5 класс Математика Обыкновенные дроби Смешанные числа

Сравнение смешанных чисел и дроби на числовом луче

Содержание

Вы уже знаете правильные и неправильные дроби и умеете записывать смешанные числа: целая часть и правильная дробь. В этом уроке дроби займут свое место на числовом луче. Вы научитесь отмечать правильную дробь и смешанное число, читать число по точке, сравнивать смешанные числа и находить число между двумя данными.

Единичный отрезок можно разрезать, как полоску

Начнем с вопроса, на который ответим чуть позже. Две точки стоят на числовом луче недалеко от отметки 3: одна обозначает число $2\frac23$, другая — $2\frac34$. Видно, что $2\frac34$ стоит правее. Но почему так и на сколько? Целые части одинаковые, а дроби разные, и сразу не скажешь.

Числовой луч 0–3: две близкие точки между 2 и 3, 2 2/3 и 2 3/4 — Обе точки — между 2 и 3; чтобы понять, почему правее 2 3/4 и на сколько, нужно разглядеть отрезок от 2 до 3

Вспомним, как устроен числовой луч. От нуля откладывают единичный отрезок — от 0 до 1. Дальше его повторяют: от 1 до 2, от 2 до 3 и так далее. Каждый такой отрезок — это одна целая, как одна целая полоска в уроке «Правильные и неправильные дроби».

Полоску делили на равные доли. Единичный отрезок можно разрезать точно так же. Разделим его на 5 равных частей — каждая часть равна $\frac15$ единицы. Разделим на 8 — каждая часть станет $\frac18$. Чем больше частей, тем они короче.

Правило

Чтобы отметить дробь на луче, единичный отрезок делят на столько равных частей, сколько показывает знаменатель. Одна часть — это одна доля единицы:

$$\text{единица из } b \text{ частей} \;\Rightarrow\; \text{одна часть} = \frac{1}{b}$$

Почему это верно: в полоске, разрезанной на $b$ равных частей, каждая часть — $\frac1b$ полоски. Единичный отрезок — та же полоска, только лежит на луче, и ее левый конец — ноль.

{"questions":[{"content":"На сколько равных частей нужно разделить единичный отрезок луча, чтобы одна часть равнялась $\\frac{1}{9}$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Сколько частей поместится в единичном отрезке, если каждая равна $\\frac19$?","Одна часть равна $\\frac19$, значит единичный отрезок делят на 9 равных частей: знаменатель 9 показывает число частей единицы."],"step":1}],"mix":1}

Правильная дробь лежит между нулем и единицей

Отметим дробь $\frac35$. Знаменатель 5 — делим единичный отрезок на 5 равных частей. Числитель 3 — отсчитываем от нуля три такие части. Точка, где закончилась третья часть, и есть $\frac35$.

Полоска из 5 долей и луч: три пятых — точка 3/5 левее единицы — Полоска из 5 долей легла на единичный отрезок: три доли от нуля — точка 3/5

Пример

Задача. Единичный отрезок на луче равен 10 клеткам. Где отметить дробь $\frac35$?

Решение. Делим 10 клеток на 5 равных частей: $10 : 5 = 2$, одна пятая — 2 клетки. Три пятых — $3 \cdot 2 = 6$ клеток от нуля. Ставим точку в конце шестой клетки — на линии, через 6 клеток от нуля.

Проверка. До единицы осталось $10-6 = 4$ клетки, то есть две пятых: $\frac35 + \frac25 = 1$.

Ответ: через 6 клеток от нуля.

У правильной дроби числитель меньше знаменателя. Значит, мы всегда откладываем меньше частей, чем есть в единице, и точка не доходит до отметки 1. Если числитель равен знаменателю, например $\frac55$, точка попадает ровно на 1. Если числитель больше, например $\frac75$, придется отложить больше частей, чем есть в единице: точка перешагнет отметку 1 и окажется в следующем отрезке. Так неправильные дроби выходят за единицу — о них в следующем разделе.

Правило

Правильная дробь на луче лежит между 0 и 1. Точку $\frac ab$ находят так: единичный отрезок делят на $b$ равных частей и отсчитывают от нуля $a$ частей.

$$0 < \frac{a}{b} < 1 \quad \text{при } a < b$$

{"questions":[{"content":"Единичный отрезок луча разбит на 7 равных частей. Точка стоит на четвертом делении от нуля. Какое число она обозначает?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{4}{11}$","$\\frac{3}{7}$","$\\frac{7}{4}$","$\\frac{4}{7}$"],"explanations":["Знаменатель — число частей единицы, а не сумма 4 + 7","Считали промежутки до точки, пропустив первое деление: от нуля до точки четыре деления","Числитель и знаменатель поменяли местами: делений в единице 7, это знаменатель",""],"answer":[3]}},"hints":["Одно деление — это $\\frac17$ единицы.","Четыре деления — $\\frac47$."],"step":1},{"content":"Какое из чисел лежит на луче между 0 и 1?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\frac{8}{7}$","$\\frac{7}{8}$","$\\frac{5}{5}$","$1\\frac{2}{7}$"],"explanations":["Числитель больше знаменателя: это больше целой единицы, точка правее 1","","Это ровно 1: точка совпадает с концом единичного отрезка","Целая часть 1: точка лежит между 1 и 2"],"answer":[1]}},"hints":["Между 0 и 1 лежат дроби, у которых числитель меньше знаменателя.","Подходит $\\frac78$."],"step":1},{"content":"Единичный отрезок равен 12 клеткам. Через сколько клеток от нуля нужно отметить $\\frac{5}{6}$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Сколько клеток в одной шестой части отрезка? Разделите 12 на 6.","$12 : 6 = 2$ — одна шестая равна 2 клеткам. Пять шестых: $5 \\cdot 2 = 10$ клеток."],"step":1}],"mix":1}

Смешанное число — сначала целые шаги, потом доли

Смешанное число $2\frac35$ состоит из двух целых и еще трех пятых. На луче это читается как адрес: пройдите от нуля два целых единичных отрезка — вы на отметке 2. Следующий отрезок, от 2 до 3, разделите на 5 равных частей и отсчитайте три.

Точка 2 3/5 на луче: два шага по 1 и три шага по 1/5, это же 13/5 — 2 3/5: два целых отрезка от нуля и еще три пятых следующего — точка между 2 и 3

Пример

Задача. Между какими соседними целыми числами лежит дробь $\frac{13}{5}$? Как ее отметить?

Решение. Выделим целую часть: $13 : 5 = 2$ (ост. 3), значит $\frac{13}{5} = 2\frac35$. Это та же точка, что на рисунке: два целых отрезка и три пятых. Число больше 2, но меньше 3.

Проверка. Посчитаем пятые от нуля: в двух целых $2 \cdot 5 = 10$ пятых, еще 3 — всего 13 пятых.

Ответ: между 2 и 3; точка $2\frac35$.

Дробная часть смешанного числа всегда меньше единицы. Поэтому точка никогда не доходит до следующей целой отметки: смешанное число лежит между своей целой частью и следующим натуральным числом.

Правило

Смешанное число лежит на луче между двумя соседними целыми: слева — его целая часть, справа — следующее число.

$$n < n\frac{a}{b} < n+1$$

m5-smeshannye-na-luche-postav-na-luch

{"questions":[{"content":"Между какими соседними целыми лежит число $6\\frac{4}{9}$? Запишите меньшее из них. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Смешанное число стоит после своей целой части и до следующего целого. Какая отметка левая?","Целая часть равна 6: до точки шесть целых отрезков. Дробная часть меньше 1, значит число между 6 и 7; меньшее — 6."],"step":1},{"content":"Дробь $\\frac{23}{6}$ лежит на луче между числами [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["23 и 24","3 и 4","4 и 5","5 и 6"],"answer":1}},"hints":["Узнайте, сколько полных групп по 6 содержится в 23: это левая целая отметка.","$23 : 6 = 3$ (ост. 5), $\\frac{23}{6} = 3\\frac56$, число лежит между 3 и 4."],"step":1}],"mix":1}

Кто правее на луче, тот и больше

На числовом луче большее число лежит правее. Сравним $6\frac15$ и $5\frac34$. Число $6\frac15$ — правее отметки 6. Число $5\frac34$ — между 5 и 6, то есть левее отметки 6. Значит, $6\frac15 > 5\frac34$, хотя $\frac15$ намного меньше $\frac34$. Целая часть решила все: она говорит, в каком единичном отрезке стоит точка.

Ошибка

Как ошибаются. Смотрят только на дробные части: «$\frac15 < \frac34$, значит $6\frac15 < 5\frac34$».

Проверка на числах. Отметим оба числа на луче: $5\frac34$ не доходит до 6, а $6\frac15$ уже прошло 6. Число $6\frac15$ правее, значит, оно больше: $6\frac15 > 5\frac34$.

Где ломается рассуждение. Дробная часть — это только хвостик внутри одного единичного отрезка. Он меньше единицы и не может перекрыть разницу в целых: любое число строго между 5 и 6 меньше 6, а $6\frac15$ — правее 6.

Луч 4–7: точка 6 1/5 правее точки 5 3/4, хотя 1/5 меньше 3/4 — Дробь 1/5 меньше, но точка 6 1/5 правее: целая часть важнее дробной

Правило

Если у смешанных чисел разные целые части (дроби правильные), больше то число, у которого целая часть больше. Дробные части в этом случае не сравнивают.

$$m > n \;\Rightarrow\; m\frac{a}{b} > n\frac{c}{d}$$

{"questions":[{"content":"Иксератопс записал: $5\\frac{2}{7}<4\\frac{6}{7}$, потому что $\\frac27<\\frac67$. Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Дробь $\\frac27$ больше $\\frac67$","Нужно сравнить знаменатели","Ошибки нет","Не сравнены целые части 5 и 4"],"explanations":["Дроби сравнены верно, ошибка в том, что не учтены целые части","Знаменатели одинаковые, дело не в них: решает целая часть","Целая часть 5 больше 4: первое число лежит правее на луче",""],"answer":[3]}},"hints":["Отметьте на луче число 5. С какой стороны от него находится каждое из двух чисел?","Целые части 5 и 4 разные, значит решает целая часть. Точка $5\\frac{2}{7}$ правее отметки 5, а $4\\frac{6}{7}$ — левее. Верно: $5\\frac{2}{7}>4\\frac{6}{7}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Теперь вернемся к вопросу из начала: почему $2\frac34$ правее $2\frac23$ и на сколько? Целые части равны, обе точки в одном отрезке — от 2 до 3. Значит, все решают дробные части. Разберем по шагам.

Шаг 1. Общие доли. Разделим отрезок от 2 до 3 на 12 равных частей: 12 делится и на 3, и на 4.

Шаг 2. Приводим дроби. В каждой трети 4 двенадцатых: $\frac23 = \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{8}{12}$. В каждой четверти 3 двенадцатых: $\frac34 = \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{9}{12}$. Так мы приводим дроби к общему знаменателю.

Шаг 3. Сравниваем. Одинаковые доли — сравниваем их количество: $8 < 9$, поэтому точка $2\frac34$ правее. Разница — $\frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac1{12}$ единицы: на столько $2\frac34$ дальше от нуля.

Отрезок 2–3 в двенадцатых долях: 2 8/12 = 2 2/3 левее, 2 9/12 = 2 3/4 правее — Отрезок от 2 до 3 разбит на 12 частей: 8/12 < 9/12, поэтому 2 3/4 дальше от нуля

Правило

Если у смешанных чисел целые части равны, сравнивают дробные части: приводят их к общему знаменателю и сравнивают количество долей.

$$\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \;\Rightarrow\; m\frac{a}{b} > m\frac{c}{d}$$

Ошибка

Как ошибаются. Сравнивают знаменатели: «$3 < 4$, значит $\frac13 < \frac14$».

Проверка на числах. Возьмем 12 долей в единице. Треть — это 4 доли, четверть — 3 доли. Значит, $\frac13 = \frac4{12} > \frac3{12} = \frac14$.

Где ломается рассуждение. Знаменатель показывает, на сколько частей разрезали единицу: чем больше частей, тем они мельче. Поэтому дроби сравнивают, приведя к общему знаменателю, а не по знаменателям. Например, $\frac34 = \frac9{12} > \frac8{12} = \frac23$, хотя у $\frac34$ знаменатель больше: дело не в знаменателе, а в том, что 9 двенадцатых больше 8 двенадцатых.

Одинаковые числители: 1/3 длиннее 1/4 — Единица из 12 частей: 1/4 = 3/12, 1/3 = 4/12; числители одинаковые, но треть длиннее четверти

{"questions":[{"content":"Сравните: $3\\frac{3}{5}$ [[fill_choice-1]] $3\\frac{4}{7}$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["≤",">","<","="],"answer":1}},"hints":["Целые части равны: обе точки на отрезке от 3 до 4. Сравниваем дробные части.","$\\frac35 = \\frac{21}{35}$, $\\frac47 = \\frac{20}{35}$, значит $\\frac35 > \\frac47$."],"step":1},{"content":"Решавр записал: $\\frac{1}{5}<\\frac{1}{6}$, потому что 5 < 6. Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["При равных числителях меньший знаменатель дает меньшую дробь","Для сравнения этих дробей надо сравнить целые части","При равных числителях дроби всегда равны","При равных числителях меньший знаменатель дает большую дробь"],"explanations":["Единицу делят на 5 частей — доли крупнее, чем при делении на 6: $\\frac15=\\frac6{30}>\\frac5{30}=\\frac16$","Целых частей здесь нет: это правильные дроби","Доли разного размера, поэтому и дроби разные",""],"answer":[3]}},"hints":["Посмотрите, на сколько частей разрезана единица.","На единице из 30 долей пятая занимает 6 долей, шестая — 5 долей: $\\frac15>\\frac16$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Между двумя числами всегда найдется еще одно

Между 1 и 2 нет натуральных чисел, но точек на луче там сколько угодно. Разделите отрезок от 1 до 2 на 3 части — появятся $1\frac13$ и $1\frac23$. На 5 частей — $1\frac15$, $1\frac25$, $1\frac35$, $1\frac45$.

А что, если два числа стоят совсем близко, как $2\frac15$ и $2\frac25$, и между ними нет ни одного деления? Разрежьте каждую пятую пополам: $\frac15 = \frac{2}{10}$, $\frac25 = \frac{4}{10}$. Между ними появилось деление $\frac{3}{10}$, и число $2\frac{3}{10}$ лежит между $2\frac15$ и $2\frac25$. Резать доли можно снова и снова, поэтому между любыми двумя разными числами на луче найдется еще одно.

Пятые и десятые: между 2 1/5 и 2 2/5 лежит 2 3/10 — Пятые разрезаны пополам: 2 1/5 = 2 2/10, 2 2/5 = 2 4/10, между ними появилась точка 2 3/10

Правило

Чтобы найти число между двумя близкими отметками, приведите дробные части к общему знаменателю. Если между отметками нет деления, разделите каждую долю пополам: появится новое деление.

$$\frac15 = \frac{2}{10},\; \frac25 = \frac{4}{10} \;\Rightarrow\; \frac{2}{10} < \frac{3}{10} < \frac{4}{10}$$

Повышенная сложность: как найти число между дробями с разными знаменателями

Скрыть

Найдем число между $4\frac13$ и $4\frac12$. Общий знаменатель 6: $\frac13 = \frac26$, $\frac12 = \frac36$ — на сетке шестых между этими отметками нет другого штриха. Добавим более мелкие деления: разрежем каждую шестую пополам: $\frac26 = \frac4{12}$, $\frac36 = \frac6{12}$. Между ними $\frac5{12}$, поэтому подходит $4\frac5{12}$.

{"questions":[{"content":"Какое число лежит между $4\\frac{1}{3}$ и $4\\frac{2}{3}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5\\frac{1}{2}$","$4\\frac{1}{4}$","$4\\frac{1}{2}$","$4\\frac{3}{4}$"],"explanations":["Целая часть 5: точка правее 5, а оба числа меньше 5","$\\frac14$ меньше $\\frac13$: точка левее $4\\frac13$","","$\\frac34 = \\frac9{12}$ больше $\\frac23 = \\frac8{12}$: точка правее $4\\frac23$"],"answer":[2]}},"hints":["Целая часть у всех нужных чисел 4: сравниваем дробные части с $\\frac13$ и $\\frac23$.","$\\frac13 = \\frac26$, $\\frac12 = \\frac36$, $\\frac23 = \\frac46$: подходит $4\\frac12$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Расстояние между точками и числа между ними

Теперь найдем расстояние между двумя точками луча и сосчитаем натуральные числа между ними.

Луч 0–5: точки 1 1/5 и 4 3/5, расстояние 3 2/5, между ними числа 2, 3, 4 — Между 1 1/5 и 4 3/5 — три целых отрезка и еще две пятых: расстояние 3 2/5

Пример

Задача. На луче отмечены точки $1\frac15$ и $4\frac35$. Найдите расстояние между ними и скажите, сколько натуральных чисел лежит между ними.

Решение. Расстояние — это разность большего и меньшего числа: $4\frac35-1\frac15$. Целые: $4-1 = 3$. Дробные: $\frac35-\frac15 = \frac25$. Расстояние $3\frac25$.

Натуральные числа между точками: первое справа от $1\frac15$ — это 2, последнее слева от $4\frac35$ — это 4. Получаем 2, 3, 4 — три числа.

Проверка. По рисунку от $1\frac15$ до $4\frac15$ — ровно три единичных отрезка, и еще две пятых до $4\frac35$.

Ответ: расстояние $3\frac25$; между точками три натуральных числа.

Правило

Расстояние между двумя точками на луче равно разности чисел: из большего вычитают меньшее.

$$\text{расстояние} = \text{большее}-\text{меньшее}$$

{"questions":[{"content":"На луче отмечены точки $1\\frac{2}{7}$ и $5\\frac{6}{7}$. Чему равно расстояние между ними?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4\\frac{4}{7}$","$4$","$4\\frac{6}{7}$","$7\\frac{1}{7}$"],"explanations":["","Вычли только целые части и потеряли дробные","Вычли целые, а дробную часть взяли у большего числа без вычитания","Числа сложили, а расстояние — это разность"],"answer":[0]}},"hints":["Расстояние — разность: из большего вычитаем меньшее.","Целые: $5-1=4$; дробные: $\\frac67-\\frac27=\\frac47$. Ответ: $4\\frac47$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сколько натуральных чисел лежит на луче между $2\\frac{3}{8}$ и $6\\frac{1}{9}$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Первое целое справа от $2\\frac38$ — это 3.","Последнее целое слева от $6\\frac19$ — это 6 (оно меньше $6\\frac19$).","Числа 3, 4, 5, 6 — всего 4."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Числовой луч превращает дробь в место: чтобы сравнить числа, достаточно понять, какая точка правее. Смешанное число читается как адрес — сначала целые единичные отрезки, потом доли следующего отрезка. Поэтому при сравнении целая часть всегда главнее дробной. Так сравнивают метры с долями, часы с долями часа, так читают луч в заданиях ВПР: сначала целые, потом доли.

Случай	Что делаем на луче
Правильная дробь $\frac ab$	Делим единичный отрезок на $b$ частей, отсчитываем $a$ от нуля; точка между 0 и 1
Смешанное число $n\frac ab$	Проходим $n$ целых отрезков, в следующем отсчитываем $a$ частей из $b$
Неправильная дробь	Делим числитель на знаменатель. Если остаток нулевой, ставим точку на целой отметке; иначе отмечаем полученное смешанное число
Целые части разные	Правее то число, у которого целая часть больше; дробные не важны
Целые части равны	Обе точки в одном отрезке: сравниваем дробные части через общий знаменатель
Число между двумя числами	Делим отрезок на более мелкие доли, пока между точками не появится деление

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя сравнивать только дробные части?

Дробная часть показывает положение точки внутри одного единичного отрезка и всегда меньше 1. Если целые части разные, точки стоят в разных отрезках, и разница в целых больше любой дробной части. Например, $3\frac1{10} > 2\frac9{10}$.

Как отметить неправильную дробь, например 13/4?

Выделите целую часть: $13 : 4 = 3$ (ост. 1), значит $\frac{13}{4} = 3\frac14$. Пройдите три целых отрезка и отсчитайте одну четверть следующего. Можно и сразу: разделите каждую единицу на 4 части и отсчитайте от нуля 13 частей — точка будет та же.

Что делать, если единичный отрезок не делится на нужное число клеток?

Подберите длину единичного отрезка так, чтобы она делилась на знаменатель: для пятых — 5 или 10 клеток, для третей — 3, 6 или 12. Если на луче несколько дробей, длина должна делиться на каждый знаменатель. Если луч уже нарисован, единицу не меняют: делят на нужное число частей сами клетки, например клетку пополам.

Сколько чисел лежит между 2 и 3?

Натуральных — ни одного. А дробей бесконечно много: $2\frac12$, $2\frac13$, $2\frac{7}{10}$ и другие. Любой отрезок можно делить на все более мелкие доли.

Награды за урок