Задачи на доказательство: признаки равенства

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В четырехугольнике $ABCD$ проведена диагональ $AC$, $\\angle BAC = \\angle DCA$, $\\angle BCA = \\angle DAC$ (см. рисунок). Расставьте шаги доказательства равенства $AB = CD$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/2kreijldimn9.svg"},"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$","$\\angle BAC = \\angle DCA$, $\\angle BCA = \\angle DAC$ (по условию), $AC$ — общая сторона","$\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по второму признаку","Значит, $AB = CD$ как соответственные стороны"]}},"hints":["$AB$ и $CD$ — стороны треугольников $ABC$ и $CDA$.","Даны два угла при общей стороне $AC$ — это второй признак.","Ответ: треугольники → пары с причинами → второй признак → $AB = CD$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на прямой в этом порядке, $AB = CD$. Точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от этой прямой, $AE = DF$, $\\angle EAD = \\angle FDA$ (см. рисунок). Расставьте шаги доказательства равенства $EC = FB$ по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/uttykt610uun.svg"},"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Рассмотрим треугольники $AEC$ и $DFB$","$AE = DF$ (по условию), $\\angle EAC = \\angle FDB$ (это данные углы $EAD$ и $FDA$), $AC = DB$ (к равным $AB$ и $DC$ добавлен общий отрезок $BC$)","$\\triangle AEC = \\triangle DFB$ по первому признаку","Значит, $EC = FB$ как соответственные стороны"]}},"hints":["$EC$ и $FB$ — стороны треугольников $AEC$ и $DFB$.","$AC = AB + BC$ и $DB = DC + CB$, а $AB = DC$, поэтому $AC = DB$. Угол $EAC$ — это данный угол $EAD$, угол $FDB$ — данный угол $FDA$.","Ответ: треугольники → три пары с причинами → первый признак → $EC = FB$."],"step":1},{"id":"2","content":"В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, на стороне $AC$ отмечены точки $M$ и $K$. В доказательстве записано: $\\angle BAM = \\angle BCK$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["как углы при основании равнобедренного треугольника","общий угол","как вертикальные","по определению биссектрисы"],"answer":0}},"hints":["$AB = BC$, значит, $AC$ — основание, а углы $A$ и $C$ — углы при основании.","Ответ: как углы при основании равнобедренного треугольника."],"step":1},{"id":"2","content":"Точка $D$ лежит на стороне $AB$, точка $E$ — на стороне $AC$ треугольника $ABC$. В доказательстве равенства треугольников $ABE$ и $ACD$ записано: $\\angle BAE = \\angle CAD$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["как углы при основании равнобедренного треугольника","общий угол","как вертикальные","по определению биссектрисы"],"answer":1}},"hints":["Угол $BAE$ — это угол $A$ треугольника $ABC$; угол $CAD$ — тоже он.","Ответ: общий угол."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-3]]В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны, углы $BAC$ и $DCA$ тоже равны (см. рисунок). Нужно доказать, что $BC = AD$. Какие треугольники удобно рассмотреть?[[choice-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ie7crlynqxos.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$BCD$ и $ACD$","$ABC$ и $ABD$","$ABC$ и $CDA$","$ABD$ и $CDB$"],"explanations":["В условии нет данных об углах при вершине $D$ — трех пар не найти","У этих треугольников общая сторона $AB$, но других равных элементов в условии нет","","Диагональ $BD$ не проведена, и о ее углах ничего не известно: трех пар не найти"],"answer":[2]}},"hints":["$BC$ и $AD$ должны быть сторонами выбранных треугольников, и для них должны найтись три пары равных элементов.","В треугольниках $ABC$ и $CDA$: $AB = CD$, $\\angle BAC = \\angle DCA$, $AC$ — общая.","Ответ: $ABC$ и $CDA$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-4]]Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$, $AO = OB$, $\\angle OAC = \\angle OBD$ (см. рисунок). Нужно доказать, что $AC = BD$. Какие треугольники удобно рассмотреть?[[choice-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3qebcmlgrn7y.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$AOC$ и $BOD$","$ABC$ и $BAD$","$AOB$ и $COD$","$ACD$ и $BDC$"],"explanations":["","В них есть $AC$ и $BD$, но кроме общей стороны $AB$ равных элементов в условии нет","В этих треугольниках нет отрезков $AC$ и $BD$","Равных элементов для этой пары в условии нет"],"answer":[0]}},"hints":["$AC$ и $BD$ должны быть сторонами выбранных треугольников, и для них должны найтись три пары равных элементов.","В треугольниках $AOC$ и $BOD$: $AO = OB$, $\\angle OAC = \\angle OBD$, $\\angle AOC = \\angle BOD$ (как вертикальные).","Ответ: $AOC$ и $BOD$."],"step":1},{"id":"4","content":"В четырехугольнике $ABCD$ проведена диагональ $BD$, $\\angle ABD = \\angle CBD$, $\\angle ADB = \\angle CDB$. По какому признаку равны треугольники $ABD$ и $CBD$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["По первому признаку","По второму признаку","Ни по какому: данных недостаточно","По третьему признаку"],"explanations":["Для первого признака нужны две пары сторон, а дана одна общая сторона","","Сторона и два прилежащих угла — достаточно","Пар сторон только одна — общая $BD$"],"answer":[1]}},"hints":["Выпишите пары: $\\angle ABD = \\angle CBD$, $\\angle ADB = \\angle CDB$ (по условию), $BD$ — общая.","Оба угла прилежат к общей стороне $BD$.","Ответ: по второму признаку."],"step":1},{"id":"4","content":"В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $DC$ равны, диагонали $AC$ и $BD$ тоже равны. По какому признаку равны треугольники $ABD$ и $DCA$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["По третьему признаку","По первому признаку: есть две пары сторон","Ни по какому: третья пара сторон не дана","По второму признаку"],"explanations":["","Для первого признака нужен равный угол между этими сторонами, а равных углов в условии нет","$AD$ — общая сторона треугольников $ABD$ и $DCA$, это и есть третья пара","Равных углов в условии нет"],"answer":[0]}},"hints":["Выпишите пары: $AB = DC$, $BD = CA$ (по условию), а сторона $AD$ у треугольников $ABD$ и $DCA$ общая.","Три пары сторон.","Ответ: по третьему признаку."],"step":1},{"id":"5","content":"В доказательстве получено: $\\triangle ABD = \\triangle CBD$. Какое равенство из этого следует?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$AD = BC$","$AD = CD$","$AB = BD$","$\\angle BAD = \\angle ABD$"],"explanations":["Стороне $AD$ соответствует $CD$, а не $BC$","","$AB$ и $BD$ — стороны одного треугольника, а не соответственные","Это углы одного треугольника; соответственные — $\\angle BAD$ и $\\angle BCD$"],"answer":[1]}},"hints":["Соответствие по записи: $A \\to C$, $B \\to B$, $D \\to D$.","Стороне $AD$ соответствует сторона $CD$.","Ответ: $AD = CD$."],"step":1},{"id":"5","content":"В доказательстве получено: $\\triangle AOB = \\triangle COD$. Какое равенство из этого следует?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\angle OAB = \\angle ODC$","$AO = OD$","$AB = CD$","$AB = OD$"],"explanations":["Углу $OAB$ соответствует угол $OCD$","Стороне $AO$ соответствует $CO$, а не $OD$","","Стороне $AB$ соответствует $CD$, а $OD$ соответствует $OB$"],"answer":[2]}},"hints":["Соответствие по записи: $A \\to C$, $O \\to O$, $B \\to D$.","Стороне $AB$ соответствует сторона $CD$.","Ответ: $AB = CD$."],"step":1},{"id":"6","content":"Сопоставьте условие задачи и равенство, которое из него следует.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$M$ — середина отрезка $KP$","$KE$ — биссектриса угла $MKP$","Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$"],"items":["$KM = MP$","$\\angle MKE = \\angle PKE$","$\\angle AOC = \\angle BOD$","$KE = EP$"]}},"hints":["Середина делит отрезок пополам; биссектриса делит угол пополам; при пересечении отрезков вертикальные углы равны.","Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в $O$: углы $AOC$ и $BOD$ вертикальные.","Ответ: $KM = MP$; $\\angle MKE = \\angle PKE$; $\\angle AOC = \\angle BOD$."],"step":1},{"id":"6","content":"Сопоставьте условие задачи и равенство, которое из него следует.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$","$AD$ — биссектриса угла $BAC$","$O$ — середина отрезка $BD$"],"items":["$\\angle B = \\angle C$","$\\angle BAD = \\angle CAD$","$BO = OD$","$AB = BC$"]}},"hints":["В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; биссектриса делит угол пополам; середина делит отрезок пополам.","Основание $BC$ — значит, равны углы $B$ и $C$.","Ответ: $\\angle B = \\angle C$; $\\angle BAD = \\angle CAD$; $BO = OD$."],"step":1},{"id":"7","content":"Дано: $AB = CB$, $AD = CD$. Доказать: $\\triangle ABD = \\triangle CBD$. Решавр пишет: «$AB = CB$ (по условию), $BD$ — общая, $\\angle ABD = \\angle CBD$ (видно на чертеже). Значит, $\\triangle ABD = \\triangle CBD$ по первому признаку». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Надо было назвать второй признак","Равенство углов $ABD$ и $CBD$ не обосновано","Ошибки нет: углы на чертеже действительно равны","$BD$ нельзя считать общей стороной"],"explanations":["Две стороны и угол между ними — это первый признак; ошибка в том, что угол не обоснован","","Чертеж может быть неточным; равенство должно следовать из условия или теоремы","$BD$ — сторона обоих треугольников, это верно"],"answer":[1]}},"hints":["Каждое равенство должно следовать из условия или доказанной теоремы.","Равенство углов $ABD$ и $CBD$ не дано. А в условии есть $AD = CD$, которое Решавр не использовал: с ним три пары сторон.","Ответ: угол взят с чертежа; верно — по третьему признаку."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-5]]На одной стороне угла с вершиной $O$ отмечены точки $A$ и $C$, на другой — $B$ и $D$; $A$ лежит между $O$ и $C$, $B$ — между $O$ и $D$ (см. рисунок). Дано: $OA = OB$, $AC = BD$. Доказать: $AD = BC$. Решавр пишет: «$OA = OB$ (по условию), $\\angle O$ — общий, $OD = OC$ (видно на чертеже). Значит, $\\triangle AOD = \\triangle BOC$ по первому признаку, $AD = BC$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aoakiqxs9q9y.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: отрезки на чертеже равны","Равенство $OD = OC$ не обосновано","Равенство $OA = OB$ не обосновано","Угол $O$ нельзя считать общим"],"explanations":["Равенство нужно вывести: $OC = OA + AC$, $OD = OB + BD$","","$OA = OB$ дано в условии","Углы $AOD$ и $BOC$ — один и тот же угол $O$"],"answer":[1]}},"hints":["Каждое равенство должно следовать из условия или доказанной теоремы.","$OD = OC$ верно, но причина другая: к равным отрезкам $OA$ и $OB$ добавлены равные отрезки $AC$ и $BD$.","Ответ: равенство $OD = OC$ не обосновано — его надо вывести: $OC = OA + AC$, $OD = OB + BD$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В четырехугольнике $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Дано: $BC = AD$, $\\angle BCA = \\angle DAC$. Доказать: $AB = CD$. Решавр пишет: «$\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по третьему признаку: $AB = CD$, $BC = DA$, $AC$ — общая. Значит, $AB = CD$». В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибка в записи: должно быть $\\triangle ABC = \\triangle ADC$, иначе стороны не соответствуют","Ошибка: $AC$ — диагональ, общей стороной ее считать нельзя","Ошибки нет: три пары сторон равны, третий признак применен верно","Использовано то, что надо доказать: равенство $AB = CD$"],"explanations":["По записи $A \\to C$, $B \\to D$, $C \\to A$: стороне $AB$ соответствует $CD$, стороне $BC$ — $DA$; запись верна","$AC$ — сторона обоих треугольников, хотя для четырехугольника это диагональ","Пара $AB = CD$ не дана — ее и надо доказать",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте, нет ли среди пар того, что требуется доказать.","$AB = CD$ — цель доказательства. Верно так: $BC = DA$, $\\angle BCA = \\angle DAC$, $AC$ — общая; угол лежит между сторонами — первый признак.","Ответ: использовано доказываемое; верно — первый признак."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Точка $D$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$, $AD \\perp BC$, $BD = DC$. Доказать: $AB = AC$. Решавр пишет: «$\\triangle ABD = \\triangle ACD$ по третьему признаку: $BD = CD$ (по условию), $AD$ — общая, $AB = AC$. Значит, $AB = AC$». В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: три пары сторон равны, третий признак применен верно","Использовано то, что надо доказать: равенство $AB = AC$","Ошибка: $BD$ и $CD$ — не соответственные стороны","Ошибка: $AD$ — перпендикуляр, общей стороной его считать нельзя"],"explanations":["Пара $AB = AC$ не дана — ее и надо доказать","","По записи $B \\to C$, $D \\to D$: стороне $BD$ соответствует $CD$, пара верная","$AD$ — сторона обоих треугольников; то, что он перпендикулярен $BC$, этому не мешает"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте, нет ли среди пар того, что требуется доказать.","$AB = AC$ — цель доказательства. Верно так: $BD = CD$ (по условию), $AD$ — общая, $\\angle ADB = \\angle ADC = 90^\\circ$ (так как $AD \\perp BC$); прямой угол лежит между сторонами — первый признак.","Ответ: использовано доказываемое; верно — первый признак с прямыми углами при точке $D$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-6]]Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AO = OC$, $BO = OD$. Прямая, проходящая через $O$, пересекает $AB$ в точке $M$, а $CD$ — в точке $K$ (см. рисунок). Расставьте шаги доказательства равенства $OM = OK$ по порядку.[[sorter-3]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3xiz3dcpm1cw.svg"},"sorter-3":{"type":"sorter","items":["$AO = OC$, $BO = OD$ (по условию), $\\angle AOB = \\angle COD$ (как вертикальные), значит, $\\triangle AOB = \\triangle COD$ по первому признаку","$\\angle OAB = \\angle OCD$ как соответственные углы равных треугольников $AOB$ и $COD$","В треугольниках $AOM$ и $COK$: $AO = OC$, $\\angle OAM = \\angle OCK$, $\\angle AOM = \\angle COK$ (как вертикальные)","$\\triangle AOM = \\triangle COK$ по второму признаку","$OM = OK$"]}},"hints":["В треугольниках $AOM$ и $COK$ известны $AO = OC$ и вертикальные углы при $O$ — не хватает угла при $A$ и $C$. Его дает первая пара треугольников.","$\\triangle AOB = \\triangle COD$ по первому признаку, отсюда $\\angle OAB = \\angle OCD$.","Ответ: $\\triangle AOB = \\triangle COD$ → $\\angle OAM = \\angle OCK$ → $\\triangle AOM = \\triangle COK$ (второй признак) → $OM = OK$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-7]]Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AO = OC$, $BO = OD$. На отрезках $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что $AM = CK$ (см. рисунок). Расставьте шаги доказательства равенства $OM = OK$ по порядку.[[sorter-4]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xzynhmoou2iz.svg"},"sorter-4":{"type":"sorter","items":["$AO = OC$, $BO = OD$ (по условию), $\\angle AOB = \\angle COD$ (как вертикальные), значит, $\\triangle AOB = \\triangle COD$ по первому признаку","$\\angle OAB = \\angle OCD$ как соответственные углы равных треугольников $AOB$ и $COD$","В треугольниках $AOM$ и $COK$: $AO = OC$, $AM = CK$, $\\angle OAM = \\angle OCK$","$\\triangle AOM = \\triangle COK$ по первому признаку","$OM = OK$"]}},"hints":["В треугольниках $AOM$ и $COK$ известны $AO = OC$ и $AM = CK$ — не хватает угла между ними. Его дает первая пара треугольников.","$\\triangle AOB = \\triangle COD$ по первому признаку, отсюда $\\angle OAB = \\angle OCD$.","Ответ: $\\triangle AOB = \\triangle COD$ → $\\angle OAM = \\angle OCK$ → $\\triangle AOM = \\triangle COK$ (первый признак) → $OM = OK$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Задача: «Точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$, $\\angle BAC = \\angle DAC$, $\\angle BCA = \\angle DCA$. Докажите, что $AB = AD$». Какое решение соответствует критерию «Доказательство верное, все шаги обоснованы» (2 балла)?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$\\angle BCA = \\angle DCA$ (по условию), $BC = DC$ (видно на рисунке), $AC$ — общая; $\\triangle ABC = \\triangle ADC$ по первому признаку, значит, $AB = AD$","$\\angle BAC = \\angle DAC$, $\\angle BCA = \\angle DCA$ (по условию), $AC$ — общая; $\\triangle ABC = \\triangle ADC$ по первому признаку, значит, $AB = AD$","$\\angle BAC = \\angle DAC$, $\\angle BCA = \\angle DCA$ (по условию), $AC$ — общая; $\\triangle ABC = \\triangle ADC$ по второму признаку, значит, $AB = AD$","$AB = AD$, $\\angle BAC = \\angle DAC$ (по условию), $AC$ — общая; $\\triangle ABC = \\triangle ADC$ по первому признаку, значит, $AB = AD$"],"explanations":["Равенство $BC = DC$ взято с рисунка: шаг не обоснован","Назван не тот признак: сторона и два прилежащих к ней угла — это второй признак","","Использовано то, что надо доказать: $AB = AD$"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте у каждого решения: все ли пары обоснованы, нет ли опоры на доказываемое, верно ли назван признак.","В треугольниках $ABC$ и $ADC$ сторона $AC$ общая, а равные углы при $A$ и при $C$ даны и прилежат к ней.","Ответ: решение с общей стороной $AC$ и вторым признаком."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Задача: «В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны, $BC$ и $AD$ — тоже. Докажите, что $\\angle ABC = \\angle CDA$». Какое решение соответствует критерию «Доказательство верное, все шаги обоснованы» (2 балла)?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Проведем $AC$. $AB = CD$, $BC = DA$ (по условию), $AC$ — общая; $\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по первому признаку, значит, $\\angle ABC = \\angle CDA$","$AB = CD$, $BC = DA$ (по условию), $\\angle ABC = \\angle CDA$; $\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по первому признаку, значит, $\\angle ABC = \\angle CDA$","Проведем $AC$. $AB = CD$ (по условию), $\\angle BAC = \\angle DCA$ (видно на рисунке), $AC$ — общая; $\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по первому признаку, значит, $\\angle ABC = \\angle CDA$","Проведем $AC$. $AB = CD$, $BC = DA$ (по условию), $AC$ — общая; $\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по третьему признаку, значит, $\\angle ABC = \\angle CDA$"],"explanations":["Назван не тот признак: три пары сторон — это третий признак","Использовано то, что надо доказать: равенство углов","Равенство углов $BAC$ и $DCA$ взято с рисунка: шаг не обоснован",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте у каждого решения: все ли пары обоснованы, нет ли опоры на доказываемое, верно ли назван признак.","Проведем диагональ $AC$: она общая для треугольников $ABC$ и $CDA$, вместе с данными — три пары сторон.","Ответ: решение с диагональю $AC$ и третьим признаком."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>