Карточки
Тесты
Зави
Параллелограмм: свойства и признаки
Параллелограмм: свойства и признаки
В уроке «Четырехугольник: виды и сумма углов» вы видели, что каркас из четырех палочек на шарнирах складывается, а диагональ делает его жестким. Теперь разберем параллелограмм: докажем его свойства, выведем три признака и научимся отличать признак от похожего ложного утверждения.
Параллелограмм — каркас из двух пар параллельных палочек
У настольной лампы на рычагах плафон закреплен на конце подвижной стрелы. Стрелу поднимают и опускают, а плафон не наклоняется. Почему — ответим в конце урока.
Соберем каркас $ABCD$ из четырех палочек: $AB$ и $CD$ по 6 см, $BC$ и $AD$ по 4 см. Поставим его так, чтобы $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, и начнем складывать: угол $A$ становится $75^\circ$, $55^\circ$, $35^\circ$. Палочки мы взяли попарно равными — и при каждом наклоне противоположные палочки остаются параллельными. Это наблюдение о признаке. Противоположные углы при этом равны: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
Определение
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.
Рисунок ставит два вопроса. Первый — о свойстве: что следует из того, что фигура параллелограмм? Если обе пары сторон параллельны, обязаны ли стороны быть равными? И обратный: почему каркас из попарно равных палочек при любом наклоне сохраняет параллельность? Это вопрос о признаке — как узнать параллелограмм. Измерения не ответят: чертежей бесконечно много. Нужны доказательства.
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника
Проведем в параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$. Обведем треугольник $ABC$ на кальке и повернем кальку на пол-оборота вокруг середины $AC$. Точки $A$ и $C$ поменяются местами, а копия треугольника $ABC$ ляжет точно на треугольник $CDA$. Равенство треугольников доказывают их признаки.
Теорема (свойство сторон и углов)
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
$$AB = CD,\quad BC = AD,\quad \angle A = \angle C,\quad \angle B = \angle D$$
Доказательство
Дано: $ABCD$ — параллелограмм. Доказать: $AB = CD$, $BC = AD$, $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
1. Проведем диагональ $AC$.
2. $AB \parallel CD$, $AC$ — секущая, поэтому $\angle BAC = \angle DCA$ как накрест лежащие. Так же $BC \parallel AD$ дает $\angle BCA = \angle DAC$ (урок «Аксиома параллельности и свойства параллельных прямых»).
3. Сторона $AC$ общая, углы при ней равны, поэтому $\triangle ABC = \triangle CDA$ по стороне и двум прилежащим углам (урок «Второй и третий признаки равенства треугольников»).
4. В равных треугольниках соответственные элементы равны: $AB = CD$, $BC = DA$, $\angle B = \angle D$.
5. $\angle A = \angle BAC + \angle CAD = \angle DCA + \angle BCA = \angle C$. Что и требовалось доказать.
Еще одно следствие параллельности: углы $A$ и $B$ — односторонние при параллельных прямых $AD$, $BC$ и секущей $AB$, поэтому $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Так для любых двух соседних углов параллелограмма. Сумма всех углов $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$ — как у любого четырехугольника.
Пример 1
В параллелограмме $ABCD$ сумма углов $A$ и $C$ равна $140^\circ$, $AB = 9$, $BC = 5$. Найдите все углы и периметр.
Решение. Противоположные углы равны: $\angle A = \angle C = 140^\circ : 2 = 70^\circ$. Соседний угол $\angle B = 180^\circ-70^\circ = 110^\circ$, и $\angle D = \angle B = 110^\circ$. Проверка: $70^\circ + 110^\circ + 70^\circ + 110^\circ = 360^\circ$. Противоположные стороны равны: $CD = 9$, $AD = 5$, периметр $P = 2 \cdot (9 + 5) = 28$.
Ответ: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$; $P = 28$.
Диагонали делят друг друга пополам
Пол-оборота вокруг середины диагонали $AC$ переводит треугольник $ABC$ в $CDA$, значит, вершину $B$ — в вершину $D$. При пол-обороте вокруг точки каждая точка уходит по прямой через центр на другую сторону, на то же расстояние от центра. Значит, середина $AC$ лежит на диагонали $BD$ и делит ее пополам.
Теорема (свойство диагоналей)
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
$$AO = OC,\quad BO = OD$$
Доказательство
Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$.
1. $AB = CD$ — по свойству сторон параллелограмма.
2. $\angle BAO = \angle DCO$ — накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $AC$; $\angle ABO = \angle CDO$ — накрест лежащие при той же паре прямых и секущей $BD$.
3. $\triangle AOB = \triangle COD$ по стороне и двум прилежащим углам, поэтому $AO = OC$ и $BO = OD$. Что и требовалось доказать.
Пример 2
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 14$, $BD = 20$, $BC = 12$. Найдите периметр треугольника $BOC$.
Решение. Точка $O$ делит диагонали пополам: $OC = 14 : 2 = 7$, $BO = 20 : 2 = 10$. $P = BO + OC + BC = 10 + 7 + 12 = 29$. Заметим: $BO$ — медиана треугольника $ABC$, ведь $O$ — середина $AC$.
Ответ: 29.
Три признака: как узнать параллелограмм
Часто нужно обратное свойству: по сторонам или диагоналям узнать, что перед нами параллелограмм. Такое утверждение называют признаком. Менять местами условие и вывод можно не всегда — каждый признак надо доказывать.
| Что дано | Что получаем | |
|---|---|---|
| Свойство | $ABCD$ — параллелограмм | равенства сторон, углов, отрезков диагоналей |
| Признак | условия на стороны или на диагонали | $ABCD$ — параллелограмм |
Закрепим в каркасе два равенства — и он уже не складывается ни во что, кроме параллелограмма.
Теорема (признаки параллелограмма)
Четырехугольник — параллелограмм, если выполнено одно из условий:
1) две противоположные стороны равны и параллельны: $AB = CD$ и $AB \parallel CD$;
2) противоположные стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = AD$;
3) диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.
Доказательство признака 1
Дано: $AB = CD$, $AB \parallel CD$. Проведем диагональ $AC$. В треугольниках $ABC$ и $CDA$: $AB = CD$, $AC$ — общая, $\angle BAC = \angle DCA$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$. По двум сторонам и углу между ними $\triangle ABC = \triangle CDA$ (урок «Треугольник. Равные треугольники. Первый признак равенства»). Отсюда $\angle BCA = \angle DAC$. Это накрест лежащие углы при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$, поэтому $BC \parallel AD$ (урок «Параллельные прямые. Секущая и признаки параллельности»). Обе пары сторон параллельны — $ABCD$ параллелограмм.
Доказательство признака 2
Дано: $AB = CD$, $BC = AD$. Проведем диагональ $AC$. Треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по трем сторонам, поэтому $\angle BAC = \angle DCA$. Эти углы накрест лежащие при прямых $AB$, $CD$ и секущей $AC$, значит, $AB \parallel CD$. Теперь стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны — по признаку 1 $ABCD$ параллелограмм.
Признак 3 доказывается так же. Найдите нужные треугольники сами, полное доказательство — под кнопкой.
Доказательство признака 3
Скрыть
Дано: $AO = OC$, $BO = OD$. В треугольниках $AOB$ и $COD$: $AO = OC$, $BO = OD$, $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные. По двум сторонам и углу между ними $\triangle AOB = \triangle COD$. Отсюда $AB = CD$ и $\angle ABO = \angle CDO$. Это накрест лежащие углы при прямых $AB$, $CD$ и секущей $BD$, поэтому $AB \parallel CD$. Стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны — по признаку 1 $ABCD$ параллелограмм.
Вообразавр предлагает проверить, что держит каждое равенство. В интерактиве потяните вершины параллелограмма — равенства сохраняются. Затем двигайте оранжевую точку $K$ — это «сломанная» вершина $C$; пунктир показывает четырехугольник $ABKD$. Смотрите, какие равенства пропадают и при каких параллелограмм возвращается.
Одной пары равных сторон мало
В признаке 1 равны и параллельны одни и те же две стороны. Если это забыть, рассуждение выглядит убедительно, а вывод неверен.
Ошибка
Встречается такое рассуждение: «В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны, а $AD \parallel BC$. Две противоположные стороны равны, параллельность есть — значит, $ABCD$ параллелограмм».
Решавр проверяет по шагам: где равны, где параллельны? Проверим на числах: $AD = 12$, $BC = 6$, $AB = CD = 5$, $AD \parallel BC$. Такой четырехугольник есть — это равнобокая трапеция высотой 4. Будь он параллелограммом, по свойству сторон было бы $AD = BC$, а $12 \ne 6$. Каркас из палочек 5, 6, 5 и 12 вообще нельзя сложить в параллелограмм: противоположные палочки 6 и 12 не равны.
Где сломалось рассуждение: равны стороны $AB$ и $CD$, а параллельны $AD$ и $BC$ — другая пара. Признак 1 требует, чтобы равная пара была и параллельной, признак 2 — чтобы была равна и вторая пара. Ни то, ни другое не выполнено, и прямые $AB$ и $CD$ при продолжении пересекаются.
Так же ошибаются с признаком 3. У дельтоида $ABCD$ (четырехугольника, у которого $AB = AD$ и $CB = CD$) диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ пополам: $BO = OD$. Если дельтоид не ромб, то $AO \ne OC$ и параллельных сторон у него нет. Признак требует, чтобы пополам делились обе диагонали.
Биссектриса и высота дают знакомые треугольники
Параллельные стороны дают равные углы, поэтому линия внутри параллелограмма отсекает знакомый треугольник. Частый случай в ОГЭ — биссектриса угла.
Пример 3
Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $AD$ в точке $K$, $AB = 6$, $KD = 4$. Найдите периметр параллелограмма.
Решение. $\angle ABK = \angle KBC$, так как $BK$ — биссектриса. $\angle KBC = \angle AKB$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $BK$. Значит, $\angle ABK = \angle AKB$, и треугольник $ABK$ равнобедренный: $AK = AB = 6$ (урок «Равнобедренный и равносторонний треугольники»). Тогда $AD = 6 + 4 = 10$, $P = 2 \cdot (6 + 10) = 32$.
Ответ: 32.
Определение
Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей сторону, не проходящую через эту вершину. На рисунке $BH \perp AD$.
Высота $BH$ отсекает прямоугольный треугольник $ABH$, и в нем $\angle ABH = 90^\circ-\angle A$ (урок «Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника»). Например, при $\angle A = 22^\circ$ угол $ABH$ равен $90^\circ-22^\circ = 68^\circ$, а тупой угол параллелограмма $\angle B = 180^\circ-22^\circ = 158^\circ$.
Признаки в работе: доказательство и лампа на рычагах
Чтобы доказать, что четырехугольник — параллелограмм, выбирают признак, условия которого проще получить из данных.
Пример 4
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На отрезках $AO$ и $CO$ отмечены точки $K$ и $L$ так, что $AK = CL$. Докажите, что $BKDL$ — параллелограмм.
Доказательство. 1. По свойству диагоналей $ABCD$: $AO = OC$ и $BO = OD$.
2. $OK = AO-AK$, $OL = CO-CL$. Уменьшаемые равны и вычитаемые равны, поэтому $OK = OL$.
3. Диагонали четырехугольника $BKDL$ — отрезки $BD$ и $KL$. Они пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам: $BO = OD$, $KO = OL$. По признаку 3 $BKDL$ — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Теперь ответим на вопрос о лампе. Стрела лампы — это каркас $ABCD$ из четырех планок на шарнирах: длинные планки $AB$ и $CD$ равны, короткие $BC$ и $AD$ тоже равны. Планка $AD$ закреплена у основания, на планке $BC$ держится плафон. Как бы ни двигали стрелу, противоположные стороны каркаса попарно равны — по признаку 2 это параллелограмм. Значит, планка $BC$ с плафоном всегда параллельна неподвижной планке $AD$, и плафон не наклоняется. Закрепили равные палочки — получили параллельность.
Вывод
Параллелограмм — основа следующих уроков: прямоугольник, ромб и квадрат — параллелограммы, и все доказанное здесь для них верно. Свойства помогают находить стороны, углы и отрезки диагоналей, признаки — доказывать, что фигура параллелограмм. Не путайте их направление и проверяйте, что равны и параллельны одни и те же стороны. Параллелограмм из рычагов держит плафон лампы, полки складного стеллажа, кузов на параллельных тягах. В ОГЭ задачи №17 и №19 почти всегда сводятся к свойствам и признакам из этого урока.
| Случай | Как вспомнить через модель |
|---|---|
| Определение | две пары параллельных палочек |
| Стороны и углы | диагональ режет каркас на два равных треугольника; пол-оборота кальки кладет один на другой |
| Диагонали | пол-оборота вокруг $O$ меняет местами $A$ и $C$, $B$ и $D$ — $O$ середина обеих |
| Соседние углы | односторонние при параллельных палочках: в сумме $180^\circ$ |
| Признаки | закрепили два нужных равенства — каркас не может стать ничем, кроме параллелограмма |
| Ошибка | одна пара равных палочек не держит каркас: он складывается в равнобокую трапецию |
Часто задаваемые вопросы
В свойстве известно, что фигура — параллелограмм, а вывод — о ее сторонах, углах или диагоналях. В признаке наоборот: известны равенства, а вывод — «это параллелограмм». Например, «диагонали параллелограмма делятся пополам» — свойство, а «если диагонали четырехугольника делятся пополам, то он параллелограмм» — признак.
Нет. Равные диагонали есть у равнобокой трапеции, а она не параллелограмм. Признак по диагоналям требует, чтобы они делились точкой пересечения пополам, а равенство длин ничего не говорит о параллельности.
Нет. У трапеции параллельна только одна пара сторон, а две другие не параллельны. У параллелограмма параллельны обе пары, поэтому его трапецией не считают.
Чертеж бывает неточным: равнобокая трапеция с почти равными основаниями выглядит как параллелограмм. Признак работает для любых чертежей.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий