Параллелограмм: свойства и признаки

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Периметр параллелограмма $ABCD$ равен $40$, сторона $AB = 12$. Найдите $AD$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Полупериметр $40 : 2 = 20$ равен $AB + AD$.","$AD = 20-12 = 8$."],"step":1},{"id":"1","content":"Периметр параллелограмма $ABCD$ равен $54$, сторона $AB = 15$. Найдите $AD$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Полупериметр $54 : 2 = 27$ равен $AB + AD$.","$AD = 27-15 = 12$."],"step":1},{"id":"2","content":"В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $47^\\circ$. Найдите $\\angle D$ в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"133"}},"hints":["$\\angle A$ и $\\angle D$ — соседние: в сумме $180^\\circ$.","$\\angle D = 180^\\circ-47^\\circ = 133^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"В параллелограмме $ABCD$ угол $B$ равен $118^\\circ$. Найдите $\\angle C$ в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"62"}},"hints":["$\\angle B$ и $\\angle C$ — соседние: в сумме $180^\\circ$.","$\\angle C = 180^\\circ-118^\\circ = 62^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите утверждения: верно для любого параллелограмма $ABCD$ или верно не для всякого.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно для любого параллелограмма","Верно не для всякого параллелограмма"],"items":[["$\\angle A = \\angle C$","$\\angle A + \\angle B = 180^\\circ$","$AO = OC$, где $O$ — точка пересечения диагоналей"],["$AC = BD$","$AC \\perp BD$","$\\angle A = 90^\\circ$"]]}},"hints":["Свойства любого параллелограмма: противоположные углы равны, соседние углы в сумме $180^\\circ$, диагонали делятся точкой пересечения пополам.","Равные диагонали бывают только у прямоугольника, перпендикулярные — только у ромба; прямые углы — только у прямоугольника.","Ответ: первые три — для любого, последние три — не для всякого."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите утверждения: верно для любого параллелограмма $ABCD$ или верно не для всякого.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно для любого параллелограмма","Верно не для всякого параллелограмма"],"items":[["$AB = CD$","$\\triangle ABC = \\triangle CDA$","$\\angle A + \\angle B + \\angle C + \\angle D = 360^\\circ$"],["$AB = BC$","$AC$ — биссектриса угла $A$","$AC = BD$"]]}},"hints":["Свойства любого параллелограмма: противоположные стороны равны, диагональ делит его на два равных треугольника, сумма углов $360^\\circ$.","Равные соседние стороны — у ромба; диагональ-биссектриса угла — тоже у ромба; равные диагонали — у прямоугольника.","Ответ: первые три — для любого, последние три — не для всякого."],"step":1},{"id":"4","content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AB = CD$ и $BC = AD$. Что можно утверждать?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$ABCD$ — прямоугольник","Ничего нельзя утверждать","$ABCD$ — трапеция","$ABCD$ — параллелограмм"],"explanations":["Равенство противоположных сторон не дает прямых углов: такими бывают параллелограммы с острыми углами","Две пары равных противоположных сторон — признак параллелограмма","У трапеции параллельна только одна пара сторон, а две пары равных противоположных сторон бывают только у параллелограмма",""],"answer":[3]}},"hints":["Признак: если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он параллелограмм."]},{"id":"4","content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AB \\parallel CD$ и $AB = CD$. Что можно утверждать?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$ABCD$ — ромб","Ничего нельзя утверждать","$ABCD$ — параллелограмм","$ABCD$ — трапеция"],"explanations":["Для ромба нужны равные соседние стороны — этого в условии нет","Равные и параллельные противоположные стороны — признак параллелограмма","","Равные и параллельные противоположные стороны дают параллелограмм: в трапеции параллельные стороны всегда разной длины"],"answer":[2]}},"hints":["Признак: если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то он параллелограмм."]},{"id":"5","content":"«Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам». Что это — свойство или признак?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Признак параллелограмма","Свойство параллелограмма","Аксиома","Определение параллелограмма"],"explanations":["В признаке вывод — «это параллелограмм», а здесь параллелограмм уже дан","","Это теорема: ее доказывают через равные треугольники","Определение — через параллельные стороны, а не через диагонали"],"answer":[1]}},"hints":["Свойство — что следует из того, что фигура параллелограмм.","Здесь «параллелограмм» дано, а вывод — про диагонали: это свойство."],"step":1},{"id":"5","content":"«Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он — параллелограмм». Что это — свойство или признак?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Аксиома","Свойство параллелограмма","Признак параллелограмма","Определение параллелограмма"],"explanations":["Это теорема: ее доказывают через равные треугольники","В свойстве параллелограмм дан, а здесь он — вывод","","Определение — через параллельные стороны"],"answer":[2]}},"hints":["Признак — как узнать, что фигура параллелограмм.","Здесь вывод «это параллелограмм»: признак."],"step":1},{"id":"6","content":"В параллелограмме $ABCD$ углы $A$ и $B$ относятся как $2 : 7$. Найдите меньший угол в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Соседние углы в сумме $180^\\circ$: $2x + 7x = 180$, $x = 20$.","Меньший угол: $2 \\cdot 20 = 40^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"В параллелограмме $ABCD$ углы $A$ и $B$ относятся как $4 : 5$. Найдите больший угол в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"100"}},"hints":["Соседние углы в сумме $180^\\circ$: $4x + 5x = 180$, $x = 20$.","Больший угол: $5 \\cdot 20 = 100^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Запишите равенство треугольников с верным порядком вершин: $\\triangle AOB =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\triangle DOC$","$\\triangle COD$","$\\triangle OCD$","$\\triangle BOC$"],"answer":1}},"hints":["Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: $AO = OC$, $BO = OD$.","Углы $AOB$ и $COD$ вертикальные, значит, $\\triangle AOB = \\triangle COD$ по двум сторонам и углу между ними.","Соответствуют вершины $A \\to C$, $O \\to O$, $B \\to D$. Ответ: $\\triangle COD$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на два треугольника. Запишите их равенство с верным порядком вершин: $\\triangle ABD =$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\triangle BCD$","$\\triangle CBD$","$\\triangle DCB$","$\\triangle CDB$"],"answer":3}},"hints":["Противоположные стороны параллелограмма равны: $AB = CD$, $AD = CB$; сторона $BD$ общая.","Значит, $A \\to C$, $B \\to D$, $D \\to B$: $AB = CD$, $BD = DB$, $DA = BC$.","Ответ: $\\triangle CDB$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-1]]В четырехугольнике $ABCD$ известно, что $BC \\parallel AD$ и $AB = CD$. Можно ли утверждать, что $ABCD$ — параллелограмм?[[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kx1uhyjozcco.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Да: есть параллельные и равные стороны","Нет: это может быть равнобокая трапеция","Да: равных сторон две","Нет: параллелограмм не бывает с равными сторонами"],"explanations":["Параллельны стороны $BC$ и $AD$, а равны $AB$ и $CD$ — другая пара: признак требует равных и параллельных одной пары","","Две равные стороны есть и у равнобокой трапеции, которая не параллелограмм","Параллелограмм как раз имеет по две пары равных противоположных сторон"],"answer":[1]}},"hints":["Параллельна одна пара, а равны другие стороны — это условие не из признаков.","Равнобокая трапеция подходит под условие и не параллелограмм. Ответ: нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Диагональ $AC$ четырехугольника $ABCD$ делит диагональ $BD$ пополам, а диагональ $BD$ диагональ $AC$ пополам не делит. Параллелограмм ли $ABCD$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Да, но только если $AC \\perp BD$","Нет: у параллелограмма обе диагонали делятся пополам, а $AC$ — нет","Да: диагональ $BD$ делится пополам","Да: $BO = OD$ — признак параллелограмма"],"explanations":["Перпендикулярность тут ни при чем: параллелограмм не получится, пока $AC$ не делится пополам","","Признак требует, чтобы пополам делились обе диагонали, а не одна","Признак — равенство обеих пар отрезков: $AO = OC$ и $BO = OD$"],"answer":[1]}},"hints":["У параллелограмма обе диагонали делятся точкой пересечения пополам.","Здесь $AC$ пополам не делится, значит, это не параллелограмм (например, дельтоид)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-2]]В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$, $AB = 8$, $AD = 13$ (см. рисунок). Найдите $MC$. [[input-7]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/4vj9v9sdfbzp.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Треугольник $ABM$ равнобедренный: $BM = AB = 8$.","$MC = BC-BM = 13-8 = 5$."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-3]]В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$, $AB = 5$, $AD = 12$ (см. рисунок). Найдите $MC$. [[input-8]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/g88owz8d8nyg.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Треугольник $ABM$ равнобедренный: $BM = AB = 5$.","$MC = BC-BM = 12-5 = 7$."],"step":1},{"id":"10","content":"Диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AO = OC$ и $AC = BD$. Встречается рассуждение: «Одна диагональ делится пополам и диагонали равны — значит, $ABCD$ параллелограмм». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: диагонали равны и одна делится пополам","Диагонали параллелограмма не могут быть равными","Надо проверить, что $AB \\parallel CD$ и $AB = CD$ одновременно","Не дано $BO = OD$, а равенство диагоналей не признак параллелограмма"],"explanations":["Признак 3 требует, чтобы пополам делились обе диагонали, а равенство длин диагоналей признаком не является","Могут: у прямоугольника диагонали равны; дело в том, что равенство $AC = BD$ параллелограмм не доказывает","Это другой признак (признак 1); ошибка в данном рассуждении — не дано $BO = OD$, а $AC = BD$ ничего не доказывает",""],"answer":[3]}},"hints":["Признак 3 требует, чтобы пополам делились <em>обе</em> диагонали: $AO = OC$ и $BO = OD$.","Про $BO$ и $OD$ ничего не дано, а равенство длин диагоналей $AC = BD$ признаком не является."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = OD$ и $AB = AD$. Встречается рассуждение: «Диагональ $BD$ делится пополам и две стороны равны — значит, $ABCD$ параллелограмм». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: диагональ делится пополам и есть равные стороны","Равные соседние стороны $AB = AD$ невозможны у параллелограмма","Надо еще доказать, что $AC = BD$","Не дано $AO = OC$: пополам делится только диагональ $BD$, это может быть дельтоид"],"explanations":["Признак 3 требует, чтобы пополам делились обе диагонали, а $AB = AD$ — соседние стороны, признака тут нет","Возможны: у ромба все стороны равны, а ромб — параллелограмм; дело в том, что $AO = OC$ не дано","Равенство диагоналей — не признак параллелограмма (оно есть у равнобокой трапеции); нужно $AO = OC$",""],"answer":[3]}},"hints":["Признак 3 требует, чтобы пополам делились обе диагонали: $AO = OC$ и $BO = OD$.","Здесь $AO = OC$ не дано; под условие подходит дельтоид, у которого $BO = OD$ и $AB = AD$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>