ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Параллелограмм, его свойства и признаки
Ранее мы уже рассмотрели свойства четырехугольников и теперь переходим к более детальному изучению одного из их частных случаев — параллелограмма.
На этом уроке мы узнаем, по каким признакам можно определить параллелограмм, какие свойства он имеет и как применять их при решении задач.
Параллелограмм и его свойства
Параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, то есть все его внутренние углы меньше $180^\circ$, и вершины фигуры расположены по одну сторону от каждой диагонали.
Его отличие от обычного четырехугольника можно описать точным определением.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
$AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$.
Следствие из определения
По определению, стороны параллелограмма лежат на параллельных прямых, а у них, в свою очередь, свои законы. Эти законы позволяют нам сделать вывод, что сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$.
Действительно, если, по определению $AD \parallel BC$, то $AB$ будет являться секущей, а углы $A$ и $B$ — внутренними односторонними.
Из теоремы о параллельных прямых нам известно, что сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, следовательно $\angle A + \angle В = 180^\circ$.
Аналогично возможно рассмотреть любую другую пару соседних углов параллелограмма и результат будет тот же.
Данное следствие дает нам возможность упрощенного и быстрого решения различных задач. А в каких-то случаях без него просто не обойтись.
Задача
В параллелограмме $ABCD$ проведены биссектрисы из двух соседних углов, пересекающиеся в точке $E$.
Докажите, что биссектрисы пересекаются под прямым углом.
Доказательство
Скрыть
Пусть биссектрисы проведены из углов $A$ и $B$. Если это биссектрисы, значит, они разделят углы пополам.
$\angle A + \angle В = 180^\circ$ — являются внутренними односторонними при $AD \parallel BC$ и секущей $AB$.
Следовательно, половина суммы этих углов будет равна $90^\circ$ $\Rightarrow$ $\triangle ABE$ — прямоугольный (только у прямоугольного треугольника два угла в сумме дают $90^\circ$).
Если $\triangle ABE$ — прямоугольный, то $\angle AEB = 90^\circ$ $\Rightarrow$ биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
Что и требовалось доказать.
У каждой геометрической фигуры есть свои особенности — то, что всегда остается верным, независимо от размеров или угла поворота. Эти особенности называются свойствами. Сейчас мы рассмотрим, какие свойства есть у параллелограмма и как они помогают в решении задач.
Свойство № 1
Глядя на изучаемую нами фигуру, заметно, что стороны и углы, которые находятся друг против друга, равны. Об этом говорится в первом свойстве. Сформулируем и докажем его.
В параллелограмме противоположные стороны и углы равны.
Доказательство
Скрыть
Дано: параллелограмм $ABCD$.
Доказать: $AB = CD$, $AD = BC$, $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
Проведем диагональ $AC$ и рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$.
- $\angle BAC = \angle DCA$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ (по определению параллелограмма) и секущей $AC$.
- $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие при $AD \parallel BC$ (по определению параллелограмма) и секущей $AC$.
- $AC$ — общая сторона для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Если накрест лежащие углы попарно равно, то и их суммы будут равны. Значит, $\angle A = \angle C$.
Мы доказали равенство треугольников, из этого следует равенство соответственных элементов:
$AB = CD$, $AD = BC$, $\angle B = \angle D$.
Что и требовалось доказать.
Данное свойство является самым важным, оно часто используется в задачах, доказательствах других свойств и теорем. Его нужно хорошо запомнить.
Задача
Один из углов параллелограмма равен $78^\circ$. Найдите остальные углы.
Решение
Скрыть
Как видно, в задаче не сказано какой это угол $A$, $B$, $C$ или $D$, но можно заметить, что он меньше $90^\circ$, а, значит, острый.
Тогда, пусть $\angle A = 78^\circ$.
По свойству параллелограмма — противоположные углы равны, следовательно $\angle A =\angle C = 78^\circ$.
Сумма углов любого четырехугольника равна $360^\circ$, а противоположные углы параллелограмма равны, значит,
$$\angle B = \angle D = \dfrac{360 -2 \cdot 78}{2} = 102^\circ.$$
Ответ: $\angle C = 78^\circ$, $\angle B = \angle D = 102^\circ$.
Свойство № 2
У параллелограмма есть не только внешне заметные свойства, но и внутренние особенности, которые не всегда видны с первого взгляда. Одно из таких — поведение диагоналей. Давайте посмотрим, что происходит в точке их пересечения.
Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Доказательство
Скрыть
Дано: параллелограмм $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
Доказать: $AO = OC$, $BO = OD$.
Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$. У них:
- $\angle ABO = \angle CDO$, $\angle BAO = \angle DCO$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущих $BD$ и $AC$ соответственно.
- $AB = CD$ по свойству параллелограмма.
Следовательно, треугольники $AOB$ и $COD$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Значит, $AO = OC$, $BO = OD$.
Что и требовалось доказать.
Такое свойство удобно применять, когда в задаче фигурируют отрезки диагоналей или требуется доказать равенство сторон и треугольников внутри параллелограмма.
Задача
В параллелограмме $AB_1A_1B$ диагонали пересекаются в точке $O$. Известно, что $AO = 2x + 3$, $A_1O = 5x -9$.
Найдите длину диагонали $AA_1$.
Решение
Скрыть
По свойству диагоналей параллелограмма: $AO = A_1O$.
Подставим в равенство данные задачи, составим уравнение и решим его:
$$2x + 3 = 5x -9,$$
$$x = 4.$$
Найдем половину диагонали: $AO = 2x + 3 = 2 \cdot 4 + 3 = 11$.
Значит, $AA_1 = 2 \cdot 11 = 22$.
Ответ: $AA_1 = 22$.
Признаки параллелограмма
Иногда, чтобы понять, с чем мы имеем дело, достаточно пары признаков. Например, если за окном лежит снег, а температура ниже нуля, — скорее всего, на улице зима. Мы не видим саму надпись «зима», но по косвенным признакам узнаем ее.
В геометрии все устроено так же, как и в жизни: не всегда можно сразу сказать, что перед нами за фигура. Иногда нужно присмотреться к ее признакам и по ним сделать вывод.
Свойства, по которым можно определить, что перед нами та или иная фигура, называются признаками.
Признак № 1
У параллелограмма тоже есть свои признаки — они помогают понять, что четырехугольник действительно является параллелограммом.
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство
Скрыть
Дано: четырехугольник $ABCD$, $AB = CD$, $AB \parallel CD$.
Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.
Проведем диагональ $AC$ и рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. У них:
- $AB = CD$, по условию.
- $\angle BAC = \angle DCA$, как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $AC$.
- $AC$ — общая сторона.
Значит, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует: $BC = AD$ и $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при секущей $AC$ и они равны $\Rightarrow$ $BC \parallel AD$.
Следовательно, в четырехугольнике $ABCD$ стороны попарно равны и параллельны, а значит, $ABCD$ — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.
Признак № 2
Иногда бывает, что про параллельность сторон нам ничего не известно, зато известна их длина. Если в четырехугольнике противоположные стороны оказались равными — этого может быть достаточно, чтобы доказать, что перед нами параллелограмм. Посмотрим, почему это так.
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство
Скрыть
Дано: четырехугольник $ABCD$, $AB = CD$, $AD = BC$.
Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.
Проведем диагональ $AC$ и рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. У них:
- $AB = CD$, по условию.
- $BC = AD$ — по условию.
- $AC$ — общая сторона.
Значит, треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по трем сторонам.
Из равенства треугольников следует, что равны соответствующие углы:
$\angle BAC = \angle DCA$,
$\angle ABC = \angle CDA$.
Так как эти углы — накрест лежащие при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, и они равны, то $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$.
Значит, противоположные стороны и равны, и параллельны, следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.
Признак № 3
Иногда информация о сторонах и углах отсутствует, зато есть данные о диагоналях. Оказывается, даже по тому, как пересекаются диагонали, можно определить, что перед нами параллелограмм. Это еще один способ доказательства, который часто встречается в задачах.
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство
Скрыть
Дано: четырёхугольник $ABCD$.
Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причем $AO = OC$ и $BO = OD$.
Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.
Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$.
В этих треугольниках:
- $AO = OC$, по условию.
- $BO = OD$, по условию.
- $\angle AOB = \angle COD$, как вертикальные.
Значит, $\triangle AOB = \triangle COD$ по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует:
$AB = CD$, $AD = BC$,
$\angle ABO = \angle CDO$, $\angle BAO = \angle DCO$.
А значит, по признаку параллелограмма (стороны равны и параллельны) — $ABCD$ является параллелограммом.
Что и требовалось доказать.
Это интересно
Параллелограмм — фигура не только учебная, но и вполне практичная. Он встречается не только на чертежах, но и в реальных механизмах и конструкциях. Причем иногда его свойства помогают, а иногда мешают.
Хотя кажется, что параллелограмм выглядит надежно, на практике рама такой формы легко «складывается». Без дополнительных стяжек или диагоналей конструкция может потерять форму даже под небольшим усилием. Поэтому при строительстве каркасов и мостов чаще используют треугольники, а не параллелограммы.
Параллелограмм лежит в основе механизма Уатта — это система рычагов, которая помогает сохранять прямолинейность движения. Такой принцип применяют в подвеске автомобилей, в робототехнике, в старых чертежных приборах, а иногда даже в тренажерах и медтехнике.
Многие складные механизмы — от ножничных подъемников до настольных ламп с подвижным плечом — устроены по принципу параллелограмма. При изменении угла стороны такой системы остаются параллельными, и это удобно для удержания нужного положения.
В старых механических весах с двумя чашами используется система рычагов, напоминающая форму параллелограмма.
Благодаря этому конструкция сохраняет равновесие при изменении положения рычагов, и весы остаются точными.
Часто задаваемые вопросы
Да. Этого достаточно, чтобы сделать вывод: перед вами параллелограмм.
Главное — чтобы одни и те же стороны были и равными, и параллельными.
Такого условия тоже достаточно. Если обе пары противоположных сторон равны между собой, то четырехугольник можно считать параллелограммом.
Да. Это характерный признак: если точка пересечения делит обе диагонали на равные части, значит, перед вами параллелограмм.
Нет, одного равенства диагоналей недостаточно. В некоторых фигурах диагонали тоже бывают равными, но при этом это не параллелограмм. Для вывода важно не их длина, а то, как они пересекаются.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти