Умножение десятичной дроби на натуральное число

На этом уроке мы разберём, как происходит умножение десятичных дробей на натуральное число. Как и при всех других действиях с десятичными дробями, при умножении важно учитывать разрядность. Количество цифр после запятой, например, может меняться, а запятая переноситься.

В старинной английской мере длины дюйм (тот самый дюйм, от которого произошло имя Дюймовочки) равен $2.54$ см.

А сколько будет сантиметров в 3 дюймах?

Узнать это можно разными способами. Например, сложением:

$$2.54 + 2.54 + 2.54 = 7.62$$

Но мы знаем, что сложение одинаковых множителей можно заменить умножением.

Умножение десятичных дробей на натуральное число. Правило

Для того чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно перемножить их как два натуральных числа, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби.
Затем нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, в полученном произведении отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую, отделяя целую часть от дробной.

Давайте попробуем.

Сначала умножаем $254$ на $3$, как два натуральных числа (рисунок 2, а).

Затем отделяем целую часть от дробной. В дроби $2.\textcolor{green}{54}$ у нас два знака после запятой, значит, и в произведении отделяем два знака (рисунок 2, б).

Как видите, результат совпадает, мы вычислили правильно. Давайте потренируемся ещё.

{"questions":[{"content":"Вычислите произведение чисел $43.2$ и $4$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"172.8"}},"step":1,"hints":["Умножаем $432$ на $4$, у нас получится $1728$.","Теперь смотрим на десятичную дробь. В дробной части у нас один знак. Следовательно, в полученном произведении отделяем также один знак."]}]}

Свойство умножения

Запомнить, как производится умножение десятичных дробей, очень легко. Но почему умножение происходит именно так?

Давайте разберёмся.

Известно, что при увеличении одного из множителей в несколько раз произведение увеличивается во столько же раз.

Например, у двух котов по четыре лапки, а всего получается восемь лапок. Если мы увеличим количество котов в два раза, то и лапок станет в два раза больше.  

Это свойство и позволяет нам умножать десятичные дроби как натуральные числа.

Теперь вернёмся к нашему примеру с дюймами. Если мы просто умножим $254$ на $3$, получится, что $3$ дюйма – это $762$ сантиметра. Это будет неверно.

Получается, мы умножили дробное число на $100$ для удобства, и теперь должны поделить произведение на $100$, чтобы ответ был верен. Ведь произведение $2.54$ и $3$ в сто раз меньше, чем произведение $254$ и $3$.

Мы помним, что при делении десятичной дроби на 10, 100 и т.д. запятая переносится на столько знаков влево, сколько в делителе нулей.

$$2.54 \cdot 3 = (254 \cdot 3) : 100 = 762 : 100 = 7.62$$

Также можно убедиться в правильности данного метода, переведя десятичные дроби в обыкновенные.

$$2.54 \cdot 3 = 2\frac{54}{100}\cdot 3 = \frac{254}{100}\cdot 3$$

$$\frac{254}{100}\cdot 3= \frac{254 \cdot 3}{100} = \frac{762}{100} = 7.62$$

{"questions":[{"content":"Определите, не вычисляя, сколько будет знаков после запятой в значении этого выражения: <br />$0.0065 \\cdot 185$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4$ знака","$3$ знака","$5$ знаков"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Для того чтобы понять, сколько знаков после запятой будет в произведении, нужно посмотреть на множитель $0.0065.$","В дроби $0.0065$ четыре знака после запятой. Следовательно, и в произведении также будет четыре знака."]}]}

Исчезновение нуля

Рассмотрим такой пример.

$$12.345 \cdot 2 = 24.69$$

Правильно ли вычислено значение выражения? И, если да, то почему же в дробной части полученного произведения только два знака?

Показать ответ

Скрыть

Таким образом, в произведении может быть и меньше нулей, чем в дробном множителе. Будьте внимательны!

{"questions":[{"content":"Вычислите произведение и соедините пары.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$22.42 \\cdot 5$","$28.05 \\cdot 4$"],"items":["$112.1$","$112.2$"]}},"step":1,"hints":["$22.42 \\cdot 5 = 112.10 = 112.1$","$28.05 \\cdot 4 = 112.20 = 112.2$"]}]}

В подобных вычислениях лучше сначала записывать произведение полностью, и только отделив целые части от дробных, отбрасывать ноль.

Также, умея умножать десятичные дроби на натуральное число, легко научиться умножать одну десятичную дробь на другую.

{"questions":[{"content":"$6$ яблок весят $1$ кг. Сколько будет яблок в $3.5$ кг? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"21"}},"step":1,"hints":["Умножим $3.5$ на $6$. Для этого сначала перемножим множители так, как если бы оба числа были натуральными.","$35 \\cdot 6 = 210$","Теперь в произведении отделим справа столько же цифр, сколько их после запятой в десятичной дроби. Получается $21.0$","Так как $0$ оказался после запятой, он может быть отброшен. Следовательно, правильный ответ $21$"]},{"content":"Найдите ошибочные выражения.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$0.007 \\cdot 80 = 0.056$","$43 \\cdot 0.5 = 21.5$","$300\\cdot 0.17 = 5.1$"],"answer":[0,2]}},"step":1,"hints":["Вычислим произведение $0.007 \\cdot 80$.<br />$7 \\cdot 80 = 560$<br />Отделяем запятой три цифры, получаем $0.56$","Вычислим произведение $43 \\cdot 0.5$. <br />$43 \\cdot 5 = 215$<br />Отделяем запятой одну цифру, получаем $21.5$","Вычислим произведение $300\\cdot 0.17$<br />$300\\cdot 17 = 5100$<br />Теперь отделим две цифры. У нас получится $51$."]},{"content":"Расположите в порядке убывания, не вычисляя выражения. [[sorter-33]]","widgets":{"sorter-33":{"type":"sorter","items":["$45.6 \\cdot 5$","$5 \\cdot 44.97$","$59 \\cdot 0.5$"]}},"step":1,"hints":["Сравним выражения $45.6 \\cdot 5$ и $5 \\cdot 44.97$. Один из множителей одинаков, следовательно, больше будет то произведение, в котором больше второй множитель.","Сравним выражения $5 \\cdot 44.97$ и $59 \\cdot 0.5$. Множители не совпадают, однако их легко сравнить между собой. 59 > 44.97, но 0.5 < 5 в десять раз. Следовательно, произведение $59 \\cdot 0.5$ будет не просто меньше $5 \\cdot 44.97$, а намного меньше. Также оно будет меньше, чем $45.6 \\cdot 5$"]}]}