Понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла

Тренажер помогает разобраться, что такое синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, и научиться составлять эти отношения по чертежу. Он предназначен ученикам 8 класса, которые изучают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, и подходит для повторения в 9 классе. Для занятий нужно уметь находить гипотенузу, противолежащий и прилежащий катеты: это отрабатывается в тренажере «Противолежащий и прилежащий катеты».

Определения

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла. Две другие стороны — катеты. Для каждого острого угла один катет противолежащий: он лежит напротив этого угла. Другой катет прилежащий: он является стороной угла. Например, в треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ для угла $A$ катет $BC$ противолежащий, катет $AC$ прилежащий, а $AB$ — гипотенуза.

• Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin A=\frac{BC}{AB}$.
• Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos A=\frac{AC}{AB}$.
• Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname{tg} A=\frac{BC}{AC}$.

Для другого острого угла катеты меняются ролями: катет $BC$, противолежащий углу $A$, прилежит к углу $B$. Поэтому $\sin B=\frac{AC}{AB}=\cos A$, $\cos B=\frac{BC}{AB}=\sin A$, а $\operatorname{tg} B=\frac{AC}{BC}$ — дробь, обратная $\operatorname{tg} A$.

Как устроены задания

В каждом задании дан прямоугольный треугольник: прямой угол отмечен квадратиком, а острый угол, о котором идет речь, — дугой. Треугольник каждый раз повернут по-новому, вершины обозначены разными буквами ($ABC$, $MNK$, $PQR$ и другими), а прямой угол может оказаться при любой вершине. Поэтому стороны приходится определять по отмеченному углу, а не по привычному положению на рисунке.

Во всех заданиях нужно составить синус, косинус или тангенс отмеченного угла из сторон треугольника: нажать на сторону для числителя, затем на сторону для знаменателя.

Задания постепенно усложняются: сначала встречаются только синус и косинус, потом добавляется тангенс, а затем — отношения для другого острого угла, когда отношение для первого угла уже известно. Например, дано $\sin A=\frac{BC}{AB}$, а составить нужно $\sin B$ или $\cos B$. Время от времени возвращаются и более простые задания.

После каждого ответа тренажер показывает, какой катет противолежащий, какой прилежащий и какая сторона является гипотенузой, и записывает верное отношение. Если ответ неверный, появляется короткое правило, например «Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе».

Чему вы научитесь

Тренажер учит составлять синус, косинус и тангенс острого угла и понимать, почему синус одного острого угла равен косинусу другого. Эти умения нужны, чтобы находить значения синуса, косинуса и тангенса по длинам сторон, решать прямоугольные треугольники и выполнять задания ОГЭ по геометрии.