Сложение и вычитание смешанных чисел

На этом уроке изучим, как происходит сложение и вычитание смешанных чисел. Так как смешанная запись числа имеет целую часть (в виде натурального числа) и дробную часть (в виде правильной дроби), при сложении и вычитании мы будем работать с ними как с суммой натурального числа и обыкновенной дроби. Давайте подробно рассмотрим, как это делается.

Сложение и вычитание смешанных и целых чисел

Посмотрите на это равенство и скажите, верно ли оно.

$$1\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}$$

Показать ответ

Скрыть

Таким образом, любую смешанную дробь можно представить как сумму целого числа и дроби.

$$a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}$$

Теперь рассмотрим такой пример. У нас есть $1\frac{1}{2}$ груши, мы взяли ещё $2$.

$$\textcolor{blue}1 \textcolor{red}{\frac{1}{2}} + \textcolor{blue}2 = \textcolor{blue}1+\textcolor{red}{\frac{1}{2}}+\textcolor{blue}2$$

Мы знаем, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Поэтому переставим слагаемые так, как нам удобно. Получится вот так:

$$\textcolor{blue}{1+2}+\textcolor{red}{\frac{1}{2}}=\textcolor{blue}3 \textcolor{red}{\frac{1}{2}} $$

То есть мы просто взяли и сложили целые груши вместе, а половинка так и осталась половинкой.

Чтобы сложить натуральное (целое) и смешанное число, надо сложить целое число с целой частью смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения.

$$ a\frac{b}{c}+d = a+d+\frac{b}{c}$$

А что, если нам нужно вычесть целое число из смешанного?

Мы также расположим цифры так, чтобы нам было удобно:

$$a\frac{b}{c}-d = a-d+\frac{b}{c}$$

Чтобы вычесть целое число из смешанного, нужно вычесть целое число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения.

{"questions":[{"content":"Найдите правильный ответ.<br />$$ n\\frac{m}{p}+f = $$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$$n+f+\\frac{m}{p}$$","$$n+\\frac{m+f}{p}$$","$$nf+\\frac{m}{p}$$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Чтобы сложить натуральное (целое) и смешанное число, надо сложить целое число с целой частью смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения.","Значит, правильно будет считать так: $$n+f+\\frac{m}{p}$$"]}]}

Вычитание смешанного числа из целого

С вычитанием смешанного числа из целого будет ненамного сложнее. Тут нужно вспомнить, как вычитаются дроби из целого числа.

У Никиты было 3 груши. Он захотел поделиться с Леной и отдать ей полторы груши, то есть $1\frac{1}{2}$. Как он будет это делать?

Показать решение

Скрыть

Распишем решение подробно. Для начала сгруппируем цифры так, чтобы вычитать целую часть дроби из уменьшаемого.

$$3-1\frac{1}{2}=3-1-\frac{1}{2}=2-\frac{1}{2}$$

На этом этапе у Никиты уже две груши, и нужно ещё отрезать от одной половину (рисунок 3, а). Никита берёт нож. Теперь у него целая груша и ещё одна груша отдельно, которую он будет резать $ (1-\frac{1}{2}) $ . Раскрываем скобки, не забудьте про знак « $ + $ ».

$$1+\bigg(1-\frac{1}{2}\bigg)=1+ \bigg( \frac{2}{2}-\frac{1}{2} \bigg)$$

Никита разрезал грушу, у него получилось $\frac{2}{2}$. Теперь осталось отдать половинку Лене, и задача будет решена (рисунок 3, б).

$$1+\frac{2-1}{2}=1+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$$

Попробуем потренироваться с более крупными числами.

$$16-4\frac{1}{4}$$

Показать решение

Скрыть

Чтобы вычесть из целого числа смешанную дробь, нужно сначала вычесть целую часть дроби, а затем из полученной разности вычесть дробную часть.

Сложение смешанных чисел

На одном блюде лежало $ 2\frac{1}{4} $ пирога с клубникой, а на другом $ 3\frac{2}{4} $ пирога с черникой. Сколько всего пирогов было на двух блюдах вместе?

Чтобы решить эту задачу, нужно сложить сначала целые части смешанных дробей, а потом их дробные части.

$$2\frac{1}{4}+3\frac{2}{4}=$$

$$2+3+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=$$

$$5+\frac{1+2}{4}=5+\frac{3}{4}=$$

$$5\frac{3}{4}$$

На самом деле это довольно простые примеры, и можно написать сразу:

$$2\frac{1}{4}+3\frac{2}{4}=5\frac{3}{4}$$

При сложении чисел в смешанной записи целые части складывают отдельно, а дробные – отдельно.

А если бы пирогов было на $\frac{2}{4}$ больше? У нас получилось бы $5\frac{5}{4}$, то есть дробная часть была бы неправильной дробью. Как думаете, что нужно делать в таких случаях?

Показать ответ

Скрыть

Вычитание смешанных чисел

На блюде было $2\frac{3}{4}$ пирога с клубникой. $1\frac{2}{4}$ пирога съели. Сколько осталось?

$$2\frac{3}{4}-1\frac{2}{4}= \bigg (2+\frac{3}{4} \bigg )- \bigg (1+\frac{2}{4} \bigg )=2+\frac{3}{4}-1-\frac{2}{4}$$

Теперь запишем этот пример так, чтобы целые части смешанных чисел вычитались из целых, а дробные – из дробных.

$$2-1+\frac{3}{4}-\frac{2}{4}$$

Обратите внимание: дробная часть уменьшаемого не вычитается, а прибавляется.

$$2-1+\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=1+\frac{3-2}{4}=1+\frac{1}{4}=1\frac{1}{4}$$

Обычно такой пример пишется короче:

$$2\frac{3}{4}-1\frac{2}{4}=1\frac{1}{4}$$

А что же делать, если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого?

Нам нужно будет поступить как в примере с грушей, которую Никита разрезал напополам – то есть взять от уменьшаемого единицу и превратить её в неправильную дробь.

На тарелке было $4\frac{1}{4}$ пирога с клюквой, съели $1\frac{3}{4}$ пирога. Сколько осталось?

$$4\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}= $$

$$ \bigg (3+1+\frac{1}{4} \bigg )- \bigg (1+\frac{3}{4} \bigg )= $$

$$ \bigg (3+\frac{4}{4}+\frac{1}{4} \bigg )-1-\frac{3}{4}= $$

$$ 3+\frac{4+1}{4}-1-\frac{3}{4}=3+\frac{5}{4}-1-\frac{3}{4} =$$

$$ 3-1+\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=2+\frac{5-3}{4}= $$

$$ 2+\frac{2}{4}=2\frac{2}{4}$$

Можно записать гораздо короче:

$$4\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}=2\frac{2}{4}$$

При вычитании чисел в смешанной записи целые части вычитают отдельно, а дробные – отдельно.

По схожему принципу происходит и сложение и вычитание смешанных дробей с разными знаменателями, правда, такие примеры требуют приведения к общему знаменателю.

Мы разбирали каждый пример очень подробно, но обычно все вычисления в подобных примерах простые и легко считаются в уме. Попробуйте!

{"questions":[{"content":"В одной банке было $2\\frac{2}{4}$ литра компота, а во второй - $1\\frac{1}{4}$ литра компота. Компот из обеих банок перелили в одну кастрюлю. Сколько литров получилось?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["4","$2\\frac{3}{4}$","$3\\frac{3}{4}$"],"answer":[2]}}},{"content":"Дети гуляли $1\\frac{3}{5}$ часа, а потом - ещё $2$. Сколько часов они гуляли?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$3\\frac{1}{5}$","$3\\frac{3}{5}$"],"answer":[1]}}},{"content":"В день маленькая собака Бобик съедает $2\\frac{2}{3}$ миски корма, а большая собака Барбос - на $2\\frac{2}{3}$ миски больше. Сколько корма съедает Барбос? [[choice-17]]","widgets":{"choice-17":{"type":"choice","options":["$4\\frac{2}{3}$","$5\\frac{2}{3}$","$5\\frac{1}{3}$"],"answer":[2]}}},{"content":"Фильм длится $2\\frac{1}{6}$ часа, мы посмотрели $1\\frac{3}{6}$ часа. Сколько часов просмотра осталось? [[choice-25]]","widgets":{"choice-25":{"type":"choice","options":["$3\\frac{4}{6}$","$1\\frac{2}{6}$","$2\\frac{4}{6}$","$\\frac{4}{6}$"],"answer":[3]}}}]}