7 класс Геометрия Треугольники Второй и третий признаки равенства треугольников

Второй и третий признаки равенства треугольников

Содержание

Вы уже знаете первый признак равенства треугольников и свойства равнобедренного треугольника. В этом уроке докажем еще два признака — по стороне и двум прилежащим к ней углам и по трем сторонам, — выясним, какие наборы данных признаками не являются, и научимся выбирать признак по чертежу. А в конце узнаем, как Фалес Милетский находил расстояние до корабля в море, не выходя на лодке.

Сторона и два угла: где окажется третья вершина

Признак равенства — это гарантия, что калька с одним треугольником ляжет на другой, хотя саму кальку мы не накладываем. В первом признаке хватило двух сторон и угла между ними. Теперь возьмем одну сторону и два угла при ее концах.

Начертите отрезок $AB = 5$ см. При вершине $A$ отложите угол $40^\circ$, при вершине $B$ — угол $60^\circ$, оба по одну сторону от $AB$. Лучи пересекутся в точке $C$. Другого места для третьей вершины нет: две прямые имеют не больше одной общей точки.

Определение

Углы треугольника, прилежащие к стороне, — это два угла, вершины которых — концы этой стороны; у каждого из них данная сторона — одна из сторон угла. К стороне $AB$ прилежат $\angle A$ и $\angle B$, а $\angle C$ лежит против нее.

Теорема (второй признак равенства треугольников)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Дано: $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

1. Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с $A_1$, сторона $AB$ легла на луч $A_1B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по одну сторону от прямой $A_1B_1$ (если нужно, кальку перевернем). Так как $AB = A_1B_1$, точка $B$ совпадет с $B_1$.

2. $\angle A = \angle A_1$, поэтому луч $AC$ пойдет по лучу $A_1C_1$. $\angle B = \angle B_1$, поэтому луч $BC$ пойдет по лучу $B_1C_1$.

3. Точка $C$ лежит и на луче $A_1C_1$, и на луче $B_1C_1$. Общая точка у этих лучей одна — $C_1$. Значит, $C$ совпала с $C_1$.

4. Треугольники совместились наложением, поэтому $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Этот ход вам знаком по признаку равнобедренного треугольника: там калька ложилась перевернутой, вершина $B$ — на $C$, лучи шли друг по другу, и вершина $A$ оставалась на месте пересечения лучей.

Угол BAC с биссектрисой AD и перпендикуляром BC к ней: у треугольников ABD и ACD общая сторона AD, равные углы при A (дуга со штрихом на каждом) и прямые углы при D, поэтому AB = AC — У треугольников $ABD$ и $ACD$ общая сторона $AD$ и равные углы при ее концах — значит, $AB = AC$

Пример

Точка $D$ лежит на биссектрисе угла $A$. Через $D$ провели прямую, перпендикулярную $AD$, она пересекла стороны угла в точках $B$ и $C$. Докажите, что $AB = AC$.

Решение. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$:

1) $AD$ — общая сторона;

2) $\angle BAD = \angle CAD$, так как $AD$ — биссектриса;

3) $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$, так как $BC \perp AD$.

Оба угла прилежат к стороне $AD$, поэтому $\triangle ABD = \triangle ACD$ по второму признаку. Вершине $B$ соответствует $C$, значит, $AB = AC$. Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"В каком случае треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по второму признаку?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle A = \\angle A_1$, $\\angle B = \\angle B_1$, $\\angle C = \\angle C_1$","$AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\\angle B = \\angle B_1$","$AB = A_1B_1$, $\\angle A = \\angle A_1$, $\\angle B = \\angle B_1$","$AB = A_1B_1$, $\\angle A = \\angle A_1$, $\\angle C = \\angle C_1$"],"explanations":["Три угла не гарантируют равенства: треугольники могут быть разного размера","Это две стороны и угол не между ними; к тому же во втором признаке одна сторона и два угла","","Угол $C$ лежит против стороны $AB$, а не прилежит к ней"],"answer":[2]}},"hints":["Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого.","К стороне $AB$ прилежат углы $A$ и $B$ — их вершины на концах этой стороны.","Ответ: $AB = A_1B_1$, $\\angle A = \\angle A_1$, $\\angle B = \\angle B_1$."],"step":1},{"content":"В треугольниках $ABC$ и $DEF$: $AC = DF$, $\\angle A = \\angle D$, $\\angle C = \\angle F$, $BC = 7$ см. Найдите длину стороны $EF$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["К стороне $AC$ прилежат углы $A$ и $C$, к стороне $DF$ — углы $D$ и $F$: треугольники равны по второму признаку.","Соответствие: $A \\to D$, $C \\to F$, $B \\to E$. Стороне $BC$ соответствует $EF$.","$EF = BC = 7$ см."],"step":1}],"mix":1}

Три планки не сдвинуть: третий признак

Скрепите концы трех планок шарнирами — получится треугольник. Попробуйте изменить его форму, не ломая планок: не выйдет. Четыре планки, скрепленные так же, складываются легко: квадрат перекашивается в ромб, стороны те же, а углы другие. Поэтому фермы мостов и стропила крыш собирают из треугольников.

Жесткость треугольника: треугольник из трех планок не меняет формы, четырехугольник из четырех планок складывается в ромб; ферма моста составлена из треугольников — Треугольник из планок держит форму, а четырехугольник с теми же сторонами складывается — ферму моста собирают из треугольников

Жесткость означает: три стороны задают треугольник целиком, другие углы при тех же сторонах подобрать нельзя.

Теорема (третий признак равенства треугольников)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Положить угол на угол, как раньше, не получится: о равенстве углов ничего не известно. Поможет равнобедренный треугольник — у него углы при основании равны.

Доказательство

Дано: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CA = C_1A_1$. Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

1. Приложим кальку с треугольником $A_1B_1C_1$ к треугольнику $ABC$ так, чтобы $A_1$ совпала с $A$, $B_1$ — с $B$ (это можно, так как $A_1B_1 = AB$), а вершина $C_1$ оказалась по другую сторону от прямой $AB$, чем $C$. Тогда $AC_1 = AC$ и $BC_1 = BC$.

2. Соединим $C$ и $C_1$. Основной случай: отрезок $CC_1$ пересекает отрезок $AB$ (рисунок).

3. Треугольник $ACC_1$ равнобедренный с основанием $CC_1$, поэтому $\angle ACC_1 = \angle AC_1C$. Так же в равнобедренном треугольнике $BCC_1$: $\angle BCC_1 = \angle BC_1C$.

4. Сложим равенства: $\angle ACB = \angle ACC_1 + \angle BCC_1 = \angle AC_1C + \angle BC_1C = \angle AC_1B$.

5. В треугольниках $ABC$ и $ABC_1$: $AC = AC_1$, $BC = BC_1$, и углы между этими сторонами равны. По первому признаку треугольники равны, а $ABC_1$ — это и есть $A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Показать два других случая

Скрыть

Чертеж показывает один случай, а доказательство должно годиться для всех. Отрезок $CC_1$ может еще пройти через конец отрезка $AB$ или пересечь прямую $AB$ за его концом.

Через вершину $A$. Точки $C$, $A$, $C_1$ лежат на одной прямой. Треугольник $BCC_1$ равнобедренный, углы при основании $\angle BCA$ и $\angle BC_1A$ равны — это и есть $\angle ACB = \angle AC_1B$.

За точкой $A$. Углы при основаниях снова равны: $\angle ACC_1 = \angle AC_1C$, $\angle BCC_1 = \angle BC_1C$. Но теперь угол $ACB$ — разность: $\angle ACB = \angle BCC_1-\angle ACC_1 = \angle BC_1C-\angle AC_1C = \angle AC_1B$.

Для вершины $B$ все так же. Дальше в каждом случае — первый признак, как в основном.

Построение биссектрисы угла циркулем: дуга с центром O отмечает точки A и B, две дуги равного радиуса пересекаются в C; треугольники OAC и OBC равны по трем сторонам, луч OC делит угол пополам — $OA = OB$, $AC = BC$, сторона $OC$ общая: треугольники равны по трем сторонам, и луч $OC$ делит угол пополам

Пример

Угол $O$ делят пополам циркулем и линейкой так: дугой с центром $O$ отмечают на сторонах угла точки $A$ и $B$, затем из $A$ и из $B$ одним и тем же раствором циркуля проводят дуги, которые пересекаются внутри угла в точке $C$. Докажите, что $OC$ — биссектриса угла $AOB$.

Решение. В треугольниках $OAC$ и $OBC$: $OA = OB$ (одна дуга), $AC = BC$ (один раствор), $OC$ — общая сторона. Значит, $\triangle OAC = \triangle OBC$ по третьему признаку. Вершине $A$ соответствует $B$, поэтому $\angle AOC = \angle BOC$, и $OC$ — биссектриса. Что и требовалось доказать.

Такие построения подробно разобраны в задачах на построение.

{"questions":[{"content":"Планки скреплены шарнирами на концах. Какая конструкция не может изменить свою форму?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Пятиугольник из пяти планок","Квадрат из четырех планок","Две планки с одним шарниром","Треугольник из трех планок"],"explanations":["Многоугольник с числом сторон больше трех можно деформировать при тех же длинах сторон","Квадрат из планок перекашивается в ромб: стороны те же, углы другие","Две планки поворачиваются вокруг шарнира: угол между ними меняется",""],"answer":[3]}},"hints":["По третьему признаку треугольник с данными тремя сторонами один: при тех же длинах планок его углы не изменятся.","Четырехугольник и пятиугольник из планок складываются: при тех же сторонах меняются углы.","Ответ: треугольник из трех планок."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В четырехугольнике $ABCD$ $AB = AD$, $CB = CD$, проведена диагональ $AC$ (см. рисунок). Какая запись верна?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ekeqhfxpjzgs.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\triangle ABC = \\triangle ADC$","$\\triangle ABC = \\triangle ACD$","$\\triangle ABC = \\triangle CDA$","$\\triangle ABD = \\triangle CBD$"],"explanations":["","Здесь $B \\to C$, тогда $AB$ должна равняться $AC$, но это не дано: буквы стоят не по соответствию","Здесь $A \\to C$ и $B \\to D$, тогда $AB = CD$, а это не дано","В этих треугольниках $AB$ и $CB$ стоят на соответственных местах, но они не обязаны быть равны"],"answer":[0]}},"hints":["Третий признак: три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого. Сторона $AC$ — общая.","$AB = AD$, $CB = CD$, $AC = AC$. Соответствие: $A \\to A$, $B \\to D$, $C \\to C$.","Ответ: $\\triangle ABC = \\triangle ADC$."],"step":1},{"content":"[[image-2]]В четырехугольнике $ABCD$ $AB = CD$, $BC = AD$, проведена диагональ $AC$, $\\angle BAC = 40^\\circ$ (см. рисунок). Найдите угол $DCA$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kdwhvzwmaepe.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["$\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по третьему признаку: $AB = CD$, $BC = DA$, $AC$ — общая.","Соответствие: $A \\to C$, $B \\to D$, $C \\to A$. Углу $BAC$ соответствует угол $DCA$.","$\\angle DCA = 40^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Три элемента — еще не признак

Наборов из трех элементов треугольника больше, чем признаков. Какие из них задают треугольник однозначно, а какие — нет?

uploaded-priznaki-odnoznachnost-4a091fa164c4

Разберем два набора, которые часто принимают за признаки.

Две стороны и угол не между ними. Пусть $AB = 6$, $BC = 4$, $\angle A = 30^\circ$ — этот чертеж вы видели в уроке о первом признаке. Отложим угол $A$ и сторону $AB$. Третья вершина лежит на второй стороне угла на расстоянии 4 от $B$, то есть на дуге радиуса 4 с центром $B$. Дуга пересекает сторону угла в двух точках $C$ и $D$, и получаются два треугольника: $ABC$ и $ABD$.

Две стороны и угол не между ними: AB = 6, угол A равен 30°, BC = BD = 4; третья вершина может занять два положения C и D, получаются два разных треугольника ABC и ABD — Одни и те же $AB = 6$, $\angle A = 30^\circ$ и $BC = BD = 4$, но $AC \approx 7{,}8$, а $AD \approx 2{,}6$: треугольники разные

Три угла. Треугольник с углами $50^\circ$, $60^\circ$ и $70^\circ$ можно нарисовать маленьким и большим — как фотографию и ее увеличенную копию. Форма одна, размер разный, и наложением такие треугольники не совместить.

Три треугольника одной формы и разного размера с углами 50°, 60° и 70°: углы одни и те же, а стороны разные, наложением такие треугольники не совместить — Углы одни и те же, а стороны разные: равные углы не делают треугольники равными

Правило

Признак равенства — набор данных, по которому треугольник получается только один (с точностью до наложения).

Признаки: две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих к ней угла; три стороны.

Не признаки: две стороны и угол не между ними; три угла.

Ошибка

Решавр пишет: «$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$ — значит, треугольники равны».

Проверим на числах. При $AB = 6$, $BC = 4$, $\angle A = 30^\circ$ строятся два треугольника: у одного третья сторона около 7,8, у другого около 2,6. Все три данных у них совпадают, а сами треугольники не равны.

Где сломалось рассуждение: угол $A$ не лежит между сторонами $AB$ и $BC$, и калька с такими данными может лечь двумя способами — равенство не гарантировано. С тремя углами то же: размер треугольника они не задают.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Углы треугольника $ABC$ соответственно равны углам треугольника $A_1B_1C_1$. Следует ли отсюда, что треугольники равны?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rtpcst3uw5ym.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Не следует: треугольники могут быть одной формы, но разного размера","Следует: шесть элементов не нужны, хватит трех","Следует, если треугольники остроугольные","Следует: по второму признаку"],"explanations":["","Хватит трех, но не любых: среди них должна быть хотя бы одна сторона","Пример на рисунке — остроугольные треугольники разного размера","Во втором признаке нужна равная сторона; одни углы размера не задают"],"answer":[0]}},"hints":["Равные треугольники совпадают при наложении, значит, у них равны и стороны.","На рисунке три треугольника с одинаковыми углами $40^\\circ$, $60^\\circ$ и $80^\\circ$, но разного размера.","Ответ: не следует."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите наборы данных о треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Гарантируют равенство","Не гарантируют равенства"],"items":[["$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$","$AB = A_1B_1$, $\\angle A = \\angle A_1$, $\\angle B = \\angle B_1$","$AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\\angle A = \\angle A_1$"],["$\\angle A = \\angle A_1$, $\\angle B = \\angle B_1$, $\\angle C = \\angle C_1$","$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $\\angle A = \\angle A_1$"]]}},"hints":["Признак — это данные, при которых треугольник один (с точностью до наложения): три стороны; две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих угла.","Три угла задают только форму. Две стороны и угол не между ними допускают два разных треугольника.","Гарантируют: три стороны; $AB$, $\\angle A$, $\\angle B$; $AB$, $AC$, $\\angle A$. Не гарантируют: три угла; $AB$, $BC$, $\\angle A$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр построил треугольник $KLM$, в котором $KL = 7$ см, $LM = 5$ см, $\\angle K = 40^\\circ$, и вырезал его. Иксератопс построил по тем же данным свой треугольник. Решавр говорит: «Треугольники обязательно совпадут при наложении: даны две стороны и угол». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: угол $K$ прилежит к стороне $KL$, а этого достаточно для первого признака","Ошибка в данных: сторона $LM$ слишком короткая, и такой треугольник вообще не построить","Ошибка в угле: угол $K$ не лежит между $KL$ и $LM$, поэтому треугольников может быть два","Ошибка в угле: для первого признака здесь нужен угол $M$, а не данный угол $K$"],"explanations":["Прилежать к одной стороне мало: в первом признаке угол лежит между двумя данными сторонами, а между $KL$ и $LM$ лежит угол $L$","Построить можно, и даже два разных: дуга радиуса 5 см с центром $L$ пересекает сторону угла $K$ в двух точках","","Между сторонами $KL$ и $LM$ лежит угол при их общей вершине $L$, а не $M$; угол $M$ лежит против стороны $KL$"],"answer":[2]}},"hints":["Найдите угол между сторонами $KL$ и $LM$: это угол при их общей вершине $L$.","Угол $K$ не лежит между данными сторонами. Отложим угол $K$ и отрезок $KL = 7$ см; дуга радиуса 5 см с центром $L$ пересекает другую сторону угла в двух точках — получаются два разных треугольника.","Ответ: угол $K$ не лежит между сторонами $KL$ и $LM$, такие данные не гарантируют равенства."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как выбрать признак по чертежу

Искать признак — значит найти на чертеже треугольник и его «кальку»: пару треугольников, у которых уже отмечены три пары равных элементов. Сами признаки собраны в рамке «Правило» выше.

Сначала сосчитайте пары равных сторон и углов, затем проверьте, где лежат углы: между сторонами или при концах стороны. Вспомните: прилежащие к стороне углы — те, у которых данная сторона служит стороной угла.

Третью пару равных элементов часто дает сам чертеж, а не условие. Типовых пар три: общая сторона двух треугольников, вертикальные углы и общий угол двух треугольников.

Три типовые пары равных элементов: общая сторона AC у треугольников ABC и ADC; вертикальные углы AOC и BOD при пересечении отрезков AB и CD, где AO = OB и CO = OD, проведены AC и BD (треугольники AOC и BOD); общий угол A у треугольников ABE и ACD — Общая сторона, вертикальные углы, общий угол — третья пара равных элементов, которой нет в условии

Пример

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (средний чертеж), $AO = OB$, $CO = OD$. Докажите, что $AC = BD$.

Решение. Отрезки $AC$ и $BD$ — стороны треугольников $AOC$ и $BOD$. Сосчитаем пары равных элементов:

1) $AO = OB$ (по условию);

2) $CO = OD$ (по условию);

3) $\angle AOC = \angle BOD$ — их дает чертеж: углы вертикальные.

Угол $AOC$ лежит между сторонами $AO$ и $CO$, угол $BOD$ — между $BO$ и $DO$. Это две стороны и угол между ними, поэтому $\triangle AOC = \triangle BOD$ по первому признаку. Соответствие: $A \to B$, $O \to O$, $C \to D$, значит, $AC = BD$. Что и требовалось доказать.

Два одинаковых треугольника ABC и A1B1C1: равны сторона AB и угол при A; угол при B прилежит к стороне AB, а угол при C лежит против нее и не прилежит — К стороне $AB$ прилежат углы $A$ и $B$, а угол $C$ лежит против нее — второй признак здесь не подходит

Ошибка

В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle C = \angle C_1$. Решавр пишет: «Треугольники равны по второму признаку».

Проверим, какие углы прилежат к стороне $AB$: это углы с вершинами в ее концах, $A$ и $B$. Угол $C$ лежит против стороны $AB$ (на рисунке он выделен красным). Набор данных не совпадает с условием второго признака.

Где сломалось рассуждение: Решавр взял любые два угла, а прилежащий угол — тот, у которого данная сторона служит стороной угла. Такие треугольники на самом деле равны, но доказать это можно будет позже, когда вы узнаете сумму углов треугольника. Второй признак этого не доказывает.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте данные о треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ и признак, по которому они равны.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $\\angle B = \\angle B_1$","$AB = A_1B_1$, $\\angle A = \\angle A_1$, $\\angle B = \\angle B_1$","$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$"],"items":["Первый признак","Второй признак","Третий признак","Признака с такими данными нет"]}},"hints":["Две стороны и угол между ними — первый признак; сторона и два прилежащих угла — второй; три стороны — третий.","Угол $B$ лежит между сторонами $AB$ и $BC$; углы $A$ и $B$ прилежат к стороне $AB$.","Ответ: первый, второй, третий."],"step":1},{"content":"В треугольниках $MNP$ и $M_1N_1P_1$: $NP = N_1P_1$, $\\angle P = \\angle P_1$, $\\angle M = \\angle M_1$. Можно ли применить второй признак?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нельзя: для второго признака нужны три пары сторон","Можно: сторона и два угла равны","Можно, если угол $M$ тупой","Нельзя: угол $M$ не прилежит к стороне $NP$"],"explanations":["Три пары сторон — третий признак; второму нужны сторона и два прилежащих угла","Во втором признаке оба угла должны прилежать к стороне, а угол $M$ лежит против $NP$","Вид угла не важен: угол $M$ все равно не прилежит к стороне $NP$",""],"answer":[3]}},"hints":["К стороне $NP$ прилежат углы с вершинами в ее концах: $\\angle N$ и $\\angle P$. У каждого из них $NP$ — сторона угла.","Угол $M$ лежит против стороны $NP$. Второй признак здесь применить нельзя (такие треугольники на самом деле равны, но это докажем позже, после теоремы о сумме углов треугольника).","Ответ: нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AB = CD$, $\\angle BAO = \\angle DCO$. Решавр пишет: «$\\angle AOB = \\angle COD$ как вертикальные, значит, $\\triangle AOB = \\triangle COD$ по второму признаку». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Угол $AOB$ лежит против стороны $AB$, а не прилежит к ней","Углы $AOB$ и $COD$ не вертикальные, их нельзя считать равными","Ошибки нет: сторона и два угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого","Нужно было применить третий признак, а не второй"],"explanations":["","Они вертикальные: прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$; ошибка не здесь","Во втором признаке оба угла прилежат к стороне, а угол $AOB$ лежит против $AB$","Для третьего признака нужны три пары равных сторон, а известна одна пара"],"answer":[0]}},"hints":["К стороне $AB$ треугольника $AOB$ прилежат углы с вершинами в ее концах: $\\angle BAO$ и $\\angle ABO$.","Угол $AOB$ лежит против стороны $AB$, поэтому второй признак неприменим (такие треугольники на самом деле равны, но это докажем позже, после теоремы о сумме углов треугольника).","Ответ: угол $AOB$ не прилежит к стороне $AB$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как Фалес измерял расстояние до корабля

Вернемся к вопросу из начала урока. Греческий философ Прокл (V век н. э.) пересказывает «Историю геометрии» Евдема: Фалес Милетский знал теорему о равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам и пользовался ею, чтобы находить расстояние до кораблей в море. Как именно он это делал, не сохранилось. Вот одна из возможных реконструкций.

На берегу отмечают точки $A$ и $B$ и измеряют углы между отрезком $AB$ и направлениями на корабль $K$. Затем на суше, по другую сторону от $AB$, строят при вершинах $A$ и $B$ такие же углы; их стороны пересекаются в точке $K_1$. Треугольники $ABK$ и $ABK_1$ равны по второму признаку: сторона $AB$ общая, а прилежащие к ней углы равны по построению. Значит, $AK = AK_1$, а отрезок $AK_1$ лежит на суше, и его можно измерить.

Треугольник $ABK_1$ — это перевернутая калька треугольника $ABK$: если сложить лист по прямой $AB$, точка $K_1$ ляжет на $K$.

Способ Фалеса: корабль K в море, на берегу точки A и B с AB = 50 м; на суше построен треугольник ABK1, равный треугольнику ABK по стороне и двум прилежащим углам, поэтому AK = AK1 — Треугольник на суше — перевернутая калька «морского» и равен ему по второму признаку: расстояние до корабля измеряют на берегу

Пример

На берегу $AB = 50$ м. На суше построили треугольник $ABK_1$ с теми же углами при вершинах $A$ и $B$, что у треугольника $ABK$, где $K$ — корабль. Измерили: $AK_1 = 57$ м, $BK_1 = 61$ м. Найдите расстояние от точки $A$ до корабля.

Решение. В треугольниках $ABK$ и $ABK_1$ сторона $AB$ общая, $\angle BAK = \angle BAK_1$ и $\angle ABK = \angle ABK_1$ по построению. По второму признаку $\triangle ABK = \triangle ABK_1$, соответствие: $A \to A$, $B \to B$, $K \to K_1$. Стороне $AK$ соответствует $AK_1$, поэтому $AK = 57$ м.

Ответ: 57 м. Отрезок $BK_1 = 61$ м — это расстояние от корабля до точки $B$, а не до $A$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Чтобы найти расстояние от точки $A$ на берегу до буя $K$, на берегу отметили точку $B$, $AB = 60$ м, и построили на берегу треугольник $ABK_1$: $\\angle BAK_1 = \\angle BAK$, $\\angle ABK_1 = \\angle ABK$ (см. рисунок). Измерили: $AK_1 = 71$ м, $BK_1 = 76$ м. Найдите расстояние $AK$ в метрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gzvijehvbqju.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"71"}},"hints":["В треугольниках $ABK$ и $ABK_1$ сторона $AB$ общая, а прилежащие к ней углы равны по построению: треугольники равны по второму признаку.","Соответствие: $A \\to A$, $B \\to B$, $K \\to K_1$. Стороне $AK$ соответствует $AK_1$.","$AK = AK_1 = 71$ м."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AO = CO$, $\\angle OAB = \\angle OCD$. Расставьте шаги доказательства равенства $AD = CB$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["В треугольниках $AOB$ и $COD$: $AO = CO$, $\\angle OAB = \\angle OCD$ (по условию), $\\angle AOB = \\angle COD$ (как вертикальные)","$\\triangle AOB = \\triangle COD$ по второму признаку, отсюда $BO = DO$","В треугольниках $AOD$ и $COB$: $AO = CO$, $DO = BO$, $\\angle AOD = \\angle COB$ (как вертикальные)","$\\triangle AOD = \\triangle COB$ по первому признаку","Значит, $AD = CB$"]}},"hints":["В треугольниках $AOD$ и $COB$ известны $AO = CO$ и вертикальные углы при $O$ — не хватает $OD = OB$. Ее дает первая пара треугольников: $AOB$ и $COD$.","$\\triangle AOB = \\triangle COD$ по второму признаку (сторона $AO$ и прилежащие углы $A$ и $O$), отсюда $BO = DO$.","Ответ: $\\triangle AOB = \\triangle COD$ → $BO = DO$ → $\\triangle AOD = \\triangle COB$ → $AD = CB$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Признак равенства избавляет от наложения: достаточно сравнить три элемента, и калька обязательно ляжет. Теперь признаков три, и каждый связан со своим образом.

Почти каждое доказательство в геометрии начинается с поиска пары равных треугольников. Поэтому, глядя на чертеж, ищите три пары равных элементов и проверяйте, где лежит угол: между сторонами или при концах стороны.

Часто задаваемые вопросы

Почему нет признака равенства по трем углам?

Углы задают только форму треугольника, но не размер. Треугольник с углами $50^\circ$, $60^\circ$ и $70^\circ$ можно нарисовать любого размера, и маленький с большим наложением не совместить. В каждом признаке есть хотя бы одна сторона.

Чем второй признак отличается от первого, если в обоих три элемента?

В первом признаке две стороны и угол между ними, во втором — одна сторона и два угла при ее концах. Чтобы не перепутать, найдите на чертеже угол и посмотрите, какие стороны его образуют.

А если известны сторона, прилежащий к ней угол и угол против нее?

Такие треугольники равны, но вторым признаком этого не доказать: один из углов не прилежит к стороне. Доказательство появится позже, после теоремы о сумме углов треугольника.

Зачем в доказательстве третьего признака разбирать несколько случаев?

Чертеж показывает только одно расположение точек, а теорема говорит о любых треугольниках. Отрезок $CC_1$ может пересечь отрезок $AB$, пройти через его конец или пересечь прямую $AB$ за концом. Доказательство верно, только если проверены все три случая.

Награды за урок