5 класс Математика Обыкновенные дроби Смешанные числа

Дробь от числа и число по его дроби

Содержание

В уроке «Доли. Обыкновенные дроби» вы узнали, что дробь показывает, на сколько равных частей разделили целое и сколько таких частей взяли. Теперь научимся решать с дробями задачи двух видов: находить часть числа по известному числу и находить число по известной части. Для обоих видов будем рисовать одну и ту же модель — полоску.

Вот задача, к которой мы вернемся в третьем разделе: «Прочитали $\frac{3}{5}$ книги — это 60 страниц. Сколько страниц в книге?» Попробуйте сразу прикинуть ответ: больше 60 или меньше?

Взять несколько равных частей целого

У Решавра лента длиной 32 м. Ему нужно отрезать $\frac{3}{4}$ ленты. Сколько это метров?

Нарисуем ленту полоской. Знаменатель 4 говорит: разрежьте полоску на 4 равные части. Каждая часть — это $32 : 4 = 8$ м. Числитель 3 говорит: возьмите 3 такие части. Получается $8 \cdot 3 = 24$ м.

Полоска 32 м разрезана на 4 равные части по 8 м, три части закрашены — 24 м: 3/4 от 32 = 24 — Полоска 32 м разрезана на 4 равные части по 8 м; взяли 3 части — это 24 м

Заметьте: целое (32 м) было известно с самого начала. Мы искали не целое, а его кусок. Такая задача называется задачей на нахождение дроби от числа.

Определение

Найти дробь от числа — значит разделить это число на столько равных частей, сколько показывает знаменатель, и взять столько частей, сколько показывает числитель. Число, от которого берут дробь, называют целым, а результат — частью целого.

Запись «$\frac{3}{4}$ от 32» читают как «три четверти от тридцати двух». Ответ: $\frac{3}{4}$ от 32 равны 24.

Почему части обязательно должны быть равными? Дробь $\frac{1}{4}$ означает одну из четырех равных долей. Если разрезать ленту на 4 куска разной длины, то три куска могут оказаться и 20 м, и 28 м, и ответ потеряет смысл. Только при равных частях каждая из них равна $32 : 4$, и три таких части дают ровно 24 м. Та же лента подскажет и другие доли: $\frac{1}{4}$ от 32 — это 8 м, $\frac{2}{4}$ — 16 м, а $\frac{4}{4}$ — вся лента, 32 м.

{"questions":[{"content":"Найдите $\\frac{2}{3}$ от числа 18. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Делим 18 на знаменатель 3: 18 : 3 = 6 — это одна треть.","Умножаем на числитель 2: 6 · 2 = 12."],"step":1}],"mix":1}

Сначала делим на знаменатель, потом умножаем на числитель

Посмотрим, какие действия мы сделали с полоской. Разрезать на 4 равные части — это деление на знаменатель. Взять 3 части — это умножение на числитель. Порядок действий тот же, что на рисунке: сначала узнаем, сколько в одной части, потом берем нужное число частей.

Правило

Чтобы найти дробь от числа, нужно разделить число на знаменатель дроби и результат умножить на числитель.

Здесь $a$ — числитель дроби, $b$ — знаменатель, $c$ — число, от которого берут дробь.

$$\frac{a}{b} \text{ от } c = c : b \cdot a$$

Пример

Задача. В саду 30 деревьев, $\frac{5}{6}$ из них — яблони. Сколько яблонь в саду?

Решение. Целое известно — 30 деревьев, ищем часть. Делим на знаменатель: $30 : 6 = 5$ — столько деревьев в одной шестой. Умножаем на числитель: $5 \cdot 5 = 25$.

Проверка смысла. Дробь $\frac{5}{6}$ меньше единицы, поэтому яблонь должно быть меньше 30. Так и есть: $25 < 30$.

Ответ: 25 яблонь.

5/6 от 30 по шагам: полоска 30 разрезана на 6 частей, одна часть 30 : 6 = 5; затем взяты 5 частей, 5 · 5 = 25 — Делим на знаменатель — получаем одну часть; умножаем на числитель — берем нужное число частей

Обратите внимание

Если дробь правильная (числитель меньше знаменателя), то дробь от числа меньше самого числа: мы берем не все части полоски. Это удобная проверка ответа. Если числитель больше знаменателя, например у $\frac{5}{4}$, берем больше одной полоски и получаем число больше исходного. Если числитель равен знаменателю, например у $\frac{4}{4}$, берем всю полоску и получаем само число. Оба случая — неправильные дроби, поэтому результат не меньше исходного числа.

{"questions":[{"content":"Чтобы найти дробь от числа, число делят на [[fill_choice-1]] и умножают на числитель.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["числитель","знаменатель","целое","дробь"],"answer":1}},"hints":["Какое число в записи дроби показывает количество равных долей?","Затем берут столько частей, сколько нужно по условию."],"step":1},{"content":"Как найти $\\frac{4}{9}$ от числа 27?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$27 : 4 \\cdot 9$","$27-4-9$","$27 : 9 \\cdot 4$","$27 \\cdot 4 \\cdot 9$"],"explanations":["Знаменатель и числитель поменяли местами","Дробь от числа — не вычитание","","Так получится число больше 27, а $\\frac49$ меньше единицы: ответ должен быть меньше 27"],"answer":[2]}},"hints":["Отметьте 27 над всей полоской. Что показывает знаменатель: число равных частей или число взятых частей?","Делим 27 на знаменатель: 27 : 9 = 3. Умножаем на числитель: 3 · 4 = 12."],"step":1},{"content":"Саша собрал 36 грибов, из них $\\frac{5}{9}$ — белые. Сколько белых грибов собрал Саша? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["36 : 9 = 4 — одна девятая.","4 · 5 = 20."],"step":1}],"mix":1}

Когда известна часть, а целое надо найти

Вернемся к книге: $\frac{3}{5}$ книги — это 60 страниц. Теперь все наоборот: целое неизвестно, а известна часть. Снова рисуем полоску и режем ее на 5 равных частей, но сколько страниц во всей полоске, мы не знаем.

Зато мы знаем, что 3 части вместе — это 60 страниц. Значит, одна часть — $60 : 3 = 20$ страниц. Во всей полоске 5 таких частей: $20 \cdot 5 = 100$ страниц.

Полоска из 5 частей, три части закрашены — 60 страниц, по 20 в каждой; вся книга, пять частей по 20, — 100 страниц: 60 : 3 · 5 = 100 — 3 части из 5 — это 60 страниц, одна часть — 20, вся полоска — 100 страниц

Ответ на вопрос из введения: в книге 100 страниц — больше, чем 60. Так и должно быть: 60 страниц — это лишь часть книги. Проверим подстановкой: $\frac{3}{5}$ от 100 — это $100 : 5 \cdot 3 = 60$. Сошлось.

Определение

Найти число по его дроби — значит найти целое, если известно, чему равна его часть, выраженная дробью.

Правило

Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить известную часть на числитель дроби и результат умножить на знаменатель.

Здесь $a$ — числитель дроби, $b$ — знаменатель, $c$ — известная часть, а искомое число — целое.

$$\frac{a}{b} \text{ числа равны } c \;\Rightarrow\; \text{число} = c : a \cdot b$$

Почему теперь делим на числитель? Потому что известная часть состоит из стольких кусков полоски, сколько показывает числитель. Делением мы находим один кусок, а умножением на знаменатель собираем всю полоску.

Перед вычислением полезна прикидка. Если дробь правильная, известная часть — это не вся полоска, поэтому целое должно получиться больше известного числа. Для книги: 60 страниц — это меньше всей книги, значит, ответ больше 60. Если вычисления дали число меньше 60, значит, где-то перепутаны действия, и решение стоит проверить подстановкой.

{"questions":[{"content":"$\\frac{3}{7}$ некоторого числа равны 15. Найдите это число. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["Делим 15 на числитель 3: 15 : 3 = 5 — это одна седьмая.","Умножаем на знаменатель 7: 5 · 7 = 35."],"step":1}],"mix":1}

Как не перепутать два вида задач

Оба правила используют одни и те же числа — числитель и знаменатель, — но в разном порядке. Поэтому главное — до вычислений понять, что известно: целое или часть.

Ошибка

Как ошибаются. В задаче про книгу ученик рассуждает: «Есть дробь $\frac{3}{5}$ и число 60 — найду $\frac{3}{5}$ от 60»: $60 : 5 \cdot 3 = 36$ страниц.

Проверка на числах. Ученик получил 36 страниц и считает это длиной всей книги. Но прочитано уже 60 страниц, а 60 больше 36: часть не может быть больше целого, значит, ответ неверный.

Где сломалось рассуждение. Число 60 приняли за целое, хотя в условии это часть книги. Правило «делим на знаменатель, умножаем на числитель» подходит, только когда известно целое.

В одном масштабе: верно — книга 100 страниц, из них прочитано 60; ошибка — книга 36 страниц по расчету 60 : 5 · 3, она короче прочитанной части: часть больше целого? — Если принять 60 за целое, «вся книга» выйдет короче прочитанной части — значит, 60 было частью

Чтобы не ошибиться, задайте себе вопрос: «Число из условия — это вся полоска или только ее закрашенные куски?» Слова «от числа», «из них» обычно указывают на целое, а слова «это», «равны» рядом с дробью — на часть. Но слова — лишь подсказка: надежнее нарисовать полоску и отметить на ней известное число.

m5-drob-ot-chisla-poloska

{"questions":[{"content":"В какой задаче нужно найти число по его дроби?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Лента длиной 12 м и лента длиной 3 м. Сколько всего?","Из ленты в 12 м отрезали 5 м. Сколько осталось?","В ленте 12 м. Сколько метров составляют $\\frac13$ ленты?","$\\frac13$ ленты — это 12 м. Какова длина ленты?"],"explanations":["Это сложение, а не задача на дробь","Дробей нет, это обычное вычитание","Здесь целое известно, нужно найти его часть — дробь от числа",""],"answer":[3]}},"hints":["Число по дроби ищем, когда известна часть, а целое неизвестно.","Посмотрите в каждой задаче: известна вся величина или только ее кусок?"],"step":1},{"content":"Решавр нашел $\\frac{7}{10}$ от 50 так: $50 : 7 \\cdot 10$. Как надо было считать?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$50 : 10 \\cdot 7$","$50 : 7 + 10$","$50 : 7 \\cdot 10$","$50 \\cdot 7 \\cdot 10$"],"explanations":["","Складывать с знаменателем не нужно","Так посчитал Решавр: он разделил на числитель, а надо на знаменатель 10","Так получится число, намного большее 50, а $\\frac{7}{10}$ меньше единицы: ответ должен быть меньше 50"],"answer":[0]}},"hints":["Число 50 обозначает всю полоску. На сколько равных частей ее надо разделить?","Потом возьмите нужное число частей: 50 : 10 · 7 = 35."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"$\\frac{2}{5}$ числа равны 18. Ученик посчитал $18 : 5 \\cdot 2$. Что он принял за целое?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Число 45","Число 2","Число 18","Число 5"],"explanations":["45 — как раз правильный ответ: 18 : 2 · 5","2 — числитель: он показывает, сколько частей взяли","","5 — знаменатель: он показывает число равных частей, а не целое"],"answer":[2]}},"hints":["Прочитайте условие: чем является 18 по отношению к искомому числу — всем числом или его частью?","Часть — это 2 куска из 5, значит, целое больше 18."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Сначала часть, потом то, что осталось

Часто в задаче спрашивают не про найденную часть, а про остаток. Тогда к правилу добавляется второе действие: из целого вычитают часть. На полоске остаток — это незакрашенные куски.

Пример

Задача. Длина маршрута 48 км. Велосипедист проехал $\frac{5}{8}$ маршрута. Сколько километров ему осталось проехать?

Решение. Целое известно — 48 км. Проехал: $48 : 8 \cdot 5 = 30$ км. Осталось: $48-30 = 18$ км.

Проверка. Незакрашенных частей на полоске $8-5 = 3$, каждая по $48 : 8 = 6$ км: $6 \cdot 3 = 18$ км. Сошлось.

Ответ: 18 км.

Полоска 48 км из 8 частей по 6 км: 5 частей закрашены — проехал 30 км, 3 части пустые — осталось 18 км — Проехал 5 частей из 8 — 30 км; осталось 3 части — 18 км

Пример

Задача. Из бака израсходовали $\frac{2}{7}$ бензина — это 12 л. Сколько литров бензина осталось в баке?

Решение. Известна часть — 12 л, а целое неизвестно. Сначала находим весь бензин по его дроби: $12 : 2 \cdot 7 = 42$ л. Потом остаток: $42-12 = 30$ л.

Проверка. $\frac{2}{7}$ от 42 — это $42 : 7 \cdot 2 = 12$ л, как в условии.

Ответ: 30 л.

Правило

Чтобы найти остаток, из целого вычитают израсходованную часть. Если целое неизвестно, сначала находят его по известной дроби, а потом вычитают.

В обеих задачах ответ — не первое найденное число. Перед записью ответа перечитайте вопрос: спрашивали про часть, про целое или про остаток?

Есть еще одна ловушка: дробь $\frac{1}{2}$ больше, чем $\frac{1}{4}$, но $\frac{1}{2}$ от 40 и $\frac{1}{4}$ от 100 — части разных целых. Поэтому сначала находят обе величины: $40 : 2 = 20$ и $100 : 4 = 25$, и только потом сравнивают: $25 > 20$.

Показать задачу повышенной сложности

Скрыть

Задача. Что больше: $\frac{2}{3}$ от 45 или $\frac{3}{4}$ от 36?

Решение. Дробь $\frac{3}{4}$ больше, чем $\frac{2}{3}$, но числа разные, поэтому сравнивать надо сами части. $\frac{2}{3}$ от 45: $45 : 3 \cdot 2 = 30$. $\frac{3}{4}$ от 36: $36 : 4 \cdot 3 = 27$. Так как $30 > 27$, больше $\frac{2}{3}$ от 45.

{"questions":[{"content":"В классе 28 учеников, $\\frac{3}{7}$ из них — мальчики. Сколько в классе девочек? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Мальчиков: 28 : 7 · 3 = 12.","Девочек: 28 − 12 = 16."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Туристы прошли $\\frac{3}{4}$ пути — это 21 км. Сколько километров им осталось пройти? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Весь путь: 21 : 3 · 4 = 28 км.","Осталось: 28 − 21 = 7 км."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи на дроби встречаются везде, где делят целое на равные части: страницы книги, путь, деньги, площадь огорода. Все такие задачи решаются одной моделью — полоской: знаменатель показывает, на сколько частей ее режем, числитель — сколько частей взяли.

Проверка одна для всех случаев: подставьте ответ в условие и посмотрите, получается ли известное число.

Вернемся к книге: прочитано $\frac{3}{5}$, то есть 60 страниц, значит, всего 100 страниц. Остаток — $100-60=40$ страниц.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли сначала умножить на числитель, а потом разделить на знаменатель?

Можно, ответ получится тот же: $32 \cdot 3 : 4 = 96 : 4 = 24$. Но промежуточное число больше, и считать труднее. Кроме того, порядок «сначала делим» повторяет рисунок: сначала одна часть, потом несколько.

Что делать, если число не делится на знаменатель нацело?

В задачах этого урока числа подобраны так, что делится нацело. Если число не делится на знаменатель, одна доля получится дробной, но итоговый ответ может быть и целым: $\frac{2}{4}$ от 10 — это 5. Проверьте условие: в задачах про предметы (деревья, учеников) дробного ответа обычно не бывает.

Как быстро понять, какое из двух правил нужно?

Отметьте известное число на полоске. Если оно — вся полоска, ищете дробь от числа. Если оно — только закрашенные куски, ищете число по его дроби.

Почему при правильной дроби целое получилось больше известного числа?

Потому что известное число — это лишь несколько частей из всех. Целое содержит все части, поэтому оно больше. Если в задаче на число по дроби ответ вышел меньше известной части, значит, действия перепутаны.

Награды за урок