Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Множества

Содержание

    Множество — одно из наиболее важных понятий математики. На этом уроке мы расскажем, что это такое, разберём, что такое элементы множества, конечные и бесконечные множества и другие термины, связанные с понятием множества.

    Когда мы говорим о множестве, мы подразумеваем набор связанных друг с другом объектов. Такие объекты называют элементами этого множества.

    И если твой класс – это множество, тогда ученики класса – элементы множества.

    Для записи множества используют фигурные скобки. Попробуем записать множество цветов радуги:

    $\{$ Красный, оранжевый, желтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый $\}$

    Конечные и бесконечные множества. Обозначения множеств

    Множества могут быть конечными и бесконечными. Например, множество парт в классе, множество пальцев на руке, множество стран мира – конечные, а множество натуральных чисел, множество прямоугольников – бесконечные множества.

    Если элементами множества являются числа, то такое множество мы называем числовым.

    Например, $\{1,3,5,7,9\}$ – множество нечётных чисел, $\{1,2,3,4,5\}$ – множество натуральных чисел, меньших  числа $6$.

    Все элементы множества должны отличаться друг от друга. В числовом множестве не может быть повторяющихся чисел.

    Чтобы множества было легко отличить друг от друга, их обозначают прописными буквами латинского алфавита: $$A=\{1,2,3,4,5\}$$

    Принадлежность к множеству. Пустое множество

    Каждое из чисел $1, 2, 3, 4, 5$ принадлежит множеству $A$. Слово «принадлежит» заменяют знаком $\in$. Выглядит это так: $1 \in A$ (число $1$ принадлежит множеству $A$).

    Другие числа ему не принадлежат. Вместо слов «не принадлежит» используют знак $\notin$. Записать можно так: $6 \notin А$ (число $6$ не принадлежит множеству $А$).

    Множество натуральных чисел $M$, меньших числа $2$, состоит всего из одного элемента: $$M=\{1\}$$

    А множество натуральных чисел $N$, меньших числа $1$, не содержит ни одного элемента.

    Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначают знаком $\varnothing$.

    Множество $N$ – пустое. $$N=\varnothing$$

    Объединение и пересечение множеств

    Рассмотрим множество учеников класса. Пять учеников ходят в шахматный кружок, а восемь учеников занимаются футболом, при этом в классе всего десять учеников. Как же так получилось? Просто трое ходят и на шахматы, и на футбол.

    Обозначим множество учеников, которые ходят в шахматный кружок, буквой $A$, а множество учеников, занимающихся футболом, буквой $B$

    Тогда множество всех учеников класса – объединение множеств $A$ и $B$

    Объединение множеств

    А множество учеников, которые ходят и на шахматы, и на футбол – общая часть (пересечение) множеств $A$ и $B$

    Пересечение множеств

    Чтобы обозначить объединение множеств, в математике используют знак $\cup$: $$A \cup B$$

    Для обозначения общей части (пересечения) множеств используют знак $\cap$: $$A \cap B$$

    Пример. Объединение и пересечение двух числовых множеств

    Давай рассмотрим два множества:

    $А=\{22,23,24,25,26\}$

    $B=\{21,23,25,27\}$

    И вместе попробуем найти $A \cup B$ и $A \cap B$.

    Для начала запишем объединение этих множеств, то есть все числа, которые входят в эти множества: $$A \cup B=\{21,22,23,24,25,26,27\}$$

    Обрати внимание, что даже если число есть одновременно в двух множествах, как, например, 23, мы записываем его только один раз, так как в множестве не должно быть одинаковых элементов.

    Теперь определим их пересечение (общую часть): $$A \cap B=\{23,25\}$$

    Подмножество

    Посмотри на рисунок. Какие множества на нем ты видишь? 

    Давай назовём множество треугольников буквой $A$: $$A=\{m,n,p\}$$

    Множество А

    A множество прямоугольников буквой $B$: $$B=\{k,o\}$$

    Множество B

    Тогда множество $A \cup B$ – множество всех фигур на картинке, то есть $$A \cup B=\{m,n,p,k,o\}$$

    Теперь обозначим множество зелёных фигур буквой $C$: $$C=\{m,n,o\}$$

    Множество С

    Что представляет собой множество $A\cap C$?
    $A\cap C$ – множество зелёных треугольников $D$, то есть $D=\{m,n\}$

    Множество D

    Обозначим буквой $E$ множество голубых фигур: $$E=\{k\}$$ Давай определим, что является множеством пересечения $A\cap E$? У множеств $A$ (треугольники) и $E$ (голубые фигуры) нет общих элементов, а значит они не пересекаются. $$A\cap E=\varnothing$$

    Множество зелёных треугольников $D$ является частью множества всех треугольников $A$. Можно записать так:

    $D \subset A$
    (здесь $\subset$ – знак включения)

    В таком случае говорят, что множество $D$ – подмножество множества $A$.

    Если одно множество является частью другого множества, то его называют подмножеством.

    Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества:$$\varnothing\subset A$$

    А также само множество является своим подмножеством: $$A\subset A$$

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение