Второй и третий признаки равенства треугольников

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Сопоставьте данные о треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ и признак, по которому они равны.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CA = C_1A_1$","$AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$, $\\angle C = \\angle C_1$","$BC = B_1C_1$, $\\angle B = \\angle B_1$, $\\angle C = \\angle C_1$"],"items":["Третий признак","Первый признак","Второй признак","Признака с такими данными нет"]}},"hints":["Две стороны и угол между ними — первый признак; сторона и два прилежащих угла — второй; три стороны — третий.","Угол $C$ лежит между сторонами $AC$ и $BC$; углы $B$ и $C$ прилежат к стороне $BC$.","Ответ: третий, первый, второй."],"step":1},{"id":"1","content":"Сопоставьте данные о треугольниках $KLM$ и $K_1L_1M_1$ и признак, по которому они равны.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$KM = K_1M_1$, $\\angle K = \\angle K_1$, $\\angle M = \\angle M_1$","$KL = K_1L_1$, $LM = L_1M_1$, $\\angle L = \\angle L_1$","$KL = K_1L_1$, $LM = L_1M_1$, $KM = K_1M_1$"],"items":["Второй признак","Первый признак","Третий признак","Признака с такими данными нет"]}},"hints":["Две стороны и угол между ними — первый признак; сторона и два прилежащих угла — второй; три стороны — третий.","Углы $K$ и $M$ прилежат к стороне $KM$; угол $L$ лежит между сторонами $KL$ и $LM$.","Ответ: второй, первый, третий."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]По какому признаку равны треугольники $ABC$ и $DEF$, отмеченные на рисунке?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tqeqhmjx7bd4.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["По третьему признаку","По первому признаку","Треугольники не обязательно равны","По второму признаку"],"explanations":["Для третьего признака нужны три пары сторон, а отмечена одна","Для первого признака нужны две равные стороны, а отмечена одна","Сторона и два прилежащих к ней угла — это второй признак, треугольники равны",""],"answer":[3]}},"hints":["Отмечены: $AB = DE$, $\\angle A = \\angle D$, $\\angle B = \\angle E$.","Углы $A$ и $B$ прилежат к стороне $AB$, углы $D$ и $E$ — к стороне $DE$.","Ответ: по второму признаку."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]По какому признаку равны треугольники $KLN$ и $MNL$, отмеченные на рисунке?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/sfrdgpjfxxc5.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["По первому признаку","По второму признаку","Треугольники не обязательно равны","По третьему признаку"],"explanations":["Равные углы не отмечены и не даны; есть три пары сторон","Для второго признака нужны два прилежащих угла, а они не даны","Общая сторона $LN$ — третья пара равных сторон, этого достаточно",""],"answer":[3]}},"hints":["Отмечены: $KL = MN$, $LM = NK$; сторона $LN$ у треугольников общая.","Три пары равных сторон.","Ответ: по третьему признаку."],"step":1},{"id":"3","content":"Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$, $AO = OD$, $\\angle OAB = \\angle ODC$, $AB = 6$ см. Найдите длину отрезка $CD$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["В треугольниках $AOB$ и $DOC$: $AO = OD$, $\\angle OAB = \\angle ODC$ (по условию), $\\angle AOB = \\angle DOC$ (как вертикальные).","Углы прилежат к сторонам $AO$ и $DO$: треугольники равны по второму признаку, $AB = DC$.","$CD = 6$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"В четырехугольнике $ABCD$ проведена диагональ $AC$, $\\angle BAC = \\angle DAC$, $\\angle BCA = \\angle DCA$, $AB = 9$ см. Найдите длину стороны $AD$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["В треугольниках $ABC$ и $ADC$ сторона $AC$ общая, прилежащие к ней углы равны по условию.","$\\triangle ABC = \\triangle ADC$ по второму признаку, $AD = AB$.","$AD = 9$ см."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-3]]В четырехугольнике $ABCD$ $AB = AD$, $CB = CD$, $\\angle BAC = 35^\\circ$ (см. рисунок). Найдите угол $BAD$ в градусах. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gqbdkjafwuum.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["$\\triangle ABC = \\triangle ADC$ по третьему признаку ($AC$ — общая), поэтому $\\angle DAC = \\angle BAC = 35^\\circ$.","$\\angle BAD = \\angle BAC + \\angle DAC = 35^\\circ + 35^\\circ = 70^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-4]]В четырехугольнике $ABCD$ $AB = CD$, $BC = AD$, $\\angle ABC = 110^\\circ$ (см. рисунок). Найдите угол $CDA$ в градусах. [[input-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/edpthcth82dw.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"110"}},"hints":["$\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по третьему признаку: $AB = CD$, $BC = DA$, $AC$ — общая.","Соответствие: $A \\to C$, $B \\to D$, $C \\to A$; углу $ABC$ соответствует угол $CDA$.","$\\angle CDA = 110^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"Сколько разных треугольников $ABC$ (не совпадающих при наложении) можно построить, если $AB = 7$ см, $BC = 4$ см, $\\angle A = 30^\\circ$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Один","Два разных","Ни одного","Бесконечно много"],"explanations":["Угол $A$ не лежит между сторонами $AB$ и $BC$: дуга радиуса 4 см с центром $B$ пересекает сторону угла в двух точках, и третьи стороны у треугольников разные","","Дуга радиуса 4 см с центром $B$ достает до второй стороны угла: точек пересечения две","Бесконечно много треугольников дают три угла без сторон; здесь вершине $C$ подходят только точки пересечения дуги со стороной угла"],"answer":[1]}},"hints":["Где лежит угол $A$: между сторонами $AB$ и $BC$ или нет? Между ними лежит угол $B$ — значит, это две стороны и угол не между ними.","Отложим угол $A$ и отрезок $AB = 7$ см. Вершина $C$ лежит на второй стороне угла на расстоянии 4 см от $B$: дуга радиуса 4 см с центром $B$ пересекает сторону угла в двух точках (проверьте построением).","Ответ: два разных."],"step":1},{"id":"5","content":"Сколько разных треугольников $ABC$ (не совпадающих при наложении) можно построить, если $AB = 9$ см, $BC = 6$ см, $\\angle A = 35^\\circ$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Бесконечно много","Один","Ни одного","Два разных"],"explanations":["Бесконечно много треугольников дают три угла без сторон; здесь вершине $C$ подходят только точки пересечения дуги со стороной угла","Угол $A$ не лежит между сторонами $AB$ и $BC$: дуга радиуса 6 см с центром $B$ пересекает сторону угла в двух точках, и третьи стороны у треугольников разные","Дуга радиуса 6 см с центром $B$ достает до второй стороны угла: точек пересечения две",""],"answer":[3]}},"hints":["Где лежит угол $A$: между сторонами $AB$ и $BC$ или нет? Между ними лежит угол $B$ — значит, это две стороны и угол не между ними.","Отложим угол $A$ и отрезок $AB = 9$ см. Вершина $C$ лежит на второй стороне угла на расстоянии 6 см от $B$: дуга радиуса 6 см с центром $B$ пересекает сторону угла в двух точках (проверьте построением).","Ответ: два разных."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр пишет: «В треугольниках $ABC$ и $KLM$ $\\angle A = \\angle K$, $\\angle B = \\angle L$, $\\angle C = \\angle M$. Значит, $\\triangle ABC = \\triangle KLM$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибка в названии: равны два угла при стороне $AB$, значит, это второй признак","Ошибки нет: три пары равных элементов — этого хватает для любого признака","Ошибка в записи: соответствие нарушено, нужно писать $\\triangle ABC = \\triangle MLK$","Ошибка в выводе: три равных угла задают форму треугольника, но не его размер"],"explanations":["Во втором признаке нужна еще равная сторона $AB = KL$, а о сторонах ничего не известно","Хватает трех элементов, но не любых: в каждом признаке есть хотя бы одна сторона","Соответствие по равным углам записано верно: $A \\to K$, $B \\to L$, $C \\to M$; ошибка в самом выводе",""],"answer":[3]}},"hints":["Признак — данные, при которых треугольник один. Сколько треугольников с данными углами?","Треугольники с одинаковыми углами могут быть разного размера — как фотография и ее увеличенная копия.","Ответ: три угла не признак равенства."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр пишет: «В треугольниках $ABC$ и $KLM$ $AB = KL$, $BC = LM$, $\\angle A = \\angle K$. Значит, треугольники равны по первому признаку». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибка в названии: данные подходят под второй признак — сторона $AB$ и угол $A$ при ней","Ошибки нет: угол $A$ прилежит к стороне $AB$, а этого достаточно для первого признака","Ошибка в угле: для первого признака здесь нужен угол $C$, а не данный угол $A$","Ошибка в угле: угол $A$ не лежит между $AB$ и $BC$, поэтому равенство не гарантировано"],"explanations":["Во втором признаке нужны сторона и два прилежащих к ней угла, а здесь один угол и еще одна сторона","Прилежать к одной стороне мало: в первом признаке угол лежит между данными сторонами, а между $AB$ и $BC$ лежит угол $B$","Между сторонами $AB$ и $BC$ лежит угол при их общей вершине $B$, а не $C$; угол $C$ лежит против стороны $AB$",""],"answer":[3]}},"hints":["Найдите угол между сторонами $AB$ и $BC$ — это угол при их общей вершине $B$.","Угол $A$ не между данными сторонами; с такими данными бывают два разных треугольника.","Ответ: угол не лежит между сторонами — признака нет."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр пишет: «В треугольниках $ABC$ и $DEF$ $AC = DF$, $\\angle A = \\angle D$, $\\angle B = \\angle E$. Значит, треугольники равны по второму признаку». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: сторона $AC$ и два угла равны, это и есть второй признак","Ошибка в угле: угол $B$ лежит против стороны $AC$, а не прилежит к ней","Ошибка в выводе: при таких данных треугольники заведомо не равны","Ошибка в угле: к стороне $AC$ прилежат углы $B$ и $C$, а не угол $A$"],"explanations":["Во втором признаке оба угла прилежат к стороне, а угол $B$ лежит против $AC$","","Утверждать неравенство нельзя: такие треугольники на самом деле равны, это докажем позже; ошибка — в выборе признака","Вершины прилежащих углов — концы стороны: к $AC$ прилежат углы $A$ и $C$, а угол $B$ лежит против нее"],"answer":[1]}},"hints":["К стороне $AC$ прилежат углы $A$ и $C$.","Угол $B$ лежит против стороны $AC$, поэтому второй признак неприменим (такие треугольники равны, но это докажем позже, после теоремы о сумме углов треугольника).","Ответ: угол $B$ не прилежит к стороне $AC$."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр пишет: «В треугольниках $MNK$ и $PQR$ $MN = PQ$, $\\angle N = \\angle Q$, $\\angle K = \\angle R$. Значит, треугольники равны по второму признаку». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибка в выводе: при таких данных треугольники заведомо не равны","Ошибка в угле: угол $K$ лежит против стороны $MN$, а не прилежит к ней","Ошибки нет: сторона $MN$ и два угла равны, это и есть второй признак","Ошибка в угле: к стороне $MN$ прилежат углы $K$ и $M$, а не угол $N$"],"explanations":["Утверждать неравенство нельзя: такие треугольники на самом деле равны, это докажем позже; ошибка — в выборе признака","","Во втором признаке оба угла прилежат к стороне, а угол $K$ лежит против $MN$","Вершины прилежащих углов — концы стороны: к $MN$ прилежат углы $M$ и $N$, а угол $K$ лежит против нее"],"answer":[1]}},"hints":["К стороне $MN$ прилежат углы $M$ и $N$.","Угол $K$ лежит против стороны $MN$, поэтому второй признак неприменим (такие треугольники равны, но это докажем позже, после теоремы о сумме углов треугольника).","Ответ: угол $K$ не прилежит к стороне $MN$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-5]]В четырехугольнике $ABCD$ $AB = CB$, $AD = CD$, точка $M$ лежит на диагонали $BD$. Расставьте шаги доказательства равенства $AM = CM$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kgbk0wgou1jm.svg"},"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$AB = CB$, $AD = CD$ (по условию), $BD$ — общая, значит, $\\triangle ABD = \\triangle CBD$ по третьему признаку","Отсюда $\\angle ABD = \\angle CBD$ как соответственные углы","В треугольниках $ABM$ и $CBM$: $AB = CB$, $\\angle ABM = \\angle CBM$, $BM$ — общая","$\\triangle ABM = \\triangle CBM$ по первому признаку","Значит, $AM = CM$"]}},"hints":["В треугольниках $ABM$ и $CBM$ известны только $AB = CB$ и общая сторона $BM$ — нужен еще угол. Его дает первая пара треугольников.","$\\triangle ABD = \\triangle CBD$ по третьему признаку, отсюда $\\angle ABD = \\angle CBD$.","Ответ: $\\triangle ABD = \\triangle CBD$ → $\\angle ABM = \\angle CBM$ → $\\triangle ABM = \\triangle CBM$ → $AM = CM$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-6]]В четырехугольнике $ABCD$ $AB = CD$, $BC = AD$, $O$ — середина диагонали $AC$; прямая, проходящая через $O$, пересекает $BC$ в точке $M$, а $AD$ — в точке $K$. Расставьте шаги доказательства равенства $OM = OK$ по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ri7g8jvbhuc6.svg"},"sorter-2":{"type":"sorter","items":["$AB = CD$, $BC = DA$ (по условию), $AC$ — общая, значит, $\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по третьему признаку","Отсюда $\\angle BCA = \\angle DAC$ как соответственные углы","В треугольниках $COM$ и $AOK$: $CO = AO$, $\\angle OCM = \\angle OAK$, $\\angle COM = \\angle AOK$ (как вертикальные)","$\\triangle COM = \\triangle AOK$ по второму признаку","Значит, $OM = OK$"]}},"hints":["В треугольниках $COM$ и $AOK$ известно $CO = AO$ и вертикальные углы при $O$ — нужен еще угол при стороне. Его дает первая пара треугольников.","$\\triangle ABC = \\triangle CDA$ по третьему признаку, отсюда $\\angle BCA = \\angle DAC$.","Ответ: $\\triangle ABC = \\triangle CDA$ → $\\angle OCM = \\angle OAK$ → $\\triangle COM = \\triangle AOK$ → $OM = OK$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сколько разных треугольников $ABC$ (не совпадающих при наложении) можно построить, если $AB = 5$ см, $BC = 7$ см, $\\angle A = 40^\\circ$?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Ни одного","Бесконечно много","Один","Два разных"],"explanations":["Дуга радиуса 7 см с центром $B$ пересекает сторону угла: точка $A$ ближе к $B$, чем на 7 см","Вершина $C$ — общая точка дуги и стороны угла, таких точек не больше двух, а здесь подходит одна","","Вторая точка пересечения дуги лежит на продолжении стороны угла за точку $A$: угол при $A$ там $140^\\circ$, а не $40^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Угол $A$ не лежит между сторонами $AB$ и $BC$ — это две стороны и угол не между ними. Сколько получится треугольников, покажет построение.","Отложим угол $A$ и отрезок $AB = 5$ см, проведем дугу радиуса 7 см с центром $B$. Точка $A$ ближе к $B$, чем на 7 см, поэтому прямая, на которой лежит сторона угла, пересекает дугу по разные стороны от $A$: одна точка — на стороне угла, другая — на ее продолжении за точку $A$.","У второй точки угол при вершине $A$ равен $180^\\circ-40^\\circ = 140^\\circ$, а не $40^\\circ$, — она не подходит. Ответ: один. Признаком такой набор от этого не становится: когда $BC$ короче $AB$, треугольников может быть два."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сколько разных треугольников $KLM$ (не совпадающих при наложении) можно построить, если $KL = 4$ см, $LM = 6$ см, $\\angle K = 55^\\circ$?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Бесконечно много","Ни одного","Один","Два разных"],"explanations":["Вершина $M$ — общая точка дуги и стороны угла, таких точек не больше двух, а здесь подходит одна","Дуга радиуса 6 см с центром $L$ пересекает сторону угла: точка $K$ ближе к $L$, чем на 6 см","","Вторая точка пересечения дуги лежит на продолжении стороны угла за точку $K$: угол при $K$ там $125^\\circ$, а не $55^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Угол $K$ не лежит между сторонами $KL$ и $LM$ — это две стороны и угол не между ними. Сколько получится треугольников, покажет построение.","Отложим угол $K$ и отрезок $KL = 4$ см, проведем дугу радиуса 6 см с центром $L$. Точка $K$ ближе к $L$, чем на 6 см, поэтому прямая, на которой лежит сторона угла, пересекает дугу по разные стороны от $K$: одна точка — на стороне угла, другая — на ее продолжении за точку $K$.","У второй точки угол при вершине $K$ равен $180^\\circ-55^\\circ = 125^\\circ$, а не $55^\\circ$, — она не подходит. Ответ: один. Признаком такой набор от этого не становится: когда $LM$ короче $KL$, треугольников может быть два."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AB$, $AC = AD$. Какое из равенств вместе с этими данными позволяет доказать, что $\\triangle ABC = \\triangle ABD$? Выберите все верные варианты.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$\\angle ABC = \\angle ABD$","$\\angle ACB = \\angle ADB$","$\\angle BAC = \\angle BAD$","$BC = BD$"],"explanations":["Угол $B$ не лежит между сторонами $AB$ и $AC$: это две стороны и угол не между ними — признака нет","Угол $C$ лежит против стороны $AB$, а не между $AB$ и $AC$: снова две стороны и угол не между ними","",""],"answer":[2,3]}},"hints":["В треугольниках $ABC$ и $ABD$ уже есть две пары равных сторон: $AC = AD$ и общая сторона $AB$. Третья пара должна вместе с ними дать признак.","$BC = BD$ — три пары сторон, третий признак. $\\angle BAC = \\angle BAD$ — угол между сторонами $AB$ и $AC$, первый признак. Углы при вершинах $B$ и $C$ между сторонами $AB$ и $AC$ не лежат.","Ответ: $BC = BD$ и $\\angle BAC = \\angle BAD$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Точки $M$ и $N$ лежат по разные стороны от прямой $KL$, $LM = LN$. Какое из равенств вместе с этими данными позволяет доказать, что $\\triangle KLM = \\triangle KLN$? Выберите все верные варианты.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$KM = KN$","$\\angle LKM = \\angle LKN$","$\\angle LMK = \\angle LNK$","$\\angle KLM = \\angle KLN$"],"explanations":["","Угол $K$ не лежит между сторонами $KL$ и $LM$: снова две стороны и угол не между ними — признака нет","Угол $M$ лежит против стороны $KL$, а не между $KL$ и $LM$: это две стороны и угол не между ними",""],"answer":[0,3]}},"hints":["В треугольниках $KLM$ и $KLN$ уже есть две пары равных сторон: $LM = LN$ и общая сторона $KL$. Третья пара должна вместе с ними дать признак.","$KM = KN$ — три пары сторон, третий признак. $\\angle KLM = \\angle KLN$ — угол между сторонами $KL$ и $LM$, первый признак. Углы при вершинах $K$ и $M$ между сторонами $KL$ и $LM$ не лежат.","Ответ: $KM = KN$ и $\\angle KLM = \\angle KLN$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>