\\{2,5,8\\}$.<br />Какое из множеств является их пересечением?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\{2,4,5,6,8\\}$","$\\{2,6,8\\}$","$\\{2,8\\}$","$\\{4,5,6\\}$"],"explanations":["Это объединение множеств $A$ и $B$.","","",""],"answer":[2]}}}]}

Подмножество

Подмножество — это определенная часть множества. Если одно множество является частью другого множества, то его называют подмножеством.

Например, если множество всех учеников класса обозначить как $А$, то множество девочек этого класса будет являться подмножеством $А$.

пример

Посмотрите на изображение множества геометрических фигур. Какие подмножества в нем можно выделить? 

Очевидно, что внутри множества фигур можно выделить два подмножества на основании количества углов.

Давайте обозначим множество треугольников буквой $A$: $A=\{m,n,p\}$, а множество прямоугольников буквой $B$: $B=\{k,o\}$.

Тогда множество $A \cup B$ – множество всех фигур на картинке, то есть $$A \cup B=\{m,n,p,k,o\}$$

Теперь обозначим множество зеленых фигур буквой $C$: $$C=\{m,n,o\}$$

Что представляет собой множество $A\cap C$?
$A\cap C$ – множество зеленых треугольников $D$, то есть $D=\{m,n\}$

Обозначим буквой $E$ множество голубых фигур: $$E=\{k\}$$ Давайте определим, что является множеством пересечения $A\cap E$? У множеств $A$ (треугольники) и $E$ (голубые фигуры) нет общих элементов, а значит, они не пересекаются. $$A\cap E=\varnothing$$

Множество зеленых треугольников $D$ является частью множества всех треугольников $A$. Можно записать так:

$D \subset A$
(здесь $\subset$ – знак включения)

В таком случае говорят, что множество $D$ – подмножество множества $A$.

Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества: $$\varnothing\subset A$$

А также само множество является своим подмножеством: $$A\subset A$$

{"questions":[{"content":"Запишите множество цифр, с помощью которых можно записать число $4566$.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$B=\\{4, 5, 6\\}$","$B=\\{4, 5, 5, 6\\}$","$B=\\{4, 5, 6, 6\\}$","$B=\\{0, 4, 5, 6\\}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["В числовом множестве не может быть повторяющихся чисел."]}]}

Часто задаваемые вопросы