Треугольники

{"questions":[{"content":"Сколько точек, не лежащих на одной прямой, необходимо, чтобы построить <b>треугольник</b>?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["3","три"]}}},{"content":"Какой из ниже изображенных треугольников является <b>равнобедренным</b>? [[image-7]][[choice-14]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/01/1.svg"},"choice-14":{"type":"choice","options":["1","2","3"],"answer":[0]}}},{"content":"Равнобедренные треугольники обладают различными <i>свойствами</i>. <b>Одно</b> из них вытекает из определения. <b>Два</b> других мы доказали в качестве теорем. Выберите утверждения, которые относятся к этим свойствам. [[choice-37]]","widgets":{"choice-37":{"type":"choice","options":["Имеют равные углы при основаниях","Имеют равные боковые стороны","Имеют три равных стороны","Имеют три равных угла","Медианы к основанию являются и биссектрисами, и высотами","Имеют один угол больше $90^{\\circ}$"],"answer":[0,1,4]}},"step":1,"hints":["Что-то здесь относится не к равнобедренным треугольникам, а к равносторонним.","И еще кое-что — к тупоугольным треугольникам."]},{"content":"Соотнесите признаки равенства треугольников с положениями соответствующих теорем. Два признака в вариантах выбора — лишние: они не являются достаточным для доказательства равенства треугольников. Также найдите их и поместите в группу <b>«Лишнее»</b>. [[grouper-136]]","widgets":{"grouper-136":{"type":"grouper","labels":["Первый признак равенства","Второй признак равенства","Третий признак равенства","Лишнее"],"items":[["По двум сторонам и углу между ними"],["По стороне и прилежащим к ней углам"],["По трем сторонам"],["По двум сторонам","По стороне и прилежащей к ней углу"]]}}},{"content":"Периметр $P_{\\bigtriangleup{ABC}}$ равнобедренного треугольника $\\bigtriangleup{ABC}$ равен $7~см$, а боковая сторона равна $2~см$. Чему равняется основание треугольника? [[input-224]]","widgets":{"input-224":{"type":"input","unit":"см","answer":"3"}},"hints":["Периметр равнобедренного треугольника: $$P=2a+b,$$ где $a$ — длина боковой стороны, а $b$ — основания."]},{"content":"Если к теореме $A\\Rightarrow{B}$ существует теорема $B\\Rightarrow{A},$ то такая теорема будет называться: [[input-276]]","widgets":{"input-276":{"type":"input","answer":["обратной","обратная","обратные"]}},"hints":["«<b>Если я пойду в кино</b>, то хорошо проведу время» — «если я хорошо проведу время, <b>то я пойду в кино</b>». Эти утверждения по отношению друг к другу какие?"]},{"content":"Теорема о равнобедренном треугольнике гласит, что если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Как будет звучать <b>обратная</b> к данной теорема? [[choice-339]]","widgets":{"choice-339":{"type":"choice","options":["Если углы при основании равны, то треугольник равнобедренный","Если треугольники равны, то углы при основании треугольника равны","Если треугольник равнобедренный, то стороны при его основании равны"],"answer":[0]}}},{"content":"Основание $AB$ равнобедренного треугольника $\\bigtriangleup{ABC}$ равняется $8$. Медиана $AD$ разбивает $\\bigtriangleup{ABC}$ два треугольника так, что периметр одного больше периметра другого на $2$. <br /><br />Чему равняется боковая сторона $\\bigtriangleup{ABC}?$ [[image-457]] $BC=CA=$ [[input-476]]","widgets":{"image-457":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/01/2.svg"},"input-476":{"type":"input","inline":1,"answer":["10","6"]}},"step":1,"hints":["У данной задачи может быть два решения в зависимости от соотношения периметров. Для начала положим, что $P_1 < P_2$.","Обозначим боковую сторону как $x$. Треугольник равнобедренный, поэтому $BC=CA=x$. Поскольку $AD$ — медиана, то $CD=DB=0,5x$.","Согласно условию $P_1 < P_2:$ $P_1=P_2 - 2.$","Тогда: $$P_1=x+0,5x+AD\\\\P_2=8+0,5x+AD$$","$P_2-P_1=2$","$8-x=2$","Откуда получаем, что $x=6$. Однако если $P_2<P_1,$ то периметры будут связаны уравнением $P_2=P_1-2$. Следовательно, $x$ может равняться также $10$.","Ответ: $x=6$ или $x=10.$"]},{"content":"Вспомним определения важных отрезков в треугольниках. Из угла $A$ провели медиану, высоту и биссектрису. Соедините следующие пары, определив, что относится к <b>высоте</b>, что — к <b>биссектрисе</b>, а что — к <b>медиане</b>? [[matcher-965]]","widgets":{"matcher-965":{"type":"matcher","labels":["Биссектриса","Медиана","Высота"],"items":["Делит угол пополам","Делит противолежащую от угла сторону пополам","Является перпендикуляром к противолежащей от угла стороне"]}}},{"content":"Биссектрисы смежных углов: [[choice-1094]]","widgets":{"choice-1094":{"type":"choice","options":["Образуют угол $90^{\\circ}$","Образуют угол $>90^{\\circ}$","Образуют угол $<90^{\\circ}$"],"answer":[0]}}}],"mix":1}