Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Сложение и вычитание смешанных чисел

Содержание

    На этом уроке изучим, как происходит сложение и вычитание смешанных чисел. Так как смешанная запись числа имеет целую часть (в виде натурального числа) и дробную часть (в виде правильной дроби), при сложении и вычитании мы будем работать с ними как с суммой натурального числа и обыкновенной дроби. Давайте подробно рассмотрим, как это делается.

    Сложение и вычитание смешанных и целых чисел

    Посмотрите на это равенство и скажите, верно ли оно.

    $$1\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}$$

    Показать ответ

    Скрыть

    Да, верно. В правой стороне равенства у нас смешанная запись, но по сути она означает то же самое, что и сумма слагаемых в левой части равенства.

    Таким образом, любую смешанную дробь можно представить как сумму целого числа и дроби.

    $$a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}$$

    Теперь рассмотрим такой пример. У нас есть $1\frac{1}{2}$ груши, мы взяли ещё $2$.

    Рисунок 1

    $$\textcolor{blue}1 \textcolor{red}{\frac{1}{2}} + \textcolor{blue}2 = \textcolor{blue}1+\textcolor{red}{\frac{1}{2}}+\textcolor{blue}2$$

    Мы знаем, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Поэтому переставим слагаемые так, как нам удобно. Получится вот так:

    $$\textcolor{blue}{1+2}+\textcolor{red}{\frac{1}{2}}=\textcolor{blue}3 \textcolor{red}{\frac{1}{2}} $$

    То есть мы просто взяли и сложили целые груши вместе, а половинка так и осталась половинкой.

    Рисунок 2

    Чтобы сложить натуральное (целое) и смешанное число, надо сложить целое число с целой частью смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения.

    $$ a\frac{b}{c}+d = a+d+\frac{b}{c}$$

    А что, если нам нужно вычесть целое число из смешанного?

    Мы также расположим цифры так, чтобы нам было удобно:

    $$a\frac{b}{c}-d = a-d+\frac{b}{c}$$

    Чтобы вычесть целое число из смешанного, нужно вычесть целое число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения.

    Вычитание смешанного числа из целого

    С вычитанием смешанного числа из целого будет ненамного сложнее. Тут нужно вспомнить, как вычитаются дроби из целого числа.

    У Никиты было 3 груши. Он захотел поделиться с Леной и отдать ей полторы груши, то есть $1\frac{1}{2}$. Как он будет это делать?

    Показать решение

    Скрыть

    Для начала он отдаст одну грушу, а потом одну из оставшихся разделит пополам и отдаст Лене половинку, а вторую половинку возьмёт себе.

    Распишем решение подробно. Для начала сгруппируем цифры так, чтобы вычитать целую часть дроби из уменьшаемого.

    $$3-1\frac{1}{2}=3-1-\frac{1}{2}=2-\frac{1}{2}$$

    На этом этапе у Никиты уже две груши, и нужно ещё отрезать от одной половину (рисунок 3, а). Никита берёт нож. Теперь у него целая груша и ещё одна груша отдельно, которую он будет резать $ (1-\frac{1}{2}) $ . Раскрываем скобки, не забудьте про знак « $ + $ ».

    $$1+\bigg(1-\frac{1}{2}\bigg)=1+ \bigg( \frac{2}{2}-\frac{1}{2} \bigg)$$

    Никита разрезал грушу, у него получилось $\frac{2}{2}$. Теперь осталось отдать половинку Лене, и задача будет решена (рисунок 3, б).

    $$1+\frac{2-1}{2}=1+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$$

    Рисунок 3

    Попробуем потренироваться с более крупными числами.

    $$16-4\frac{1}{4}$$

    Показать решение

    Скрыть

    $$16-4\frac{1}{4}=16-4-\frac{1}{4}=$$

    $$12-\frac{1}{4}=11+ \bigg(1-\frac{1}{4} \bigg )=$$

    $$11+ \bigg (\frac{4}{4}-\frac{1}{4} \bigg )=$$

    $$11+\frac{4-1}{4}=11\frac{3}{4}$$

    Чтобы вычесть из целого числа смешанную дробь, нужно сначала вычесть целую часть дроби, а затем из полученной разности вычесть дробную часть.

    Сложение смешанных чисел

    На одном блюде лежало $ 2\frac{1}{4} $ пирога с клубникой, а на другом $ 3\frac{2}{4} $ пирога с черникой. Сколько всего пирогов было на двух блюдах вместе?

    Чтобы решить эту задачу, нужно сложить сначала целые части смешанных дробей, а потом их дробные части.

    $$2\frac{1}{4}+3\frac{2}{4}=$$

    $$2+3+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=$$

    $$5+\frac{1+2}{4}=5+\frac{3}{4}=$$

    $$5\frac{3}{4}$$

    На самом деле это довольно простые примеры, и можно написать сразу:

    $$2\frac{1}{4}+3\frac{2}{4}=5\frac{3}{4}$$

    Рисунок 4

    При сложении чисел в смешанной записи целые части складывают отдельно, а дробные – отдельно.

    А если бы пирогов было на $\frac{2}{4}$ больше? У нас получилось бы $5\frac{5}{4}$, то есть дробная часть была бы неправильной дробью. Как думаете, что нужно делать в таких случаях?

    Показать ответ

    Скрыть

    Нужно выделить целую часть из неправильной дроби и прибавить её к целой части.

    $$5\frac{5}{4}=5+\frac{5}{4}=5+1\frac{1}{4}=6\frac{1}{4}$$

    Вычитание смешанных чисел

    На блюде было $2\frac{3}{4}$ пирога с клубникой. $1\frac{2}{4}$ пирога съели. Сколько осталось?

    Рисунок 5

    $$2\frac{3}{4}-1\frac{2}{4}= \bigg (2+\frac{3}{4} \bigg )- \bigg (1+\frac{2}{4} \bigg )=2+\frac{3}{4}-1-\frac{2}{4}$$

    Теперь запишем этот пример так, чтобы целые части смешанных чисел вычитались из целых, а дробные – из дробных.

    $$2-1+\frac{3}{4}-\frac{2}{4}$$

    Обратите внимание: дробная часть уменьшаемого не вычитается, а прибавляется.

    $$2-1+\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=1+\frac{3-2}{4}=1+\frac{1}{4}=1\frac{1}{4}$$

    Обычно такой пример пишется короче:

    $$2\frac{3}{4}-1\frac{2}{4}=1\frac{1}{4}$$

    А что же делать, если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого?

    Нам нужно будет поступить как в примере с грушей, которую Никита разрезал напополам – то есть взять от уменьшаемого единицу и превратить её в неправильную дробь.

    На тарелке было $4\frac{1}{4}$ пирога с клюквой, съели $1\frac{3}{4}$ пирога. Сколько осталось?

    $$4\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}= $$

    $$ \bigg (3+1+\frac{1}{4} \bigg )- \bigg (1+\frac{3}{4} \bigg )= $$

    $$ \bigg (3+\frac{4}{4}+\frac{1}{4} \bigg )-1-\frac{3}{4}= $$

    $$ 3+\frac{4+1}{4}-1-\frac{3}{4}=3+\frac{5}{4}-1-\frac{3}{4} =$$

    $$ 3-1+\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=2+\frac{5-3}{4}= $$

    $$ 2+\frac{2}{4}=2\frac{2}{4}$$

    Можно записать гораздо короче:

    $$4\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}=2\frac{2}{4}$$

    При вычитании чисел в смешанной записи целые части вычитают отдельно, а дробные – отдельно.

    По схожему принципу происходит и сложение и вычитание смешанных дробей с разными знаменателями, правда, такие примеры требуют приведения к общему знаменателю.

    Мы разбирали каждый пример очень подробно, но обычно все вычисления в подобных примерах простые и легко считаются в уме. Попробуйте!

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Проверим знания по теме?

    Смешанные числа
    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение

    НАЗНАЧИТЬ