Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Английский язык Русский язык Геометрия Физика Всеобщая история Обществознание География Биология
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Сложение и вычитание смешанных чисел

Содержание

    Сложение и вычитание смешанных и целых чисел

    Посмотрите на это равенство и скажите, верно ли оно.

    $$1\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}$$

    Показать ответ

    Скрыть

    Да, верно. В правой стороне равенства у нас смешанная запись, но по сути она означает то же самое, что и сумма слагаемых в левой части равенства.

    Таким образом, любую смешанную дробь можно представить как сумму целого числа и дроби.

    $$a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}$$

    Теперь рассмотрим такой пример. У нас есть $1\frac{1}{2}$ груши, мы взяли ещё $2$.

    Рисунок 1

    $$\textcolor{blue}1 \textcolor{red}{\frac{1}{2}} + \textcolor{blue}2 = \textcolor{blue}1+\textcolor{red}{\frac{1}{2}}+\textcolor{blue}2$$

    Мы знаем, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Поэтому переставим слагаемые так, как нам удобно. Получится вот так:

    $$\textcolor{blue}{1+2}+\textcolor{red}{\frac{1}{2}}=\textcolor{blue}3 \textcolor{red}{\frac{1}{2}} $$

    То есть мы просто взяли и сложили целые груши вместе, а половинка так и осталась половинкой.

    Рисунок 2

    Чтобы сложить натуральное (целое) и смешанное число, надо сложить целое число с целой частью смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения.

    $$ a\frac{b}{c}+d = a+d+\frac{b}{c}$$

    А что, если нам нужно вычесть целое число из смешанного?

    Мы также расположим цифры так, чтобы нам было удобно:

    $$a\frac{b}{c}-d = a-d+\frac{b}{c}$$

    Чтобы вычесть целое число из смешанного, нужно вычесть целое число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения.

    Вычитание смешанного числа из целого

    С вычитанием смешанного числа из целого будет ненамного сложнее. Тут нужно вспомнить, как вычитаются дроби из целого числа.

    У Никиты было 3 груши. Он захотел поделиться с Леной и отдать ей полторы груши, то есть $1\frac{1}{2}$. Как он будет это делать?

    Показать решение

    Скрыть

    Для начала он отдаст одну грушу, а потом одну из оставшихся разделит пополам и отдаст Лене половинку, а вторую половинку возьмёт себе.

    Распишем решение подробно. Для начала сгруппируем цифры так, чтобы вычитать целую часть дроби из уменьшаемого.

    $$3-1\frac{1}{2}=3-1-\frac{1}{2}=2-\frac{1}{2}$$

    На этом этапе у Никиты уже две груши, и нужно ещё отрезать от одной половину (рисунок 3, а). Никита берёт нож. Теперь у него целая груша и ещё одна груша отдельно, которую он будет резать $ (1-\frac{1}{2}) $ . Раскрываем скобки, не забудьте про знак « $ + $ ».

    $$1+\bigg(1-\frac{1}{2}\bigg)=1+ \bigg( \frac{2}{2}-\frac{1}{2} \bigg)$$

    Никита разрезал грушу, у него получилось $\frac{2}{2}$. Теперь осталось отдать половинку Лене, и задача будет решена (рисунок 3, б).

    $$1+\frac{2-1}{2}=1+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$$

    Рисунок 3

    Попробуем потренироваться с более крупными числами.

    $$16-4\frac{1}{4}$$

    Показать решение

    Скрыть

    $$16-4\frac{1}{4}=16-4-\frac{1}{4}=$$

    $$12-\frac{1}{4}=11+ \bigg(1-\frac{1}{4} \bigg )=$$

    $$11+ \bigg (\frac{4}{4}-\frac{1}{4} \bigg )=$$

    $$11+\frac{4-1}{4}=11\frac{3}{4}$$

    Чтобы вычесть из целого числа смешанную дробь, нужно сначала вычесть целую часть дроби, а затем из полученной разности вычесть дробную часть.

    Сложение смешанных чисел

    На одном блюде лежало $ 2\frac{1}{4} $ пирога с клубникой, а на другом $ 3\frac{2}{4} $ пирога с черникой. Сколько всего пирогов было на двух блюдах вместе?

    Чтобы решить эту задачу, нужно сложить сначала целые части смешанных дробей, а потом их дробные части.

    $$2\frac{1}{4}+3\frac{2}{4}=$$

    $$2+3+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=$$

    $$5+\frac{1+2}{4}=5+\frac{3}{4}=$$

    $$5\frac{3}{4}$$

    На самом деле это довольно простые примеры, и можно написать сразу:

    $$2\frac{1}{4}+3\frac{2}{4}=5\frac{3}{4}$$

    Рисунок 4

    При сложении чисел в смешанной записи целые части складывают отдельно, а дробные – отдельно.

    А если бы пирогов было на $\frac{2}{4}$ больше? У нас получилось бы $5\frac{5}{4}$, то есть дробная часть была бы неправильной дробью. Как думаете, что нужно делать в таких случаях?

    Показать ответ

    Скрыть

    Нужно выделить целую часть из неправильной дроби и прибавить её к целой части.

    $$5\frac{5}{4}=5+\frac{5}{4}=5+1\frac{1}{4}=6\frac{1}{4}$$

    Вычитание смешанных чисел

    На блюде было $2\frac{3}{4}$ пирога с клубникой. $1\frac{2}{4}$ пирога съели. Сколько осталось?

    Рисунок 5

    $$2\frac{3}{4}-1\frac{2}{4}= \bigg (2+\frac{3}{4} \bigg )- \bigg (1+\frac{2}{4} \bigg )=2+\frac{3}{4}-1-\frac{2}{4}$$

    Теперь запишем этот пример так, чтобы целые части смешанных чисел вычитались из целых, а дробные – из дробных.

    $$2-1+\frac{3}{4}-\frac{2}{4}$$

    Обратите внимание: дробная часть уменьшаемого не вычитается, а прибавляется.

    $$2-1+\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=1+\frac{3-2}{4}=1+\frac{1}{4}=1\frac{1}{4}$$

    Обычно такой пример пишется короче:

    $$2\frac{3}{4}-1\frac{2}{4}=1\frac{1}{4}$$

    А что же делать, если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого?

    Нам нужно будет поступить как в примере с грушей, которую Никита разрезал напополам – то есть взять от уменьшаемого единицу и превратить её в неправильную дробь.

    На тарелке было $4\frac{1}{4}$ пирога с клюквой, съели $1\frac{3}{4}$ пирога. Сколько осталось?

    $$4\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}= $$

    $$ \bigg (3+1+\frac{1}{4} \bigg )- \bigg (1+\frac{3}{4} \bigg )= $$

    $$ \bigg (3+\frac{4}{4}+\frac{1}{4} \bigg )-1-\frac{3}{4}= $$

    $$ 3+\frac{4+1}{4}-1-\frac{3}{4}=3+\frac{5}{4}-1-\frac{3}{4} =$$

    $$ 3-1+\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=2+\frac{5-3}{4}= $$

    $$ 2+\frac{2}{4}=2\frac{2}{4}$$

    Можно записать гораздо короче:

    $$4\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}=2\frac{2}{4}$$

    При вычитании чисел в смешанной записи целые части вычитают отдельно, а дробные – отдельно.

    По схожему принципу происходит и сложение и вычитание смешанных дробей с разными знаменателями, правда, такие примеры требуют приведения к общему знаменателю.

    Мы разбирали каждый пример очень подробно, но обычно все вычисления в подобных примерах простые и легко считаются в уме. Попробуйте!

    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение