Треугольники

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Известно, что $\\triangle MNK = \\triangle PRS$; второй треугольник нарисован перевернутым (см. рисунок). Какое равенство верно?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/2zvdxmiqnruz.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$NK = PR$","$MK = RS$","$MK = PR$","$NK = RS$"],"explanations":["$PR$ стоит на месте $NK$, но треугольник перевернут; по буквам $N \\to R$, $K \\to S$","$RS$ соответствует стороне $NK$, а стороне $MK$ соответствует $PS$","По буквам $M \\to P$, $K \\to S$: $MK = PS$, а $PR$ равна $MN$",""],"answer":[3]}},"hints":["Запись равенства говорит, какая вершина на какую ляжет при наложении кальки: по порядку букв $M \\to P$, $N \\to R$, $K \\to S$.","Калька может лечь перевернутой, поэтому место стороны на листе ничего не решает. Сторона $NK$ ляжет на $RS$, сторона $MK$ — на $PS$, сторона $MN$ — на $PR$.","Ответ: $NK = RS$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Известно, что $\\triangle LMN = \\triangle TUV$; второй треугольник нарисован перевернутым (см. рисунок). Какое равенство верно?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ptxjd5w5wbap.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\angle N = \\angle T$","$\\angle M = \\angle V$","$\\angle N = \\angle V$","$\\angle M = \\angle T$"],"explanations":["Угол $T$ стоит на месте угла $N$, но треугольник перевернут; по буквам $N \\to V$","По буквам $M \\to U$: углу $M$ равен угол $U$, а угол $V$ равен углу $N$","","По буквам $M \\to U$: $\\angle M = \\angle U$, а угол $T$ равен углу $L$"],"answer":[2]}},"hints":["Запись равенства говорит, какая вершина на какую ляжет при наложении кальки: по порядку букв $L \\to T$, $M \\to U$, $N \\to V$.","Калька может лечь перевернутой, поэтому место угла на листе ничего не решает. Угол $N$ ляжет на угол $V$, угол $M$ — на угол $U$, угол $L$ — на угол $T$.","Ответ: $\\angle N = \\angle V$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Точки $M$ и $P$ лежат по разные стороны от прямой $KN$, $KM = KP$, $\\angle MKN = \\angle PKN$ (см. рисунок). $KM = 6$ см, $MN = 9$ см, $KN = 12$ см. Найдите периметр четырехугольника $KMNP$ в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ifit7zctagii.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Перегните чертеж по прямой $KN$: углы при $K$ равны, поэтому луч $KM$ ляжет на луч $KP$, а так как $KM = KP$, точка $M$ ляжет на $P$. Сторона $KN$ общая.","$\\triangle KMN = \\triangle KPN$ по первому признаку: $KM = KP$, $\\angle MKN = \\angle PKN$, $KN$ — общая. Значит, $PN = MN = 9$ см, $KP = 6$ см. Диагональ $KN$ в периметр не входит.","$P = 6 + 9 + 9 + 6 = 30$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Точки $E$ и $G$ лежат по разные стороны от прямой $FH$, $FE = FG$, $\\angle EFH = \\angle GFH$ (см. рисунок). $FE = 7$ см, $EH = 10$ см, $FH = 15$ см. Найдите периметр четырехугольника $FEHG$ в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/laerexrzeoew.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"34"}},"hints":["Перегните чертеж по прямой $FH$: углы при $F$ равны, поэтому луч $FE$ ляжет на луч $FG$, а так как $FE = FG$, точка $E$ ляжет на $G$. Сторона $FH$ общая.","$\\triangle FEH = \\triangle FGH$ по первому признаку: $FE = FG$, $\\angle EFH = \\angle GFH$, $FH$ — общая. Значит, $GH = EH = 10$ см, $FG = 7$ см. Диагональ $FH$ в периметр не входит.","$P = 7 + 10 + 10 + 7 = 34$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["У любого треугольника три биссектрисы","Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его высотой","В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла, совпадает со стороной"],["Если $AM$ — медиана треугольника $ABC$, то $\\angle BAM = \\angle MAC$","Любая высота треугольника лежит внутри него","Биссектриса треугольника — это луч, выходящий из вершины"]]}},"hints":["Вспомните три сгиба: медиана — «$B$ на $C$», биссектриса — «$AB$ на $AC$», высота — прямая $BC$ ложится сама на себя. Каждый сгиб дает только свое равенство.","Медиана делит пополам сторону, а не угол; у тупоугольного треугольника высота может лежать вне него; биссектриса треугольника — отрезок. Свойство биссектрисы к основанию — только для равнобедренного.","Верно: про три биссектрисы, про биссектрису к основанию и про высоту прямоугольного. Неверно: про медиану и углы, про высоту внутри, про луч."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["У любого треугольника три высоты","Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит угол при вершине пополам","Основание высоты тупоугольного треугольника может лежать вне его стороны"],["Медиана любого треугольника перпендикулярна стороне, к которой она проведена","Если $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, то $BL = LC$","Если $AH$ — высота треугольника $ABC$, то $BH = HC$"]]}},"hints":["Вспомните три сгиба: медиана — «$B$ на $C$», биссектриса — «$AB$ на $AC$», высота — прямая $BC$ ложится сама на себя. Каждый сгиб дает только свое равенство.","Перпендикулярность медианы и стороны доказана только для основания равнобедренного треугольника; сторону пополам делит медиана, а не биссектриса; высота делит сторону пополам только в равнобедренном треугольнике — когда проведена к основанию.","Верно: про три высоты, про медиану к основанию и про основание высоты вне стороны. Неверно: про медиану любого треугольника, про $BL = LC$, про $BH = HC$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-5]]Угол $C$ треугольника $ABC$ тупой. Решавр провел из вершины $A$ отрезок $AK$ к стороне $BC$ и назвал его высотой (см. рисунок). В чем его ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qdkrcunxi0pd.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["У тупоугольного треугольника нет высоты, проведенной из вершины $A$","Высоту проводят к прямой $BC$: ее основание лежит на продолжении стороны за точкой $C$","Отрезок $AK$ — медиана треугольника, а высота проходит в другом месте","Высоту надо было провести из вершины тупого угла $C$, а не из вершины $A$"],"explanations":["Перпендикуляр из $A$ к прямой $BC$ есть всегда, он лишь лежит вне треугольника","","Середина $BC$ — на 2,5 клетки от $B$, а $K$ — на 4 клетки: $AK$ не медиана","Высота есть из каждой вершины; из $A$ ее тоже можно провести — к прямой $BC$"],"answer":[1]}},"hints":["Высота — сгиб, при котором прямая $BC$ ложится сама на себя: это перпендикуляр к прямой $BC$, а не к отрезку. $AK$ идет по диагоналям клеток, угол $AKC$ равен $45^\\circ$.","Перпендикуляр к горизонтальной прямой $BC$ — вертикаль через $A$. Она встречает прямую $BC$ на 3 клетки правее $C$, на продолжении стороны.","Ответ: высоту проводят к прямой $BC$, ее основание — на продолжении стороны за точкой $C$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-6]]Угол $N$ треугольника $MNP$ тупой. Решавр провел из вершины $P$ отрезок $PK$ к стороне $MN$ и назвал его высотой (см. рисунок). В чем его ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/r0mkpu3gwc3x.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Высоту надо было провести из вершины тупого угла $N$, а не из вершины $P$","Отрезок $PK$ — медиана треугольника, а высота проходит в другом месте","У тупоугольного треугольника нет высоты, проведенной из вершины $P$","Высоту проводят к прямой $MN$: ее основание лежит на продолжении стороны за точкой $N$"],"explanations":["Высота есть из каждой вершины; из $P$ ее тоже можно провести — к прямой $MN$","Середина $MN$ — на 3 клетки от $N$, а $K$ — на 1 клетку: $PK$ не медиана","Перпендикуляр из $P$ к прямой $MN$ есть всегда, он лишь лежит вне треугольника",""],"answer":[3]}},"hints":["Высота — сгиб, при котором прямая $MN$ ложится сама на себя: это перпендикуляр к прямой $MN$, а не к отрезку. $PK$ идет по диагоналям клеток, угол $PKN$ равен $45^\\circ$.","Перпендикуляр к горизонтальной прямой $MN$ — вертикаль через $P$. Она встречает прямую $MN$ на 3 клетки левее $N$, на продолжении стороны.","Ответ: высоту проводят к прямой $MN$, ее основание — на продолжении стороны за точкой $N$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-7]]В треугольнике $STU$ стороны $TS$ и $TU$ равны, $TD$ — медиана (см. рисунок). Выберите все верные утверждения.[[choice-5]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vn5isz9keyrg.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$TD \\perp SU$","$\\angle T = \\angle U$","$\\angle STD = \\angle UTD$","$\\angle S = \\angle U$","$\\angle S = \\angle T$"],"explanations":["","$TU$ нарисована снизу, но это боковая сторона; углы $T$ и $U$ не прилежат к основанию $SU$","","","$T$ — вершина, где сходятся равные стороны; угол $T$ не прилежит к основанию"],"answer":[0,2,3]}},"hints":["Равные стороны сходятся в вершине $T$, значит, основание — $SU$, хотя снизу нарисована сторона $TU$. Перегните треугольник по $TD$: $S$ ляжет на $U$.","Углы при основании равны: $\\angle S = \\angle U$. Медиана к основанию — это и биссектриса, и высота: $\\angle STD = \\angle UTD$, $TD \\perp SU$.","Ответ: $\\angle S = \\angle U$, $\\angle STD = \\angle UTD$, $TD \\perp SU$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-8]]В треугольнике $EFG$ стороны $FE$ и $FG$ равны, $FK$ — медиана (см. рисунок). Выберите все верные утверждения.[[choice-6]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zpo54sxwxhuh.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\angle F = \\angle G$","$\\angle E = \\angle F$","$\\angle E = \\angle G$","$\\angle EFK = \\angle GFK$","$FK \\perp EG$"],"explanations":["$F$ — вершина, где сходятся равные стороны; угол $F$ не прилежит к основанию","$EF$ нарисована снизу, но это боковая сторона; углы $E$ и $F$ не прилежат к основанию $EG$","","",""],"answer":[2,3,4]}},"hints":["Равные стороны сходятся в вершине $F$, значит, основание — $EG$, хотя снизу нарисована сторона $EF$. Перегните треугольник по $FK$: $E$ ляжет на $G$.","Углы при основании равны: $\\angle E = \\angle G$. Медиана к основанию — это и биссектриса, и высота: $\\angle EFK = \\angle GFK$, $FK \\perp EG$.","Ответ: $\\angle E = \\angle G$, $\\angle EFK = \\angle GFK$, $FK \\perp EG$."],"step":1},{"id":"6","content":"Из проволоки длиной 28 см согнули равнобедренный треугольник, одна из его сторон равна 8 см. Какой может быть длина наибольшей стороны этого треугольника? Запишите меньшее из возможных значений в первое поле, большее — во второе. Наибольшая сторона равна [[input-3]] см или [[input-4]] см.","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"10"},"input-4":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Перегните равнобедренный треугольник по оси: боковые стороны совпадут. Данная сторона может быть боковой, а может быть основанием. Вся проволока — это периметр, 28 см.","Если 8 см — основание, то боковые стороны по $(28-8) : 2 = 10$ см: треугольник 10, 10, 8 см. Если 8 см — боковая сторона, то основание $28-8-8 = 12$ см: треугольник 8, 8, 12 см.","В треугольнике 10, 10, 8 наибольшая сторона 10 см, в треугольнике 8, 8, 12 — 12 см. Ответ: 10 см или 12 см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Из проволоки длиной 32 см согнули равнобедренный треугольник, одна из его сторон равна 10 см. Какой может быть длина наибольшей стороны этого треугольника? Запишите меньшее из возможных значений в первое поле, большее — во второе. Наибольшая сторона равна [[input-5]] см или [[input-6]] см.","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"11"},"input-6":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Перегните равнобедренный треугольник по оси: боковые стороны совпадут. Данная сторона может быть боковой, а может быть основанием. Вся проволока — это периметр, 32 см.","Если 10 см — основание, то боковые стороны по $(32-10) : 2 = 11$ см: треугольник 11, 11, 10 см. Если 10 см — боковая сторона, то основание $32-10-10 = 12$ см: треугольник 10, 10, 12 см.","В треугольнике 11, 11, 10 наибольшая сторона 11 см, в треугольнике 10, 10, 12 — 12 см. Ответ: 11 см или 12 см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр утверждает: «В каждом из этих случаев треугольники $DEF$ и $D_1E_1F_1$ равны». Выберите все случаи, в которых он прав.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$DE = E_1F_1$, $EF = D_1E_1$, $\\angle D = \\angle F_1$","$DE = E_1F_1$, $EF = D_1E_1$, $\\angle E = \\angle E_1$","Углы $D$, $E$, $F$ равны углам $D_1$, $E_1$, $F_1$ соответственно","$DF = D_1F_1$, $\\angle D = \\angle D_1$, $\\angle F = \\angle F_1$","$DE = D_1F_1$, $EF = F_1E_1$, $DF = D_1E_1$"],"explanations":["Угол $D$ не лежит между сторонами $DE$ и $EF$: две стороны и угол не между ними, хотя вершины соответствуют ($D \\to F_1$)","","Три угла задают форму, но не размер: треугольник и его увеличенная копия не равны","",""],"answer":[1,3,4]}},"hints":["Признак — гарантия, что калька ляжет одним способом: три стороны; две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих к ней угла. Калька может лечь и перевернутой — тогда буквы соответствуют не по порядку.","Сначала по равным сторонам найдите, какая вершина ложится на какую, потом проверьте, где стоит угол. $DE = E_1F_1$ и $EF = D_1E_1$: общая вершина $E$ ложится на общую вершину $E_1$, угол между этими сторонами — $E$ и $E_1$, а угол $D$ лежит не между ними. Три угла задают только форму.","Ответ: $DF$ и углы $D$, $F$; $DE = E_1F_1$, $EF = D_1E_1$ и угол $E$; три стороны $DE = D_1F_1$, $EF = F_1E_1$, $DF = D_1E_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр утверждает: «В каждом из этих случаев треугольники $KLM$ и $K_1L_1M_1$ равны». Выберите все случаи, в которых он прав.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Углы $K$, $L$, $M$ равны углам $K_1$, $L_1$, $M_1$ соответственно","$KL = K_1L_1$, $\\angle K = \\angle K_1$, $\\angle L = \\angle L_1$","$KM = L_1M_1$, $LM = K_1M_1$, $\\angle M = \\angle M_1$","$KM = L_1M_1$, $LM = K_1M_1$, $\\angle K = \\angle L_1$","$KL = K_1M_1$, $LM = M_1L_1$, $KM = K_1L_1$"],"explanations":["Три угла задают форму, но не размер: треугольник и его увеличенная копия не равны","","","Угол $K$ не лежит между сторонами $KM$ и $LM$: две стороны и угол не между ними, хотя вершины соответствуют ($K \\to L_1$)",""],"answer":[1,2,4]}},"hints":["Признак — гарантия, что калька ляжет одним способом: три стороны; две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих к ней угла. Калька может лечь и перевернутой — тогда буквы соответствуют не по порядку.","Сначала по равным сторонам найдите, какая вершина ложится на какую, потом проверьте, где стоит угол. $KM = L_1M_1$ и $LM = K_1M_1$: общая вершина $M$ ложится на общую вершину $M_1$, угол между этими сторонами — $M$ и $M_1$, а угол $K$ лежит не между ними. Три угла задают только форму.","Ответ: $KL$ и углы $K$, $L$; $KM = L_1M_1$, $LM = K_1M_1$ и угол $M$; три стороны $KL = K_1M_1$, $LM = M_1L_1$, $KM = K_1L_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Сопоставьте условие и признак, по которому равны названные треугольники.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ — середине каждого; треугольники $AOB$ и $COD$","$AB = AD$, $CB = CD$; треугольники $ABC$ и $ADC$","$\\angle BAC = \\angle DAC$, $\\angle BCA = \\angle DCA$; треугольники $ABC$ и $ADC$"],"items":["Первый признак","Третий признак","Второй признак","Признака с такими данными нет"]}},"hints":["Выпишите три пары равных элементов. Прилежащие к стороне углы — те, у которых эта сторона служит стороной угла.","Середина дает две пары сторон, вертикальные углы — угол между ними. $AB = AD$, $CB = CD$ и общая $AC$ — три стороны. Общая $AC$ и два угла при ней — сторона и прилежащие углы.","Ответ: первый, третий, второй признак."],"step":1},{"id":"8","content":"Сопоставьте условие и признак, по которому равны названные треугольники.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$OC$ — биссектриса угла $AOB$, $OA = OB$; треугольники $AOC$ и $BOC$","Отрезки $KM$ и $LN$ пересекаются в точке $O$, $KO = OM$, $\\angle OKL = \\angle OMN$; треугольники $KOL$ и $MON$","В четырехугольнике $ABCD$: $AB = CD$, $BC = DA$; треугольники $ABC$ и $CDA$"],"items":["Первый признак","Второй признак","Третий признак","Признака с такими данными нет"]}},"hints":["Выпишите три пары равных элементов. Прилежащие к стороне углы — те, у которых эта сторона служит стороной угла.","Биссектриса дает равные углы, $OC$ — общая сторона: две стороны и угол между ними. $KO = OM$, углы при $K$ и $M$ и вертикальные углы при $O$ — сторона и прилежащие углы. Две пары сторон и общая $AC$ — три стороны.","Ответ: первый, второй, третий признак."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-9]]Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AO = OC$ (см. рисунок). Решавр доказывает, что $AB = CD$, и пишет: «1) $AO = OC$ — по условию; 2) $\\angle AOB = \\angle COD$ — как вертикальные; 3) $BO = OD$, так как точка $O$ делит отрезки пополам; 4) $\\triangle AOB = \\triangle COD$ по первому признаку, значит, $AB = CD$». Есть ли в рассуждении ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/c60rkz09ez6s.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибок нет: на чертеже $BO = OD$, остальные шаги верны","Шаг 2: углы $AOB$ и $COD$ смежные, а не вертикальные","Шаг 3: $BO = OD$ не дано — в условии середина только у $AC$","Шаг 4: угол $AOB$ не лежит между сторонами $AO$ и $BO$"],"explanations":["Чертеж может быть неточным: каждое равенство должно следовать из условия или теоремы, а $BO = OD$ не дано","Стороны угла $COD$ — продолжения сторон угла $AOB$, общей стороны нет: это вертикальные углы","","Стороны угла $AOB$ — лучи $OA$ и $OB$, поэтому он лежит между $AO$ и $BO$"],"answer":[2]}},"hints":["В задаче кальки нет: каждое равенство должно следовать из условия или из доказанной теоремы, а чертеж может быть неточным. Сверьте каждый шаг с условием.","$AO = OC$ дано, вертикальные углы равны, угол $AOB$ лежит между $AO$ и $BO$. А в условии сказано только, что $O$ — середина $AC$; про $BD$ ничего не сказано. Без $BO = OD$ доказать нельзя: если сдвинуть $D$ по прямой $BD$, отрезок $CD$ изменится, а $AB$ — нет.","Ответ: ошибка в шаге 3 — равенство $BO = OD$ не дано и не доказано. Без него утверждение $AB = CD$ может быть неверным."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-10]]Дано: в четырехугольнике $KLMN$: $KL = MN$, $KN = ML$, проведена диагональ $LN$ (см. рисунок). Доказать: $\\angle KLN = \\angle MNL$. Решавр пишет: «1) $KL = MN$ — по условию; 2) $LN$ — общая сторона; 3) $\\angle KLN = \\angle MNL$, так как треугольники $KLN$ и $MNL$ равны; 4) $\\triangle KLN = \\triangle MNL$ по первому признаку, значит, $\\angle KLN = \\angle MNL$». Есть ли в рассуждении ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dyudepcugted.svg"},"choice-10":{"type":"choice","options":["Ошибок нет: все шаги верны, признак назван правильно","Шаг 1: равенство $KL = MN$ тоже надо доказать","Шаг 3: использовано равенство треугольников из шага 4","Шаг 2: $LN$ — диагональ, а не сторона треугольников"],"explanations":["Шаг 3 опирается на вывод шага 4 — это рассуждение по кругу","Равенство $KL = MN$ дано в условии, доказывать его не нужно","","$LN$ — диагональ четырехугольника, но сторона и треугольника $KLN$, и треугольника $MNL$"],"answer":[2]}},"hints":["Каждое равенство должно следовать из условия или из доказанной теоремы — но не из того, что еще надо доказать. Сверьте каждый шаг с условием.","Шаг 3 опирается на равенство треугольников, которое получается только в шаге 4: рассуждение идет по кругу. Верно так: $KL = MN$, $KN = ML$, $LN$ — общая — третий признак.","Ответ: ошибка в шаге 3 — равенство углов взято из того, что еще не доказано."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-11]]В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, медианы $AM$ и $A_1M_1$ равны (см. рисунок). Нужно доказать, что $\\triangle ABC = \\triangle A_1B_1C_1$. С какого шага верно начать доказательство?[[choice-11]]","widgets":{"image-11":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/thhj9xzcysnn.svg"},"choice-11":{"type":"choice","options":["$\\triangle ABC = \\triangle A_1B_1C_1$ сразу по первому признаку: $AB$, $BC$ и угол между ними","$\\triangle ABM = \\triangle A_1B_1M_1$ по третьему признаку: три пары сторон","$\\triangle AMC = \\triangle A_1M_1C_1$ по третьему признаку: $AM$, $MC$ и сторона $AC$","$\\triangle ABC = \\triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку: $AB$, $BC$ и $AM$","$\\triangle ABM = \\triangle B_1A_1M_1$ по третьему признаку: $AB$, $BM$, $AM$"],"explanations":["Угол $B$ между $AB$ и $BC$ не дан — его и надо получить","","$AC = A_1C_1$ не дано: третьей пары сторон нет","$AM$ — медиана, а не сторона треугольника $ABC$: третьей пары сторон нет","По такой записи $AM$ соответствует $B_1M_1$, а равны $AM$ и $A_1M_1$: буквы ставят по соответствию вершин"],"answer":[1]}},"hints":["Для первого признака у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ есть две пары сторон, а угла $B$ между ними нет. Нужна вспомогательная пара калек, равенство которой доказывается без угла $B$.","Медиана — сгиб «$B$ на $C$»: $BM$ — половина $BC$, значит, $BM = B_1M_1$. В треугольниках $ABM$ и $A_1B_1M_1$ три пары сторон: $AB$, $BM$, $AM$ — и порядок букв в записи соответствует.","Ответ: начать с $\\triangle ABM = \\triangle A_1B_1M_1$ по третьему признаку; из него $\\angle B = \\angle B_1$, затем первый признак для $ABC$ и $A_1B_1C_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-12]]В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $\\angle A = \\angle A_1$, биссектрисы $AL$ и $A_1L_1$ равны (см. рисунок). Нужно доказать, что $\\triangle ABC = \\triangle A_1B_1C_1$. С какого шага верно начать доказательство?[[choice-12]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/t1k45qx4ot4o.svg"},"choice-12":{"type":"choice","options":["$\\triangle ABL = \\triangle B_1A_1L_1$ по первому признаку: две стороны и угол","$\\triangle ABC = \\triangle A_1B_1C_1$ сразу по второму признаку: $AB$ и углы при ней","$\\triangle ABL = \\triangle A_1B_1L_1$ по первому признаку: $AB$, $AL$ и половины углов $A$","$\\triangle ALC = \\triangle A_1L_1C_1$ по первому признаку: $AL$, $AC$ и угол между ними","$\\triangle ABC = \\triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку: $AB$, $AL$ и угол $A$"],"explanations":["По такой записи $AL$ соответствует $B_1L_1$, а равны $AL$ и $A_1L_1$: буквы ставят по соответствию вершин","Дан только угол $A$; угол $B$ не дан — его и надо получить","","$AC = A_1C_1$ не дано: второй пары сторон нет","$AL$ — биссектриса, а не сторона треугольника $ABC$: второй пары сторон нет"],"answer":[2]}},"hints":["Для второго признака у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ есть сторона $AB$ и угол $A$, а второго угла при $AB$ — угла $B$ — нет. Нужна вспомогательная пара калек, равенство которой доказывается без угла $B$.","Биссектриса — сгиб «$AB$ на $AC$»: $\\angle BAL$ — половина угла $A$, значит, $\\angle BAL = \\angle B_1A_1L_1$. В треугольниках $ABL$ и $A_1B_1L_1$ две стороны $AB$, $AL$ и угол между ними — и порядок букв в записи соответствует.","Ответ: начать с $\\triangle ABL = \\triangle A_1B_1L_1$ по первому признаку; из него $\\angle B = \\angle B_1$, затем второй признак для $ABC$ и $A_1B_1C_1$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>