Синус, косинус и тангенс по длинам сторон

Тренажер учит находить значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника по длинам его сторон. Он предназначен ученикам 8 класса, которые изучают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, и подходит для повторения в 9 классе. Для занятий нужно знать определения синуса, косинуса и тангенса и теорему Пифагора.

Как находить значения

Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношению прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — отношению противолежащего катета к прилежащему. Например, в треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, где $BC=3$, $AC=4$ и $AB=5$:

$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5},\quad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5},\quad \operatorname{tg} A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$$

Если одна сторона не дана, ее находят по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Неизвестную гипотенузу находят так: $AB^2=5^2+12^2=169$, $AB=13$. Неизвестный катет — так: $AC^2=13^2-5^2=144$, $AC=12$.

Как устроены задания

В каждом задании дан прямоугольный треугольник с длинами сторон: прямой угол отмечен квадратиком, а острый угол, о котором идет речь, — дугой. Длины сторон взяты из пифагоровых троек: $3$, $4$, $5$; $5$, $12$, $13$; $8$, $15$, $17$; $7$, $24$, $25$ и кратных им, например $6$, $8$, $10$. Треугольник каждый раз повернут по-новому, вершины обозначены разными буквами, а прямой угол может оказаться при любой вершине.

• Даны все три стороны. Нужно выбрать значение синуса, косинуса или тангенса из четырех вариантов. Неверные варианты построены на типичных ошибках: перевернутая дробь, косинус вместо синуса, тангенс вместо синуса.
• Одна сторона не дана. Сначала нужно найти ее по теореме Пифагора, а затем выбрать значение отношения. Среди вариантов есть и типичная ошибка в теореме: сумма катетов вместо гипотенузы или разность сторон вместо катета.

Варианты записаны как отношения длин сторон, например $\frac{6}{10}$. После ответа тренажер показывает, какой катет противолежащий, какой прилежащий и какая сторона является гипотенузой, и записывает верное отношение вместе с сокращенной дробью: $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Если сторону нужно было найти, показывается и вычисление по теореме Пифагора. При неверном ответе появляется короткое правило.

Задания постепенно усложняются: сначала встречаются синус и косинус и небольшие длины сторон, затем добавляются тангенс и треугольники с большими сторонами, а потом одну из сторон нужно найти самостоятельно. Время от времени возвращаются и более простые задания.

Чему вы научитесь

Тренажер учит быстро сопоставлять стороны треугольника с отмеченным углом, вычислять синус, косинус и тангенс по длинам сторон, не путать отношение с обратной дробью и находить недостающую сторону по теореме Пифагора. Эти умения нужны при решении прямоугольных треугольников и в заданиях ОГЭ по геометрии.