Задание 15. Многоугольники и их элементы

{"questions":[{"content":"В треугольнике два угла равны $38^\\circ$ и $89^\\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-1]][[image-169]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$53^\\circ$","$57^\\circ$","$63^\\circ$","$48^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-169":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_1_zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$.","Известно, что два угла треугольника равны $38^\\circ$ и $89^\\circ$, а в сумме все три угла дают $180^\\circ$. Значит, третий угол равен разности: $180^\\circ — 38^\\circ — 89^\\circ$.","Выполняем вычитание: $180^\\circ — 38^\\circ — 89^\\circ = 142^\\circ — 89^\\circ = 53^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике два угла равны $54^\\circ$ и $58^\\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-2]][[image-170]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$68^\\circ$","$72^\\circ$","$64^\\circ$","$78^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-170":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_2_zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$.","Известно, что два угла треугольника равны $54^\\circ$ и $58^\\circ$, а в сумме все три угла дают $180^\\circ$. Значит, третий угол равен разности: $180^\\circ — 54^\\circ — 58^\\circ$.","Выполняем вычитание: $180^\\circ — 54^\\circ — 58^\\circ = 126^\\circ — 58^\\circ = 68^\\circ$."]},{"content":"Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $34^\\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-3]][[image-171]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$56^\\circ$","$46^\\circ$","$66^\\circ$","$36^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-171":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_3_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$.","Известно, что один из острых углов равен $34^\\circ$, а в сумме два острых угла дают $90^\\circ$. Значит, второй острый угол равен разности: $90^\\circ — 34^\\circ$.","Выполняем вычитание: $90^\\circ — 34^\\circ = 56^\\circ$."]},{"content":"Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $23^\\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-4]][[image-172]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$67^\\circ$","$57^\\circ$","$77^\\circ$","$47^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-172":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_4_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$.","Известно, что один из острых углов равен $23^\\circ$, а в сумме два острых угла дают $90^\\circ$. Значит, второй острый угол равен разности: $90^\\circ — 23^\\circ$.","Выполняем вычитание: $90^\\circ — 23^\\circ = 67^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\\angle ABC = 106^\\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-5]][[image-173]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$37^\\circ$","$47^\\circ$","$27^\\circ$","$57^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-173":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_5_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$: $\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ$.","Так как $AB = BC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\\angle C = \\angle A$. Тогда: $\\angle B + 2\\angle C = 180^\\circ$.","Выразим угол $C$ и подставим значение $\\angle B = 106^\\circ$: $\\angle C = \\frac{180^\\circ — \\angle B}{2} = \\frac{180^\\circ — 106^\\circ}{2}$.","Выполняем вычисления: $\\frac{180^\\circ — 106^\\circ}{2} = \\frac{74^\\circ}{2} = 37^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\\angle ABC = 146^\\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-6]][[image-174]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$17^\\circ$","$27^\\circ$","$37^\\circ$","$47^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-174":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_6_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$: $\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ$.","Так как $AB = BC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\\angle C = \\angle A$. Тогда: $\\angle B + 2\\angle C = 180^\\circ$.","Выразим угол $C$ и подставим значение $\\angle B = 146^\\circ$: $\\angle C = \\frac{180^\\circ — \\angle B}{2} = \\frac{180^\\circ — 146^\\circ}{2}$.","Выполняем вычисления: $\\frac{180^\\circ — 146^\\circ}{2} = \\frac{34^\\circ}{2} = 17^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $106^\\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-7]][[image-175]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$74^\\circ$","$84^\\circ$","$64^\\circ$","$94^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-175":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_7_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Внутренний угол $C$ треугольника равен $106^\\circ$.","Внешний угол при вершине $C$ является смежным с внутренним углом $C$. Сумма смежных углов равна $180^\\circ$.","Находим внешний угол: $180^\\circ — 106^\\circ = 74^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $97^\\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-8]][[image-176]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$83^\\circ$","$73^\\circ$","$93^\\circ$","$63^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-176":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_8_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Внутренний угол $C$ треугольника равен $97^\\circ$.","Внешний угол при вершине $C$ является смежным с внутренним углом $C$. Сумма смежных углов равна $180^\\circ$.","Находим внешний угол: $180^\\circ — 97^\\circ = 83^\\circ$."]},{"content":"В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ внешний угол при вершине $C$ равен $123^\\circ$. Найдите величину угла $ABC$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-9]][[image-177]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$66^\\circ$","$76^\\circ$","$56^\\circ$","$86^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-177":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_9_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Внешний угол при вершине $C$ является смежным с внутренним углом $BCA$. Сумма смежных углов равна $180^\\circ$. Находим угол $BCA$: $\\angle BCA = 180^\\circ — 123^\\circ = 57^\\circ$.","Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то углы при основании равны: $\\angle BAC = \\angle BCA = 57^\\circ$.","Сумма углов треугольника равна $180^\\circ$: $\\angle ABC + \\angle BAC + \\angle BCA = 180^\\circ$.","Подставляем известные значения и находим угол $ABC$: $\\angle ABC = 180^\\circ — 57^\\circ — 57^\\circ = 180^\\circ — 114^\\circ = 66^\\circ$."]},{"content":"В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\\angle BAC = 82^\\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-10]][[image-178]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$8^\\circ$","$18^\\circ$","$28^\\circ$","$38^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-178":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_10_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим треугольник $ABH$. В нем $BH \\perp AC$, так как $BH$ — высота, проведенная к стороне $AC$. Значит, угол $AHB$ равен $90^\\circ$, то есть треугольник $ABH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $H$.","В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $BAC$ (он же угол $BAH$) является одним из острых углов и равен $82^\\circ$.","Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$. Следовательно, второй острый угол $ABH$ равен: $\\angle ABH = 90^\\circ — \\angle BAH = 90^\\circ — 82^\\circ$.","Выполняем вычитание: $90^\\circ — 82^\\circ = 8^\\circ$."]}]}

{"questions":[{"content":"В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\\angle BAC = 37^\\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-11]][[image-179]]","widgets":{"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$53^\\circ$","$47^\\circ$","$63^\\circ$","$43^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-179":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_11_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим треугольник $ABH$. В нем $BH \\perp AC$, так как $BH$ — высота, проведенная к стороне $AC$. Значит, угол $AHB$ равен $90^\\circ$, то есть треугольник $ABH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $H$.","В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $BAC$ (он же угол $BAH$) является одним из острых углов и равен $37^\\circ$.","Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$. Следовательно, второй острый угол $ABH$ равен: $\\angle ABH = 90^\\circ — \\angle BAH = 90^\\circ — 37^\\circ$.","Выполняем вычитание: $90^\\circ — 37^\\circ = 53^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $\\angle BAC = 48^\\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-12]][[image-180]]","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$24^\\circ$","$16^\\circ$","$32^\\circ$","$48^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-180":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_12_zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Биссектриса угла делит угол пополам.","Отрезок $AD$ — биссектриса угла $BAC$ треугольника $ABC$. Значит, угол $BAD$ равен половине угла $BAC$: $\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\angle BAC$.","Подставляем значение $\\angle BAC = 48^\\circ$: $\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\cdot 48^\\circ = 24^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $\\angle BAC = 46^\\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-13]][[image-181]]","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$23^\\circ$","$15^\\circ$","$31^\\circ$","$46^\\circ$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-181":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_13_zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Биссектриса угла делит угол пополам.","Отрезок $AD$ — биссектриса угла $BAC$ треугольника $ABC$. Значит, угол $BAD$ равен половине угла $BAC$: $\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\angle BAC$.","Подставляем значение $\\angle BAC = 46^\\circ$: $\\angle BAD = \\frac{1}{2} \\cdot 46^\\circ = 23^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 14$, $BM$ — медиана, $BM = 10$. Найдите $AM$.[[fill_choice_big-14]][[image-182]]","widgets":{"fill_choice_big-14":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$10$","$14$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-182":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_14_zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Медиана, проведенная к стороне, делит эту сторону пополам.","Медиана $BM$ проведена к стороне $AC$, то есть делит ее пополам. Значит, отрезок $AM$ равен половине $AC$: $AM = \\frac{1}{2} AC$.","Подставляем значение $AC = 14$: $AM = \\frac{14}{2} = 7$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 38$, $BM$ — медиана, $BM = 17$. Найдите $AM$.[[fill_choice_big-15]][[image-183]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$19$","$38$","$17$","$76$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-183":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_15_zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Медиана, проведенная к стороне, делит эту сторону пополам.","Медиана $BM$ проведена к стороне $AC$, то есть делит ее пополам. Значит, отрезок $AM$ равен половине $AC$: $AM = \\frac{1}{2} AC$.","Подставляем значение $AC = 38$: $AM = \\frac{38}{2} = 19$."]},{"content":"Катеты прямоугольного треугольника равны $12$ и $5$. Найдите гипотенузу этого треугольника.[[fill_choice_big-16]][[image-184]]","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$13$","$17$","$11$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-184":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_16_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$, где $a = 5$, $b = 12$ — катеты, $c$ — гипотенуза.","Подставляем значения катетов: $c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144$.","Вычисляем сумму: $25 + 144 = 169$.","Находим гипотенузу: $c = \\sqrt{169} = 13$."]},{"content":"Катеты прямоугольного треугольника равны $16$ и $30$. Найдите гипотенузу этого треугольника.[[fill_choice_big-17]][[image-185]]","widgets":{"fill_choice_big-17":{"type":"fill_choice_big","options":["$34$","$36$","$32$","$38$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-185":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_17_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$, где $a = 16$, $b = 30$ — катеты, $c$ — гипотенуза.","Подставляем значения катетов: $c^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900$.","Вычисляем сумму: $256 + 900 = 1 156$.","Находим гипотенузу: $c = \\sqrt{1 156} = 34$."]},{"content":"В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны $16$ и $34$ соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.[[fill_choice_big-18]][[image-186]]","widgets":{"fill_choice_big-18":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$28$","$32$","$26$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-186":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_18_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$, где $a = 16$ — известный катет, $b$ — искомый катет, $c = 34$ — гипотенуза.","Выражаем квадрат неизвестного катета: $b^2 = c^2 — a^2$.","Подставляем числовые значения: $b^2 = 34^2 — 16^2 = 1 156 — 256$.","Вычисляем разность: $1 156 — 256 = 900$.","Находим катет: $b = \\sqrt{900} = 30$."]},{"content":"В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны $9$ и $41$ соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.[[fill_choice_big-19]][[image-187]]","widgets":{"fill_choice_big-19":{"type":"fill_choice_big","options":["$40$","$42$","$38$","$44$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-187":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_19_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$, где $a = 9$ — известный катет, $b$ — искомый катет, $c = 41$ — гипотенуза.","Выражаем квадрат неизвестного катета: $b^2 = c^2 — a^2$.","Подставляем числовые значения: $b^2 = 41^2 — 9^2 = 1 681 — 81$.","Вычисляем разность: $1 681 — 81 = 1 600$.","Находим катет: $b = \\sqrt{1 600} = 40$."]},{"content":"Сторона равностороннего треугольника равна $16\\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника.[[fill_choice_big-20]][[image-188]]","widgets":{"fill_choice_big-20":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$32$","$16$","$48$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-188":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_20_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 16\\sqrt{3}$ и медианой $BM$, проведенной к стороне $AC$.","В равностороннем треугольнике медиана также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ совпадает с высотой, опущенной на сторону $AC$.","Воспользуемся формулой для высоты (медианы) равностороннего треугольника: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.","Подставляем значение стороны $a = 16\\sqrt{3}$: $BM = \\frac{16\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{16 \\cdot 3}{2}$.","Выполняем вычисления: $\\frac{16 \\cdot 3}{2} = 8 \\cdot 3 = 24$."]}]}

{"questions":[{"content":"Сторона равностороннего треугольника равна $14\\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника.[[fill_choice_big-21]][[image-189]]","widgets":{"fill_choice_big-21":{"type":"fill_choice_big","options":["$21$","$28$","$14$","$42$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-189":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_21_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 14\\sqrt{3}$ и медианой $BM$, проведенной к стороне $AC$.","В равностороннем треугольнике медиана также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ совпадает с высотой, опущенной на сторону $AC$.","Воспользуемся формулой для высоты (медианы) равностороннего треугольника: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.","Подставляем значение стороны $a = 14\\sqrt{3}$: $BM = \\frac{14\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{14 \\cdot 3}{2}$.","Выполняем вычисления: $\\frac{14 \\cdot 3}{2} = 7 \\cdot 3 = 21$."]},{"content":"Сторона равностороннего треугольника равна $10\\sqrt{3}$. Найдите высоту этого треугольника.[[fill_choice_big-22]][[image-190]]","widgets":{"fill_choice_big-22":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$20$","$10$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-190":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_23_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 10\\sqrt{3}$ и высотой $BM$, опущенной на сторону $AC$.","В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой.","Воспользуемся формулой для высоты равностороннего треугольника: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.","Подставляем значение стороны $a = 10\\sqrt{3}$: $BM = \\frac{10\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{10 \\cdot 3}{2}$.","Выполняем вычисления: $\\frac{10 \\cdot 3}{2} = 5 \\cdot 3 = 15$."]},{"content":"Сторона равностороннего треугольника равна $14\\sqrt{3}$. Найдите высоту этого треугольника.[[fill_choice_big-23]][[image-191]]","widgets":{"fill_choice_big-23":{"type":"fill_choice_big","options":["$21$","$28$","$14$","$42$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-191":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_22_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 14\\sqrt{3}$ и высотой $BM$, опущенной на сторону $AC$.","В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой.","Воспользуемся формулой для высоты равностороннего треугольника: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.","Подставляем значение стороны $a = 14\\sqrt{3}$: $BM = \\frac{14\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{14 \\cdot 3}{2}$.","Выполняем вычисления: $\\frac{14 \\cdot 3}{2} = 7 \\cdot 3 = 21$."]},{"content":"Сторона равностороннего треугольника равна $16\\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.[[fill_choice_big-24]][[image-192]]","widgets":{"fill_choice_big-24":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$32$","$16$","$48$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-192":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_24_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 16\\sqrt{3}$ и биссектрисой $BM$, проведенной к стороне $AC$.","В равностороннем треугольнике биссектриса также является медианой и высотой.","Воспользуемся формулой для высоты (биссектрисы, медианы) равностороннего треугольника: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.","Подставляем значение стороны $a = 16\\sqrt{3}$: $BM = \\frac{16\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{16 \\cdot 3}{2}$.","Выполняем вычисления: $\\frac{16 \\cdot 3}{2} = 8 \\cdot 3 = 24$."]},{"content":"Медиана равностороннего треугольника равна $9\\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.[[fill_choice_big-25]][[image-193]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$24$","$12$","$36$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-193":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_25_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и медианой $BM$, проведенной к стороне $AC$.","В равностороннем треугольнике медиана также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ совпадает с высотой, опущенной на сторону $AC$: $BM = h = 9\\sqrt{3}$.","Воспользуемся формулой для высоты (медианы) равностороннего треугольника: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.","Выражаем сторону $a$ из этой формулы: $a = \\frac{2h}{\\sqrt{3}}$.","Подставляем значение медианы $h = 9\\sqrt{3}$: $a = \\frac{2 \\cdot 9\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$.","Сокращаем $\\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе: $a = 2 \\cdot 9 = 18$."]},{"content":"Медиана равностороннего треугольника равна $12\\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.[[fill_choice_big-26]][[image-194]]","widgets":{"fill_choice_big-26":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$18$","$36$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-194":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_26_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и медианой $BM$, проведенной к стороне $AC$.","В равностороннем треугольнике медиана также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ совпадает с высотой, опущенной на сторону $AC$: $BM = h = 12\\sqrt{3}$.","Воспользуемся формулой для высоты (медианы) равностороннего треугольника: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.","Выражаем сторону $a$ из этой формулы: $a = \\frac{2h}{\\sqrt{3}}$.","Подставляем значение медианы $h = 12\\sqrt{3}$: $a = \\frac{2 \\cdot 12\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$.","Сокращаем $\\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе: $a = 2 \\cdot 12 = 24$."]},{"content":"Медиана равностороннего треугольника равна $11\\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.[[fill_choice_big-27]][[image-195]]","widgets":{"fill_choice_big-27":{"type":"fill_choice_big","options":["$22$","$33$","$11$","$44$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-195":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_27_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и медианой $BM$, проведенной к стороне $AC$.","В равностороннем треугольнике медиана также является биссектрисой и высотой. Следовательно, медиана $BM$ совпадает с высотой, опущенной на сторону $AC$: $BM = h = 11\\sqrt{3}$.","Воспользуемся формулой для высоты (медианы) равностороннего треугольника: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.","Выражаем сторону $a$ из этой формулы: $a = \\frac{2h}{\\sqrt{3}}$.","Подставляем значение медианы $h = 11\\sqrt{3}$: $a = \\frac{2 \\cdot 11\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$.","Сокращаем $\\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе: $a = 2 \\cdot 11 = 22$."]},{"content":"Высота равностороннего треугольника равна $12\\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.[[fill_choice_big-28]][[image-196]]","widgets":{"fill_choice_big-28":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$18$","$36$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-196":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_28_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и высотой $BM$, опущенной на сторону $AC$.","Воспользуемся формулой для высоты равностороннего треугольника: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.","Выражаем сторону $a$ из этой формулы: $a = \\frac{2h}{\\sqrt{3}}$.","Подставляем значение высоты $h = 12\\sqrt{3}$: $a = \\frac{2 \\cdot 12\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$.","Сокращаем $\\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе: $a = 2 \\cdot 12 = 24$."]},{"content":"Высота равностороннего треугольника равна $13\\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.[[fill_choice_big-29]][[image-197]]","widgets":{"fill_choice_big-29":{"type":"fill_choice_big","options":["$26$","$39$","$13$","$52$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-197":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_29_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и высотой $BM$, опущенной на сторону $AC$.","Воспользуемся формулой для высоты равностороннего треугольника: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.","Выражаем сторону $a$ из этой формулы: $a = \\frac{2h}{\\sqrt{3}}$.","Подставляем значение высоты $h = 13\\sqrt{3}$: $a = \\frac{2 \\cdot 13\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$.","Сокращаем $\\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе: $a = 2 \\cdot 13 = 26$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AC = 16$, $AB = 40$. Найдите $\\sin \\angle B$.[[fill_choice_big-30]][[image-198]]","widgets":{"fill_choice_big-30":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.6$","$0.5$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-198":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_30_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. Сторона $AB$ является гипотенузой.","В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы.","Для угла $B$ противолежащим катетом является сторона $AC$.","Вычисляем синус угла $B$: $\\sin \\angle B = \\frac{AC}{AB} = \\frac{16}{40}$.","Сокращаем дробь: $\\frac{16}{40} = \\frac{2}{5} = 0.4$."]}]}

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AC = 6$, $AB = 10$. Найдите $\\sin \\angle B$.[[fill_choice_big-31]][[image-199]]","widgets":{"fill_choice_big-31":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.4$","$0.8$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-199":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_31_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. Сторона $AB$ является гипотенузой.","В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы.","Для угла $B$ противолежащим катетом является сторона $AC$.","Вычисляем синус угла $B$: $\\sin \\angle B = \\frac{AC}{AB} = \\frac{6}{10}$.","Сокращаем дробь: $\\frac{6}{10} = 0.6$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AC = 6$, $AB = 20$. Найдите $\\sin \\angle B$.[[fill_choice_big-32]][[image-200]]","widgets":{"fill_choice_big-32":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.3$","$0.6$","$0.5$","$0.4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-200":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_32_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. Сторона $AB$ является гипотенузой.","В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы.","Для угла $B$ противолежащим катетом является сторона $AC$.","Вычисляем синус угла $B$: $\\sin \\angle B = \\frac{AC}{AB} = \\frac{6}{20}$.","Сокращаем дробь: $\\frac{6}{20} = \\frac{3}{10} = 0.3$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $BC = 8$, $AB = 10$. Найдите $\\cos \\angle B$.[[fill_choice_big-33]][[image-201]]","widgets":{"fill_choice_big-33":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.8$","$0.6$","$0.5$","$0.9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-201":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_33_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. Сторона $AB$ является гипотенузой.","В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы.","Для угла $B$ прилежащим катетом является сторона $BC$.","Вычисляем косинус угла $B$: $\\cos \\angle B = \\frac{BC}{AB} = \\frac{8}{10}$.","Сокращаем дробь: $\\frac{8}{10} = 0.8$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $BC = 16$, $AB = 25$. Найдите $\\cos \\angle B$.[[fill_choice_big-34]][[image-202]]","widgets":{"fill_choice_big-34":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.64$","$0.6$","$0.7$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-202":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_34_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. Сторона $AB$ является гипотенузой.","В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы.","Для угла $B$ прилежащим катетом является сторона $BC$.","Вычисляем косинус угла $B$: $\\cos \\angle B = \\frac{BC}{AB} = \\frac{16}{25}$.","Представляем дробь в виде десятичной: $\\frac{16}{25} = 0.64$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $BC = 26$, $AB = 40$. Найдите $\\cos \\angle B$.[[fill_choice_big-35]][[image-203]]","widgets":{"fill_choice_big-35":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.65$","$0.6$","$0.7$","$0.75$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-203":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/15_35_resh.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. Сторона $AB$ является гипотенузой.","В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы.","Для угла $B$ прилежащим катетом является сторона $BC$.","Вычисляем косинус угла $B$: $\\cos \\angle B = \\frac{BC}{AB} = \\frac{26}{40}$.","Сокращаем дробь и представляем в виде десятичной: $\\frac{26}{40} = \\frac{13}{20} = 0.65$."]}]}