7 класс Геометрия Треугольники Второй и третий признаки равенства треугольников

Задачи на доказательство: признаки равенства треугольников

Содержание

Вы знаете первый признак равенства треугольников, а также второй и третий признаки. В этом уроке научимся применять их в задачах на доказательство: находить на чертеже нужную пару треугольников, обосновывать каждый шаг и записывать решение так, как его проверяют на ОГЭ. В материалах ФИПИ для экспертов ОГЭ 2026 года одна и та же задача № 24 решена по-разному: одно решение оценено в 2 балла, другое — в 0 баллов; почему — разберем в конце урока.

Признак вместо кальки: как устроено доказательство

Начнем с задачи. Отрезки $MN$ и $PK$ пересекаются в точке $O$, и точка $O$ — середина каждого из них. Докажите, что $MP = NK$.

Перерисуйте треугольник $MOP$ на кальку и поверните кальку вокруг точки $O$ на пол-оборота. Кажется, что он ляжет на треугольник $NOK$: $M$ на $N$, $P$ на $K$. Но в задаче кальки нет, а «кажется» — не довод. Признак равенства — это гарантия, что наложение удастся, без самого наложения. Достаточно найти три пары равных элементов, которые подходят под один из признаков, и для каждой назвать причину.

Задача 1. Слева условие: отрезки MN и PK пересекаются в точке O, MO = ON, PO = OK, нужно сравнить MP и NK. Справа треугольники MOP и NOK: две пары сторон равны, углы MOP и NOK вертикальные — Отрезки $MP$ и $NK$ лежат в треугольниках $MOP$ и $NOK$: две пары сторон даны в условии, третья пара — вертикальные углы при точке $O$

Отрезки $MP$ и $NK$ — стороны треугольников $MOP$ и $NOK$. Две пары сторон дает условие, третью пару — вертикальные углы при точке $O$. Так устроено почти каждое доказательство равенства отрезков или углов.

Метод

Выясните, какие отрезки или углы нужно доказать равными.
Найдите два треугольника, в которых лежат эти элементы.
Выпишите три пары равных элементов и у каждой укажите причину: «по условию», «общая сторона», «как вертикальные» и так далее.
Назовите признак равенства треугольников.
Сделайте вывод: в равных треугольниках соответственные элементы равны.

Задача 1

Дано: отрезки $MN$ и $PK$ пересекаются в точке $O$, $MO = ON$, $PO = OK$.
Доказать: $MP = NK$.

Доказательство. Рассмотрим треугольники $MOP$ и $NOK$:

$MO = ON$ (по условию);
$PO = OK$ (по условию);
$\angle MOP = \angle NOK$ (как вертикальные).

Значит, $\triangle MOP = \triangle NOK$ по первому признаку. По записи $M \to N$, $O \to O$, $P \to K$, поэтому стороне $MP$ соответствует сторона $NK$ и $MP = NK$, что и требовалось доказать.

Ошибка

Решавр решает похожую задачу, где дано меньше: отрезки $MN$ и $PK$ пересекаются в точке $O$, $MO = ON$; доказать, что $MP = NK$. Он пишет: «$MO = ON$ (по условию), $\angle MOP = \angle NOK$ (как вертикальные), $\angle OMP = \angle ONK$ (видно на рисунке). Значит, $\triangle MOP = \triangle NOK$ по второму признаку и $MP = NK$».

Проверим. Нарисуем второй чертеж к тому же условию: $O$ — по-прежнему середина $MN$, но отрезок $OK$ вдвое длиннее $OP$ (рисунок ниже, справа). Условие выполнено, а углы $OMP$ и $ONK$ явно разные, и $MP \ne NK$. Утверждение без равенства $PO = OK$ просто неверно, а «доказательство» его «доказало».

Где сломалось: равенство углов взято с рисунка, а не из условия. На чертеже Решавра углы совпали случайно. Каждое равенство в доказательстве должно следовать из условия или из доказанной теоремы.

Одно условие, два чертежа. На чертеже 1 углы OMP и ONK кажутся равными, на чертеже 2 с тем же условием они разные: по рисунку равенство углов утверждать нельзя — Одно условие — два чертежа: слева углы $OMP$ и $ONK$ кажутся равными, справа они явно разные. Равенство «с рисунка» — не довод

{"questions":[{"content":"Расставьте по порядку шаги, по которым ищут доказательство равенства отрезков или углов.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выяснить, какие отрезки или углы нужно доказать равными","Найти два треугольника, в которых лежат эти элементы","Найти три пары равных элементов и указать причину для каждой","Назвать признак равенства треугольников","Сделать вывод о соответственных элементах"]}},"hints":["Начинают с цели: что именно надо доказать.","Потом ищут треугольники, в которых лежат эти элементы, и собирают три пары равных элементов с причинами.","Ответ: цель → треугольники → три пары с причинами → признак → вывод."],"step":1},{"content":"Нужно доказать утверждение: «Если отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам, то $AC = BD$». Как записать «Дано» и «Доказать»?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Дано: $AO = OB$, $CO = OD$, $AC = BD$. Доказать: $\\triangle AOC = \\triangle BOD$","Дано: $AO = OB$, $CO = OD$. Доказать: $AC = BD$","Дано: $AC = BD$. Доказать: $AO = OB$, $CO = OD$","Дано: $AO = OC$, $BO = OD$. Доказать: $AC = BD$"],"explanations":["В «Дано» попало то, что надо доказать","","Условие и заключение поменяны местами — это обратное утверждение","Перепутаны отрезки: $O$ — середина $AB$ и $CD$, поэтому $AO = OB$ и $CO = OD$"],"answer":[1]}},"hints":["В «Дано» — условие (то, что после «если»), в «Доказать» — заключение (то, что после «то»).","Условие: $O$ — середина $AB$ и $CD$. Заключение: $AC = BD$.","Ответ: Дано: $AO = OB$, $CO = OD$. Доказать: $AC = BD$."],"step":1},{"content":"Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AO = OC$. Решавр доказывает, что $AB = CD$: «1) $AO = OC$ — по условию; 2) $BO = OD$ — видно на рисунке; 3) $\\angle AOB = \\angle COD$ — как вертикальные; 4) $\\triangle AOB = \\triangle COD$ по первому признаку, поэтому $AB = CD$». Какой шаг не обоснован?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Шаг 4: первый признак","Шаг 3: $\\angle AOB = \\angle COD$","Шаг 1: $AO = OC$","Шаг 2: $BO = OD$"],"explanations":["Признак подходит: угол $AOB$ лежит между сторонами $AO$ и $BO$. Не обосновано $BO = OD$ — это шаг 2","Вертикальные углы равны — причина названа","Равенство $AO = OC$ дано в условии",""],"answer":[3]}},"hints":["Каждое равенство в доказательстве должно следовать из условия или из доказанной теоремы.","Шаг 1 дан в условии, шаг 3 — свойство вертикальных углов. А про отрезки $BO$ и $OD$ в условии ничего не сказано.","Ответ: шаг 2."],"step":1}],"mix":1}

Где на чертеже искать равные элементы

В задаче 1 третья пара нашлась сама: отрезки пересекаются, значит, есть вертикальные углы. Такие пары нужно увидеть на чертеже и назвать причину. Вот где они встречаются чаще всего.

Шесть подсказок условия: середина отрезка, вертикальные углы, общая сторона, общий угол, биссектриса, равнобедренный треугольник. Каждая дает пару равных элементов — Шесть подсказок условия: каждая дает пару равных элементов, которую можно отметить на чертеже и записать в доказательство

В условии сказано	Что отметить на чертеже	Причина в доказательстве
$O$ — середина отрезка $AB$	$AO = OB$	«$O$ — середина $AB$»
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$	$\angle AOC = \angle BOD$, $\angle AOD = \angle BOC$	«как вертикальные»
У треугольников $ABC$ и $ADC$ сторона $AC$ одна на двоих	$AC$ — сторона обоих треугольников	«общая сторона»
У треугольников $ABE$ и $ACD$ угол $A$ один на двоих	$\angle BAE = \angle CAD$	«общий угол»
$AD$ — биссектриса угла $BAC$	$\angle BAD = \angle CAD$	«по определению биссектрисы»
$\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$	$AB = BC$, $\angle A = \angle C$	«боковые стороны», «углы при основании»
$AH \perp BC$, точка $H$ на $BC$	$\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ$	«прямые углы»

Первые шесть строк показаны на рисунке, прямые углы при перпендикуляре встретятся в задаче 2. Каждая строка подсказывает, как одна «калька» могла бы лечь на другую: при общей стороне — перегнуть по ней или повернуть, при пересечении отрезков — повернуть вокруг точки $O$, при биссектрисе — перегнуть по биссектрисе. Но в доказательство идет не движение кальки, а причина из правого столбца: свойства равнобедренного треугольника и вертикальные углы уже доказаны.

Обратите внимание

Общая сторона — тоже пара равных элементов: отрезок равен самому себе. Ее записывают как отдельную пару: «$AC$ — общая сторона».

{"questions":[{"content":"Сопоставьте условие задачи и равенство, которое из него следует.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$O$ — середина отрезка $AB$","$BD$ — биссектриса угла $ABC$","$\\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$","Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$"],"items":["$AO = OB$","$\\angle ABD = \\angle CBD$","$\\angle A = \\angle C$","$\\angle AOB = \\angle COD$","$AB = BD$"]}},"hints":["Середина делит отрезок на равные части; биссектриса делит угол пополам; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; при пересечении прямых вертикальные углы равны.","Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в $O$: лучи $OA$ и $OC$, $OB$ и $OD$ — дополнительные, углы $AOB$ и $COD$ вертикальные.","Ответ: $AO = OB$; $\\angle ABD = \\angle CBD$; $\\angle A = \\angle C$; $\\angle AOB = \\angle COD$."],"step":1},{"content":"Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, $CO = OD$. Других данных нет. Распределите равенства: какие можно записать в доказательство, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Можно записать: есть причина","Нельзя записать: причины нет"],"items":[["$CO = OD$","$\\angle AOC = \\angle BOD$","$\\angle AOD = \\angle BOC$"],["$AO = OB$","$AC = BD$","$\\angle OAC = \\angle OBD$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Записать можно только то, что дано в условии или следует из доказанной теоремы. Чертеж к условию можно нарисовать по-разному.","$CO = OD$ — дано; углы $AOC$ и $BOD$, $AOD$ и $BOC$ — вертикальные. Про $AO$ и $OB$ в условии ничего нет: на другом чертеже они разные.","Можно: $CO = OD$, $\\angle AOC = \\angle BOD$, $\\angle AOD = \\angle BOC$. Нельзя: $AO = OB$, $AC = BD$, $\\angle OAC = \\angle OBD$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ равны, углы $BAC$ и $DAC$ тоже равны (см. рисунок). Нужно доказать, что $BC = DC$. Какие треугольники удобно рассмотреть?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/jlpimytgsxsd.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$ABD$ и $CBD$","$ABC$ и $ADC$","$BOC$ и $DOC$","$ABO$ и $ADO$"],"explanations":["В треугольнике $ABD$ нет ни $BC$, ни $DC$","","В них есть $BC$ и $DC$, но из условия не найти трех пар равных элементов: о $BO$ и $OD$ пока ничего не известно","Эти треугольники равны, но отрезков $BC$ и $DC$ в них нет"],"answer":[1]}},"hints":["Нужные отрезки $BC$ и $DC$ должны быть сторонами выбранных треугольников, и для них должны найтись три пары равных элементов.","В треугольниках $ABC$ и $ADC$: $AB = AD$, $\\angle BAC = \\angle DAC$, $AC$ — общая.","Ответ: $ABC$ и $ADC$."],"step":1}],"mix":1}

Какой признак выбрать и что он дает

Признак выбирают по тому, какие три пары нашлись: две стороны и угол между ними — первый признак, сторона и два прилежащих к ней угла — второй, три стороны — третий.

Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$. Через точку $M$ проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе. Она пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Докажите, что $AB = AC$. Калька подсказывает идею: если перегнуть лист по биссектрисе, луч $AB$ ляжет на луч $AC$, а перпендикулярная прямая — сама на себя. Значит, $B$ ляжет на $C$. Доказательство передает эту мысль признаком.

Задача 2

Дано: $AM$ — биссектриса угла $BAC$, $BC \perp AM$, точка $M$ лежит на $BC$.
Доказать: $AB = AC$.

Доказательство. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $ACM$:

$\angle BAM = \angle CAM$ (по определению биссектрисы);
$AM$ — общая сторона;
$\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$ (так как $BC \perp AM$).

Углы $BAM$ и $AMB$ прилежат к стороне $AM$, углы $CAM$ и $AMC$ — тоже. Значит, $\triangle ABM = \triangle ACM$ по второму признаку. Стороне $AB$ соответствует сторона $AC$, поэтому $AB = AC$, что и требовалось доказать.

Задача 3

В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ равны, $CB$ и $CD$ — тоже. Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.

Дано: $ABCD$ — четырехугольник, $AB = AD$, $CB = CD$.
Доказать: $\angle BAC = \angle DAC$.

Доказательство. Проведем диагональ $AC$ и рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$:

$AB = AD$ (по условию);
$CB = CD$ (по условию);
$AC$ — общая сторона.

Значит, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по третьему признаку. По записи $A \to A$, $B \to D$, $C \to C$, поэтому углу $BAC$ соответствует угол $DAC$ и $\angle BAC = \angle DAC$. Луч $AC$ делит угол $BAD$ пополам, то есть является его биссектрисой, что и требовалось доказать.

Задача 3. Четырехугольник ABCD со стороной AC общей для треугольников ABC и ADC: AB = AD, CB = CD, нужно сравнить углы BAC и DAC — Две пары сторон даны, третья пара — общая диагональ $AC$: третий признак, отсюда $\angle BAC = \angle DAC$

Калька подсказывает этот ответ сразу: если перегнуть лист по $AC$, точка $B$ ляжет на $D$. Из-за формы такой четырехугольник называют «воздушным змеем». В задаче 3 углов в условии не было совсем — только стороны, и третий признак сам дал равные углы. Тем же рассуждением в уроке «Задачи на построение циркулем и линейкой» доказывают, что луч, построенный циркулем и линейкой, — биссектриса угла.

Последний шаг — вывод. Равны только соответственные элементы. Их находят по порядку букв в записи равенства треугольников, а не по тому, как треугольники расположены на чертеже.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны, $AD$ и $CB$ — тоже, проведена диагональ $BD$ (см. рисунок). По какому признаку равны треугольники $ABD$ и $CDB$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dwvxxdjxfeu8.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["По второму признаку","По первому признаку","По третьему признаку","Ни по какому: равных углов нет"],"explanations":["Для второго признака нужны два угла, а они не даны","Равные углы не даны, а без угла первый признак не применить","","Углы не нужны: общая сторона $BD$ дает третью пару сторон"],"answer":[2]}},"hints":["Выпишите три пары: $AB = CD$, $AD = CB$ (по условию), $BD$ — общая.","Три пары сторон — третий признак.","Ответ: по третьему признаку."],"step":1},{"content":"Точка $D$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Доказано, что $\\triangle ABD = \\triangle ACD$. Какое равенство из этого следует?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$AB = DC$","$AB = BD$","$\\angle BAD = \\angle ACD$","$BD = CD$"],"explanations":["Стороне $AB$ соответствует $AC$, а стороне $DC$ — сторона $DB$","$AB$ и $BD$ — стороны одного треугольника, а не соответственные стороны двух","Углу $BAD$ соответствует угол $CAD$, а не $ACD$",""],"answer":[3]}},"hints":["Соответствие по записи: $A \\to A$, $B \\to C$, $D \\to D$.","Стороне $BD$ соответствует сторона $CD$.","Ответ: $BD = CD$."],"step":1}],"mix":1}

Когда одной пары треугольников мало

Продолжим задачу 3. Пусть диагонали «змея» $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажем, что $BO = OD$ и $AC \perp BD$.

Отрезки $BO$ и $OD$ лежат в треугольниках $ABO$ и $ADO$. В них $AB = AD$ (по условию) и $AO$ — общая сторона. Третьей пары в условии нет. Перегиб по $AC$ подсказывает ответ: $B$ ляжет на $D$, и $BO$ совпадет с $DO$. В доказательстве перегиб заменяют две пары треугольников. Первая пара дает равные углы при $A$: из задачи 3 $\angle BAC = \angle DAC$, а это те же углы $BAO$ и $DAO$. Доказательство становится цепочкой из двух шагов.

Задача 4

Дано: $ABCD$ — четырехугольник, $AB = AD$, $CB = CD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
Доказать: $BO = OD$, $AC \perp BD$.

Доказательство. 1) $\triangle ABC = \triangle ADC$ по третьему признаку (задача 3), поэтому $\angle BAC = \angle DAC$, то есть $\angle BAO = \angle DAO$.

2) Рассмотрим треугольники $ABO$ и $ADO$: $AB = AD$ (по условию), $\angle BAO = \angle DAO$ (шаг 1), $AO$ — общая сторона. Значит, $\triangle ABO = \triangle ADO$ по первому признаку.

3) Отсюда $BO = OD$ и $\angle AOB = \angle AOD$. Эти углы смежные, их сумма равна $180^\circ$, поэтому каждый из них равен $90^\circ$ и $AC \perp BD$, что и требовалось доказать.

Ошибка

Решавр доказывает только $BO = OD$ и пишет: «$\triangle ABO = \triangle ADO$ по третьему признаку: $AB = AD$ (по условию), $AO$ — общая сторона, $BO = OD$. Значит, $BO = OD$».

Проверим. Равенство $BO = OD$ — это то, что требуется доказать, а Решавр взял его как данное. Условие $CB = CD$ в его рассуждении не использовано. Значит, то же «доказательство» годилось бы для любого четырехугольника, где $AB = AD$. Но на рисунке ниже, справа, $AB = AD$, $CB \ne CD$ — и $BO \ne OD$.

Где сломалось: вывод опирается сам на себя, рассуждение замкнулось в петлю. Нужна другая пара треугольников: сначала $\triangle ABC = \triangle ADC$, и только потом $\triangle ABO = \triangle ADO$.

Ошибка 2. Слева схема рассуждения Решавра: равенство BO = OD выведено из равенства треугольников ABO и ADO, а оно само опирается на BO = OD, условие CB = CD не использовано. Справа четырехугольник с AB = AD и CB не равно CD, где BO не равно OD — Слева: у Решавра $BO = OD$ — и посылка, и вывод, это петля. Справа: $AB = AD$, но $CB \ne CD$ — и отрезки $BO$ и $OD$ разные

Важно

Прежде чем назвать признак, сверьте каждую пару с тем, что нужно доказать. Если пара совпадает с целью, ищите другой путь — обычно другую пару треугольников.

{"questions":[{"content":"Известно, что $\\triangle ABC = \\triangle A_1B_1C_1$, $M$ — середина $AC$, $M_1$ — середина $A_1C_1$. Расставьте шаги доказательства равенства $BM = B_1M_1$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $\\angle A = \\angle A_1$, $AC = A_1C_1$","$AM = A_1M_1$ как половины равных отрезков $AC$ и $A_1C_1$","В треугольниках $ABM$ и $A_1B_1M_1$: $AB = A_1B_1$, $AM = A_1M_1$, $\\angle A = \\angle A_1$","$\\triangle ABM = \\triangle A_1B_1M_1$ по первому признаку","Значит, $BM = B_1M_1$"]}},"hints":["$BM$ и $B_1M_1$ — стороны треугольников $ABM$ и $A_1B_1M_1$; данные для них берут из первого равенства.","Из $\\triangle ABC = \\triangle A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $\\angle A = \\angle A_1$, $AC = A_1C_1$, а половины равных отрезков равны.","Ответ: соответственные элементы → $AM = A_1M_1$ → три пары → первый признак → $BM = B_1M_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ $AB = CB$, $BO$ — биссектриса, точка $O$ лежит на $AC$. Решавр доказывает, что $AO = OC$: «$\\triangle ABO = \\triangle CBO$ по третьему признаку: $AB = CB$, $BO$ — общая, $AO = OC$. Значит, $AO = OC$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо было применить второй признак","$BO$ нельзя считать общей стороной","Ошибки нет: три пары сторон равны","В доказательстве использовано то, что надо доказать: $AO = OC$"],"explanations":["Для второго признака нужны углы, прилежащие к $BO$; второй из них неизвестен. Подходит первый признак","$BO$ — сторона обоих треугольников, это верно","Пара $AO = OC$ не дана и не доказана — это и есть цель",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте, нет ли среди пар того, что требуется доказать.","Равенство $AO = OC$ — цель доказательства, его нельзя брать как данное. Верно так: $AB = CB$, $\\angle ABO = \\angle CBO$ (биссектриса), $BO$ — общая — первый признак.","Ответ: использовано то, что надо доказать."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как проверяют доказательство на ОГЭ

Задание № 24 ОГЭ по математике — геометрическая задача на доказательство. Эксперты оценивают его по критериям из методических материалов ФИПИ 2026 года.

Баллы	Критерий ФИПИ
2	Доказательство верное, все шаги обоснованы
1	Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Теперь — ответ на вопрос из начала урока. В тех же материалах разобраны решения одной задачи № 24. Одно оценено в 2 балла: доказательство понятное, полное и верное. В другом два утверждения не доказаны, и «без этого рассуждение не является достаточным» — 0 баллов. Там же сказано, что чертеж только иллюстрирует решение. Эксперт, как и вы, работает без кальки: он не смотрит, «видно» ли равенство, а ищет причину. Один балл ставят, когда рассуждение верное, но в записи есть неточность, которая не меняет хода доказательства.

Пример

Та же ситуация на задаче попроще (это не задача из материалов ФИПИ). В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ на продолжениях основания за точки $A$ и $C$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что $AM = CK$. Докажите, что $BM = BK$. Сравним два решения.

Решения отличаются только строкой «Пара 3».

Шаг	Решение 1	Решение 2
Треугольники	$ABM$ и $CBK$	$ABM$ и $CBK$
Пара 1	$AB = CB$ (боковые стороны)	$AB = CB$ (боковые стороны)
Пара 2	$AM = CK$ (по условию)	$AM = CK$ (по условию)
Пара 3	$\angle BAM = \angle BCK$ (смежные с равными углами $BAC$ и $BCA$ при основании)	$\angle BAM = \angle BCK$ (видно на рисунке)
Вывод	$\triangle ABM = \triangle CBK$ по первому признаку, поэтому $BM = BK$	$\triangle ABM = \triangle CBK$ по первому признаку, поэтому $BM = BK$
Оценка	2 балла: все шаги обоснованы	0 баллов: равенство углов — ключевой шаг, без причины доказательства нет

Пропущенная причина у ключевого равенства — не неточность записи: без нее рассуждение недостаточно, как в разобранном ФИПИ решении на 0 баллов. Углы $BAM$ и $BCK$ не даны в условии, но их равенство следует из доказанного: углы $BAC$ и $BCA$ равны как углы при основании, а $\angle BAM = 180^\circ-\angle BAC$ и $\angle BCK = 180^\circ-\angle BCA$ как смежные с ними.

{"questions":[{"content":"Задача: «В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $CB$ равны. На сторонах $AB$ и $CB$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что $BM = BK$. Докажите, что $AK = CM$». Какое решение соответствует критерию «Доказательство верное, все шаги обоснованы» (2 балла)?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$AB = CB$, $BK = BM$ (по условию), $AK = CM$; $\\triangle ABK = \\triangle CBM$ по третьему признаку, значит, $AK = CM$","$AB = CB$, $BK = BM$ (по условию), $\\angle B$ — общий; $\\triangle ABK = \\triangle CBM$ по второму признаку, значит, $AK = CM$","$AB = CB$, $BK = BM$ (по условию), $\\angle B$ — общий; $\\triangle ABK = \\triangle CBM$ по первому признаку, значит, $AK = CM$","$AB = CB$, $BK = BM$ (по условию), $\\angle ABK = \\angle CBM$ (видно на рисунке); $\\triangle ABK = \\triangle CBM$ по первому признаку, значит, $AK = CM$"],"explanations":["Использовано то, что надо доказать: $AK = CM$","Назван не тот признак: две стороны и угол между ними — это первый признак","","Причина равенства углов не названа: это один и тот же угол $B$, а «видно на рисунке» — не довод"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте у каждого решения: все ли три пары обоснованы, нет ли опоры на доказываемое, верно ли назван признак.","Отрезки $AK$ и $CM$ лежат в треугольниках $ABK$ и $CBM$. Угол $B$ у них общий и лежит между равными сторонами.","Ответ: решение с общим углом $B$ и первым признаком."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Равенство отрезков или углов почти всегда доказывают одним путем: две «кальки» — пара треугольников с нужными элементами, три пары равных элементов с причинами, признак, вывод о соответственных элементах. Калька подсказывает идею, а признак ее доказывает. Этот метод нужен для задания № 24 ОГЭ и для теорем, которые вы будете доказывать дальше.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли сослаться на чертеж, если равенство очевидно?

Нет. Чертеж помогает увидеть идею, но не служит доводом: равенство на нем может оказаться случайным, как у Решавра в первом разделе.

Обязательно ли писать «Дано» и «Доказать»?

Критерии ФИПИ оценивают верность и обоснованность доказательства, а не форму записи. Но запись «Дано — Доказать» помогает не перепутать условие с целью — то, что можно использовать, и то, что еще нужно доказать.

Что делать, если нужная пара треугольников не видна?

Отметьте на чертеже все данные и пары из таблицы второго раздела. Если в треугольниках с нужными элементами пар меньше трех, ищите другую пару треугольников, которая даст недостающий элемент. Иногда нужные треугольники появляются, только если провести отрезок, например диагональ, как в задаче 3.

Как не перепутать соответственные элементы?

Смотрите на порядок букв в записи равенства. Если $\triangle ABC = \triangle ADC$, то $A \to A$, $B \to D$, $C \to C$: стороне $AB$ соответствует $AD$, углу $BAC$ — угол $DAC$.

Почему нельзя использовать то, что нужно доказать, если это все равно верно?

Доказательство должно показать, почему утверждение верно, а не повторить его. Рассуждение, которое опирается на свой же вывод, «доказывает» что угодно: у Решавра в четвертом разделе оно годилось бы и для четырехугольника, где $BO \ne OD$.

Награды за урок