Натуральный ряд: следующее и предыдущее число, нуль и бесконечность

Содержание

В уроке «Натуральные числа и действия с ними» вы узнали, какие числа называют натуральными. Сегодня представим натуральные числа как ленту с отметками и разберем, как найти следующее и предыдущее число, сколько чисел стоит между двумя данными, почему нуль не стоит в ряду и почему у ряда нет конца. В последнем разделе выясним, где появились древнейшие записи чисел.

Числа, которыми считают предметы

Начнем с вопроса. Назовите самое большое число, какое вы знаете. А теперь прибавьте к нему 1. Получилось еще большее число? Запомните этот вопрос: ответ на него будет в конце урока.

Когда мы считаем предметы — книги на полке, ступеньки лестницы, — мы называем числа по порядку: один, два, три, четыре. Каждый новый предмет получает следующее число, а последнее названное число показывает, сколько всего предметов.

Представим ленту, на которой через равные промежутки поставлены отметки. Первой отметке дадим число 1, второй — 2, третьей — 3 и так далее. Каждая отметка стоит на один шаг дальше предыдущей. Считая предметы, мы идем по этой ленте: один предмет — одна отметка.

Пять книг на полке и лента с отметками: каждой книге соответствует одна отметка 1, 2, 3, 4, 5, на пятой отметке подпись «всего 5 книг»; лента продолжается вправо отметками 6, 7 и дальше без конца — Каждый предмет получает свою отметку на ленте; число на последней отметке — сколько всего предметов

Определение

Натуральные числа — это числа, которые используют при счете предметов: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Все натуральные числа, записанные по порядку, образуют натуральный ряд.

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \dots$$

Многоточие в записи ряда означает «и так далее»: ряд продолжается. Слово «натуральный» происходит от латинского naturalis — «естественный»: такими числами люди пользуются с тех пор, как начали считать.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Лента с отметками показывает начало натурального ряда. Какое число стоит на первой отметке, где поставлен знак вопроса?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fcosyl6kieng.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["1","2","0","10"],"explanations":["","Число 2 уже подписано на следующей отметке","Нуль — не натуральное число: при счете предметов с него не начинают","Десять — это не начало ряда: до него стоят еще девять чисел"],"answer":[0]}},"hints":["Натуральные числа нужны для счета предметов: считать начинают с «один».","Дальше по ленте идут 2, 3, 4, 5, значит, на первой отметке стоит 1."],"step":1},{"content":"Для чего служат натуральные числа?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Для счета предметов: 1, 2, 3, …","Для чисел, записанных одной цифрой","Для всех чисел, в том числе 0 и 2,5","Для измерения длины, начиная с 0"],"explanations":["","Натуральные числа бывают любой длины: 15, 1 000, 1 000 000","Нуль и дробные числа при счете предметов не используют","Длину на линейке отсчитывают от 0, а натуральными числами считают предметы — с 1"],"answer":[0]}},"hints":["Предметы считают: один, два, три и так далее.","Числа, которые используют при счете предметов, называют натуральными."],"step":1}],"mix":1}

Шаг по ленте — это плюс один

Возьмем на ленте отметку 7. Шаг вправо приводит к отметке 8, шаг влево — к отметке 6. Шаг вправо прибавляет 1, шаг влево вычитает 1. У каждого натурального числа есть следующее. Предыдущее натуральное число есть у всех, кроме 1.

Правило

Число, которое стоит в натуральном ряду сразу за данным, называют следующим: оно на 1 больше. Для натурального числа, большего 1, число, которое стоит в ряду сразу перед ним, называют предыдущим: оно на 1 меньше. У числа 1 предыдущего натурального числа нет.

$$7+1=8 \qquad 7-1=6$$

Труднее всего сделать шаг там, где число оканчивается девятками или нулями. Посмотрите на отрезок ленты возле числа 5 000. Шаг от 4 998 к 4 999 меняет только последнюю цифру, а шаг от 4 999 к 5 000 меняет сразу четыре цифры.

Почему так? Прибавляя 1 к цифре 9, получаем 10: в этом разряде пишем 0, а единицу переносим в соседний разряд слева. Если там тоже 9, снова пишем 0 и переносим единицу дальше.

Лента с отметками 4 997, 4 998, 4 999, 5 000, 5 001: над каждым промежутком дуга «плюс один»; на шаге от 4 999 к 5 000 меняются сразу четыре цифры — Каждый шаг — плюс один; на шаге от 4 999 к 5 000 все девятки превращаются в нули, а цифра тысяч растет на 1

Пример

Задача. Найдите число, следующее за 4 999, и число, предыдущее числу 30 000.

Решение. Следующее число на 1 больше: $4\,999+1$. В единицах $9+1=10$ — пишем 0, переносим 1 в десятки. В десятках снова 9 и перенос — пишем 0, то же в сотнях. В тысячах $4+1=5$. Получаем $5\,000$.

Предыдущее число на 1 меньше: $30\,000-1$. При вычитании 1 из $30\,000$ четыре конечных нуля заменяются девятками, а стоящая перед ними цифра 3 уменьшается до 2. Единицу занимаем у цифры 3 — она становится 2. Каждый нулевой разряд получает 10 и отдает 1 соседу справа, остается 9; в разряде единиц из 10 вычитаем 1 — тоже 9. Получаем $29\,999$. Проверка шагом вправо: $29\,999+1=30\,000$.

Ответ: 5 000 и 29 999.

Обратите внимание

Многозначные числа записывают группами по три цифры справа налево, с пробелом между группами: 4 999, 30 000, 1 000 000. Правая группа — единицы, следующая — тысячи. Если в группе не хватает цифр, пустые места заполняют нулями: «сорок тысяч шестьсот три» записывают как 40 603 — в тысячах 40, в единицах 603. Подробнее о группах-классах — в уроке «Десятичная система счисления. Классы и разряды».

{"questions":[{"content":"Запишите цифрами число, которое следует за числом 99 999. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["100000","100 000"]}},"hints":["Следующее число на 1 больше данного.","$99\\,999 + 1 = 100\\,000$."],"step":1},{"content":"Запишите цифрами число, которое стоит в натуральном ряду перед числом 1 000 000. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["999999","999 999"]}},"hints":["Предыдущее число на 1 меньше.","$1\\,000\\,000-1 = 999\\,999$."],"step":1},{"content":"Сопоставьте число и следующее за ним. Одно следующее число лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["999","4 569","19 999","78"],"items":["1 000","4 570","20 000","79","9 910"]}},"instruction":"Сопоставьте числа","hints":["Следующее число на 1 больше.","999 + 1 = 1 000; 4 569 + 1 = 4 570; 19 999 + 1 = 20 000; 78 + 1 = 79. Лишнее число 9 910 — неверный перенос: к последней 9 приписали 10."],"step":1}],"mix":1}

Сколько чисел стоит между двумя отметками

Отметки на ленте помогают считать, не выписывая все числа. Возьмем отметки 18 и 25. Чтобы дойти от 18 до 25, нужно сделать $25-18=7$ шагов. А сколько чисел стоит между ними?

Выпишем: 19, 20, 21, 22, 23, 24 — шесть чисел. Чисел между отметками на одно меньше, чем шагов: последний, седьмой шаг приводит уже на саму отметку 25. Если же считать и сами числа 18 и 25, получится $6+2=8$ чисел — на одно больше, чем шагов.

Лента с отметками от 18 до 25: между 18 и 25 семь шагов (25 − 18 = 7), шесть чисел между ними (от 19 до 24) и восемь чисел вместе с концами — От 18 до 25 — 7 шагов; между ними 6 чисел, а вместе с концами — 8

Правило

Число шагов от меньшего числа ряда до большего равно их разности. Чисел строго между ними на 1 меньше, а от одного до другого включительно — на 1 больше.

$$25-18=7 \qquad 7-1=6 \qquad 7+1=8$$

Пример

Задача. Ученик прочитал книгу с 36-й по 52-ю страницу включительно. Сколько страниц он прочитал?

Решение. От страницы 36 до страницы 52 — $52-36=16$ шагов. Страницы 36 и 52 обе прочитаны, поэтому страниц на одну больше, чем шагов: $16+1=17$.

Проверка на маленьких числах: с 36-й по 38-ю — это страницы 36, 37, 38, то есть 3 страницы, а $38-36+1=3$. Правило работает.

Ответ: 17 страниц.

Лента помогает и сравнивать числа: чем дальше отметка от начала, тем больше число. Из двух натуральных чисел больше то, которое стоит в ряду правее. Число, в записи которого больше цифр, всегда стоит дальше: чтобы дойти до 1 000, нужно пройти все трехзначные числа, поэтому $1\,000 > 999$. Подробнее о знаках сравнения — в уроке «Сравнение натуральных чисел».

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Сколько натуральных чисел стоит в ряду между числами 47 и 53? Сами числа 47 и 53 не считайте. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qdoxbtfbdzay.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Выпишите числа между 47 и 53: 48, 49, 50, 51, 52.","Их пять. Разность $53-47 = 6$ равна числу шагов, а чисел между ними на одно меньше."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В зале заняты места с 14-го по 31-е включительно. Сколько мест занято? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Шагов от 14 до 31: $31-14 = 17$.","Оба крайних места заняты: $17 + 1 = 18$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте числа в том порядке, в каком они стоят в натуральном ряду, начиная с ближайшего к единице.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["9 989","9 999","10 001","10 010"]}},"instruction":"Расставьте числа по порядку","hints":["Чем правее отметка на ленте, тем больше число: расставьте числа от меньшего к большему.","Четырехзначные числа стоят раньше пятизначных: сначала 9 989, затем 9 999. Из пятизначных раньше 10 001, затем 10 010."],"step":1}],"mix":1}

Почему нуль не стоит на ленте

Сколько яблок в пустой корзине? Ни одного: ответ — 0. Нуль показывает, что предметов нет. Но считать предметы начинают со слова «один», а не «нуль»: первый предмет получает число 1. Поэтому лента натуральных чисел начинается с отметки 1, а нуль остается перед ней.

Правило

Число 0 не натуральное. Натуральный ряд начинается с числа 1, поэтому у числа 1 нет предыдущего натурального числа.

$$0 \text{ — не натуральное}, \qquad 1 \text{ — первое натуральное}$$

Ошибка

Иксератопс рассуждает: «На линейке перед 1 стоит 0, значит, 0 — первое натуральное число».

Проверим по определению. Мы договорились называть натуральными числа ряда 1, 2, 3, …: первый предмет получает номер 1. Нуль обозначает отсутствие предметов и в этот ряд не входит.

Где сломалось рассуждение: натуральный ряд спутали с линейкой. На линейке нулевая отметка задает начало измерения длины. Лента натуральных чисел считает предметы, и ее отметки начинаются с 1.

При этом нуль очень нужен. Он обозначает «ничего» и помогает записывать числа: в числе 305 нуль показывает, что десятков нет, а в числе 40 603 — что нет единиц тысяч и нет десятков.

Интересный факт: откуда пришел нуль

Скрыть

Правила действий с нулем как с числом впервые описали индийские математики. В книге Брахмагупты, написанной в 628 году, уже есть правила: если к числу прибавить нуль, число не изменится. От индийского знака произошел и наш знак 0. Через арабских ученых нуль попал в Европу.

{"questions":[{"content":"Иксератопс говорит: «0 — натуральное число: в пустой корзине 0 яблок, значит, нулем тоже считают». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нуль натуральный: он обозначает количество","Нуль не натуральное число: счет начинают с 1","Нуль — первое натуральное число, он стоит перед 1 на линейке","Натуральный ряд начинается с 0, а 1 — второе число"],"explanations":["Нуль показывает, что предметов нет, а натуральными называют числа для счета предметов","","Нуль перед 1 на линейке есть, но ряд натуральных чисел начинается с 1","Первый предмет при счете получает число 1, а не 0"],"answer":[1]}},"hints":["Натуральные числа — это числа для счета предметов: 1, 2, 3, …","Нуль показывает, что предметов нет, поэтому им не считают. Значит, 0 не натуральное число."],"step":1},{"content":"Какое число стоит в натуральном ряду перед числом 1?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Такого натурального числа нет","1","0","2"],"explanations":["","Число не может стоять перед самим собой","Нуль стоит перед 1 на линейке, но в натуральный ряд не входит","Число 2 стоит после 1, а не перед ним: перепутали «перед» и «за»"],"answer":[0]}},"hints":["Натуральный ряд начинается с числа 1.","Значит, перед единицей в ряду числа нет: нуль не натуральный."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Почему у ленты нет конца

Вернемся к вопросу из начала урока. Какое бы число вы ни назвали, к нему можно прибавить 1 — сделать еще один шаг по ленте. Получится новое натуральное число, и оно больше названного. Например, за числом 1 000 000 000 (миллиард) идет 1 000 000 001, за ним 1 000 000 002, и так без конца.

Правило

У каждого натурального числа есть следующее — на 1 больше. Поэтому наибольшего натурального числа нет, а натуральных чисел бесконечно много.

$$1\,000\,000\,000+1=1\,000\,000\,001$$

Почему это верно для любого числа, а не только для миллиарда? Прибавить 1 можно к любому числу — правило переноса из второго раздела работает для чисел любой длины. Значит, нельзя назвать число, после которого шагать некуда. Слова «бесконечно много» означают именно это: сколько бы чисел мы ни выписали, всегда найдется следующее.

Ошибка

Иксератопс уверен: «Самое большое число — гугол, единица со ста нулями».

Проверим шагом +1. Прибавим к гуголу единицу: получится число, в котором после единицы стоят 99 нулей и снова единица. Это тоже натуральное число, и оно больше гугола.

Где сломалось рассуждение: у большого числа есть свое название, но название не делает число последним. Гугол — одна из отметок ленты, за ней идут следующие.

{"questions":[{"content":"Иксератопс назвал наибольшее натуральное число: 500 000 000. Как показать, что он не прав?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Вычесть 1: получится наибольшее число","Он прав: больше 500 миллионов чисел нет","Назвать триллион: это самое большое число","Прибавить 1: получится большее натуральное число"],"explanations":["При вычитании число уменьшается, это не доказывает ничего про большие числа","500 миллионов не последнее: за ним идет 500 000 001","К триллиону тоже можно прибавить 1: наибольшего числа не бывает",""],"answer":[3]}},"hints":["Следующее число всегда на 1 больше данного.","$500\\,000\\,000 + 1 = 500\\,000\\,001$ — тоже натуральное число и оно больше названного."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите утверждения о натуральном ряде на верные и неверные.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["За каждым натуральным числом есть следующее","У числа 1 нет предыдущего в натуральном ряду","Натуральных чисел бесконечно много"],["Наибольшее натуральное число — 999 999 999 999","Натуральный ряд начинается с нуля","У натурального ряда есть последнее число"]]}},"instruction":"Распределите утверждения","hints":["Проверяйте каждое утверждение по ленте: она начинается с 1, а к любому числу можно прибавить 1.","Верны утверждения: за каждым натуральным числом есть следующее; у 1 нет предыдущего натурального числа; натуральных чисел бесконечно много. Неверны утверждения о наибольшем числе, начале ряда с нуля и последнем числе. К 999 999 999 999 можно прибавить 1 и получить 1 000 000 000 000; ряд начинается с 1 и не имеет последнего числа."],"step":1}],"mix":1}

Где записали первые числа

Считать люди умели задолго до цифр: на пальцах, камешками, зарубками на палках. Древнейшие известные записи чисел сделаны около 5 000 лет назад в Междуречье — на землях, где позже возник Вавилон, — и в Древнем Египте.

В Вавилоне писали заостренной палочкой на сырой глине: вертикальный клин означал 1, уголок — 10. Число 23 записывали двумя уголками и тремя клиньями. Египтяне рисовали иероглифы: черта — 1, дуга — 10, моток веревки — 100, цветок лотоса — 1 000. Число 1 324 — это один лотос, три мотка, две дуги и четыре черты.

Ошибка

Иксератопс говорит: «Числа придумали древние греки».

Проверим по датам. Греческие ученые Пифагор и Евклид жили около 2 600 и 2 300 лет назад. Первые записи чисел в Междуречье и Египте старше примерно на 2 500 лет, а египетские и вавилонские задачники — на тысячу с лишним лет.

Где сломалось рассуждение: знаменитых греческих математиков приняли за первых. Греки сделали другое важное дело: стали доказывать математические утверждения, а не только вычислять.

Когда (примерно)	Где	Что появилось
5 000 лет назад	Междуречье, Египет	Древнейшие записи чисел
3 800–3 600 лет назад	Вавилон, Египет	Глиняные таблички и папирусы с задачами
2 600–2 300 лет назад	Греция	Пифагор, Евклид: доказательства
1 400 лет назад	Индия	Нуль как число

Интересный факт: самые большие числа Древнего Египта

Скрыть

На каменной булаве египетского царя Нармера, сделанной около 5 100 лет назад, иероглифами записана военная добыча: 120 000 пленных, 400 000 быков и 1 422 000 коз. Значит, египтяне умели записывать и миллионы: для миллиона был знак — человек с поднятыми руками. А вавилоняне считали шестидесятками; от них идет обычай делить час на 60 минут.

{"questions":[{"content":"Иксератопс говорит: «Числа придумали древние греки». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["До изобретения цифр люди не умели считать","Числа первыми записали индийские математики 1 400 лет назад","Считать, что греки правы: до них чисел не было","Записи чисел в Египте и Междуречье старше греческих ученых примерно на 2 500 лет"],"explanations":["Считать люди умели и до цифр: на пальцах, камнями, зарубками","Индийцы описали нуль как число; записи чисел намного старше","Греческие ученые жили позже: числа записывали уже в Вавилоне и Египте",""],"answer":[3]}},"hints":["Записи чисел сохранились на глиняных табличках Междуречья и в египетских иероглифах.","Им около 5 000 лет — это намного раньше древнегреческих математиков."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Натуральные числа нужны везде, где считают и нумеруют: страницы, места в зале, номера домов. Чтобы вспомнить главное, представьте ленту с отметками.

Вопрос	Ответ по ленте
Какое число натуральное?	То, у которого есть отметка на ленте: 1, 2, 3, …
Какое число следующее?	Шаг вправо: на 1 больше
Какое число предыдущее?	Шаг влево: на 1 меньше; у 1 предыдущего нет
Сколько чисел между двумя?	Разность минус 1; включительно — разность плюс 1
Где нуль?	Перед лентой: 0 не натуральное
Есть ли наибольшее число?	Нет: у ленты нет конца, всегда можно шагнуть на +1

Часто задаваемые вопросы

Почему в некоторых книгах нуль называют натуральным?

Это договоренность. В ряде стран и в части книг по высшей математике нуль включают в натуральные числа. В российской школьной программе натуральный ряд начинается с 1, и в задачах нужно следовать этому.

Бесконечность — это самое большое число?

Нет. Бесконечность — не отметка на ленте и не число натурального ряда. Слова «натуральных чисел бесконечно много» означают, что ряд не кончается: за любым числом есть следующее.

Сколько натуральных чисел меньше 100?

Это числа от 1 до 99 включительно. Шагов от 1 до 99 — $99-1=98$, чисел на одно больше: $98+1=99$.

Дробные числа, например 2,5, — натуральные?

Нет. Число 2,5 не получается при счете целых предметов: на ленте оно лежало бы между отметками 2 и 3, а не на отметке. С такими числами вы познакомитесь позже.

Награды за урок