ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Теорема Пифагора
Мы уже неплохо освоились с прямоугольными треугольниками: научились находить их площади, разобрались с видами углов и их свойствами.
Настало время познакомиться с одной из главных идей геометрии, которая объединяет все эти знания, — теоремой Пифагора, важнейшей теоремой геометрии.
Значение теоремы Пифагора
Теорема Пифагора считается ключевой теоремой в геометрии. Без нее невозможно изучать расстояния, решать задачи и строить сложные фигуры. Благодаря теореме Пифагора стены наших домов стоят прямо, крыши держатся прочно, а мосты и арки сохраняют устойчивость даже при большой нагрузке.
Архитекторы и инженеры всего мира используют ее, когда рассчитывают диагонали, углы и размеры конструкций.
Есть множество теорем про величины углов — от смежных и вертикальных, до вычисления углов $n$-угольника. Но про вычисление длин сторон фигуры нет практически никаких данных. И теорема Пифагора является уникальной в своем роде.
Ее формула встречается почти во всех разделах математики: от алгебры до тригонометрии. Именно поэтому теорему Пифагора называют важнейшей теоремой курса геометрии.
Теорема Пифагора
Итак, приведем формулировку данной теоремы.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$c^2 = a^2 + b^2$.
Существует более трехсот доказательств теоремы Пифагора. Мы рассмотрим изящное и оригинальное доказательство Джеймса Гарфилда — $20$-го президента США, которое он, к удивлению достопочтенной публики, представил в $1882$ году.
Его доказательство основывается на вычислении площади трапеции, что поможет нам закрепить пройденный материал.
Доказательство
Скрыть
Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого, и соединим вершины других острых углов.
У нас получилась трапеция с параллельными основаниями $a$ и $b$, а ее высота — $(a + b)$.
Чтобы найти площадь трапеции, нужно полусумму оснований умножить на высоту, следовательно:
$$S_{тр.} = \dfrac{a + b}{2} \cdot (a + b) = \dfrac{(a + b)^2}{2}.$$
По свойству площадей — площадь фигуры состоит из суммы площадей фигур, ее составляющих. Значит,
$$S_{тр.} = \dfrac{1}{2}ab + \dfrac{1}{2}ab + \dfrac{c^2}{2}.$$
Приравняем две площади одной трапеции:
$\dfrac{(a + b)^2}{2} = \dfrac{1}{2}ab + \dfrac{1}{2}ab + \dfrac{c^2}{2}$.
У каждой дроби одинаковый знаменатель, поэтому его можно откинуть. Получим:
$$(a + b)^2 = ab + ab + c^2.$$
Раскроем скобки по формуле сокращенного умножения и уберем противоположные слагаемые:
$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2,$$
$$a^2 + b^2 = c^2.$$
Что и требовалось доказать.
Задача
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с вершиной $B$ и основанием $AC = 6 \ \text{см}$, проведена высота $BH = 8 \ \text{см}$.
Найдите его боковую сторону.
Решение
Скрыть
Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный,
$BH \perp AC$,
$AC = 6 \ \text{см}$,
$BH = 8 \ \text{см}$.
Найти: $AB$.
$\triangle ABH$ — прямоугольный, так как $BH$ — высота, по условию.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является медианой, значит, $AH = HC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \ \text{см}$.
По теореме Пифагора:
$AB^2 = BH^2 + AH^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73$,
$AB = \sqrt{73} \ \text{см}$.
Ответ: $AB = \sqrt{73} \ \text{см}$.
Из теоремы Пифагора следует логичная формула для нахождения неизвестного катета:
$$b = \sqrt{c^2 -a^2}.$$
Египетский треугольник
В геометрии существует особый прямоугольный треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$. Его называют египетским треугольником. Он удобен тем, что соотношение сторон можно сразу применять для вычислений.
Если увеличить все стороны в одно и то же число раз, получится новый прямоугольный треугольник:
- удвоим стороны — получим треугольник $6$, $8$, $10$;
- утроим — $9$, $12$, $15$;
- увеличим в четыре раза — получим $12$, $16$, $20$ и так далее.
То есть, если внимательно присмотреться к цифрам, можно сразу, избежав вычислений по теореме Пифагора, дать ответ, сославшись на египетский треугольник.
Задача
В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $c$, равной $35 \ \text{см}$, один из катетов равен $28 \ \text{см}$.
Найдите второй катет.
Рассмотрим два варианта решения данной задачи. По теореме Пифагора и при помощи египетского треугольника.
Решение
Скрыть
Дано: прямоугольный треугольник, катет $a = 28$, гипотенуза $c = 35$.
Найти: катет $b$.
Способ № 1.
По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$ $\Rightarrow$ $b^2 = c^2 -a^2$. Подставим числа:
$b^2 = 35^2 -28^2 = 1225 -784 = 441$,
$b = \sqrt{441} = 21 \ \text{см}$.
Ответ: $b = 21 \ \text{см}$.
Способ № 2.
Опираясь на египетский треугольник, заметим, что катет, длиной $28$, и гипотенуза, длиной $35$, в $7$ раз больше исходных $4$ и $5$. Значит, другой катет будет в $7$ раз больше исходного $3$, то есть равен $21$.
Ответ: $b = 21 \ \text{см}$.
Как видно, решение вторым способом сводится к единственному простому вычислению: $3 \cdot 7 = 21$.
Поэтому очень удобно помнить о египетском треугольнике, особенно, если задача громоздкая и приходится пользоваться несколькими теоремами для ее решения сразу.
На самом деле таких троек чисел, подобных египетскому треугольнику, много. Например: $5–12–13$, $7–24–25$ и другие.
Их также можно увеличивать в одинаковое количество раз, но их численные значения не очень удобны, поэтому они не так распространены в использовании как египетская тройка.
Диагональ квадрата
Рассмотрим еще одно полезное применение теоремы Пифагора. Вычислим постоянную диагонали квадрата.
Диагональ квадрата равна $a \sqrt{2}$.
Доказательство
Скрыть
Пусть дан квадрат со стороной $a$ и диагональю $d$.
По теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = d^2$ $\Rightarrow$ $d^2 = 2a^2$ $\Rightarrow$ $d = \sqrt{2a^2}$ $\Rightarrow$ $d = a \sqrt{2}$.
Что и требовалось доказать.
Это очень удобное и полезное знание, так как диагональ квадрата разбивает его на два равнобедренных прямоугольных треугольника, гипотенуза которых будет равна катету, умноженному на $ \sqrt{2}$.
И наоборот, если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна, к примеру, $13 \sqrt{2}$, то можно смело утверждать, что катеты будут равны $13$.
Задача
В равнобокой трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC$ равно боковой стороне и равно $7 \sqrt{2}$, а один из углов трапеции равен $45^ \circ$.
Найдите ее площадь.
Решение
Скрыть
Дано: равнобокая трапеция $ABCD$,
$BC = AB = 7\sqrt{2} \ \text{см}$,
$\angle A = 45^\circ$.
Найти: $S_{ABCD}$.
Проведем высоты $BH$ и $CK$.
Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABH$. У него $\angle A = 45^\circ$ $\Rightarrow$ $\triangle ABH$ — равнобедренный $\Rightarrow$ $AH = BH = 7$ (так как $AB = 7 \sqrt{2}$ — диагональ квадрата)
$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$ равнобокой трапеции $AH = KD$ и $BC = HK$ $\Rightarrow$ $AD = 7 + 7 + 7 \sqrt{2} = 14 + 7 \sqrt{2}$.
Площадь трапеции $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$. Подставим значения и вычислим:
$S = \dfrac{14 + 7 \sqrt{2} + 7 \sqrt{2}}{2} \cdot 7 = \dfrac{14 + 14 \sqrt{2}}{2} \cdot 7 = (7 + 7 \sqrt{2}) \cdot 7 = 49 + 49 \sqrt{2} \ \text{см}^2$.
Ответ: $S_{ABCD} = 49 + 49 \sqrt{2} \ \text{см}^2$.
Обратите внимание, что получилось довольно объемное решение задачи. А если бы мы не воспользовались знанием о диагонали квадрата, то оно было бы еще длиннее, потому что высоту пришлось бы вычислять при помощи теоремы Пифагора, составив квадратное уравнение.
Это интересно
История теоремы Пифагора начинается задолго до самого Пифагора. Еще за тысячи лет до него вавилоняне, индийцы и китайцы пользовались соотношениями между сторонами прямоугольного треугольника.
На глиняных табличках в Вавилоне можно встретить так называемые пифагоровы тройки чисел — например, $3$, $4$ и $5$.
В Китае сохранились тексты, где с помощью диаграмм показывали равенство квадратов на сторонах прямоугольного треугольника.
Однако именно имя Пифагора закрепилось за этой теоремой.
Пифагор жил около 570 г. до н. э. Он основал братство в Южной Италии — что-то вроде школы‑тайного общества.
Пифагор и его ученики видели в числах особый смысл и думали, что с помощью чисел можно объяснить все в мире.
И именно Пифагору приписывают первое строгое доказательство теоремы. С тех пор она и носит его имя.
Пифагор был личностью яркой и запоминающейся. Современники отмечали его красивую внешность: он носил длинную бороду, а его голову украшал золотой обруч.
Интересно, что Пифагор — это не имя, а прозвище. В переводе с греческого оно означает «убеждающий речью», ведь философ говорил настолько ясно и убедительно, что его сравнивали с оракулом.
С теоремой Пифагора связана и драматическая история. В школе Пифагора верили, что все величины можно выразить дробями.
Но оказалось, что гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна $\sqrt{2}$ — числу, которое нельзя записать в виде дроби.
По легенде, открывший это ученый Гиппас погиб, так как в школе не приняли такое открытие. С тех пор прошло много веков, и за это время математики придумали более трехсот доказательств теоремы Пифагора — от наглядных геометрических до алгебраических.
Даже Леонардо да Винчи предложил свое геометрическое доказательство, основанное на перекладывании фигур.
А будущий физик Альберт Эйнштейн в юности так увлекся этой теоремой, что самостоятельно придумал для нее доказательство.
Таким образом, теорема Пифагора прошла долгий путь через века и культуры. Она стала не только важной частью школьной геометрии, но и одним из самых узнаваемых утверждений математики во всем Мире.
Часто задаваемые вопросы
Нет, она работает только в прямоугольных треугольниках.
Тогда можно найти второй катет по формуле $b = \sqrt{c^2 -a^2}$.
Это прямоугольный треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$, а также все треугольники, полученные умножением этих чисел на одно и то же число.
Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a \sqrt{2}$.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти