ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Трапеция
Мы уже изучили параллелограмм и знаем, какие свойства он имеет. Теперь познакомимся с еще одной фигурой из группы четырехугольников, которая называется трапецией.
В отличие от параллелограмма, у нее только одна пара параллельных сторон, а другие стороны могут иметь различную длину и наклон. Такая особенность делает трапецию отдельным видом четырехугольников со своими названиями элементов и особыми свойствами, которые мы изучим на этом уроке.
Трапеция, определение и основные элементы
Чтобы изучать свойства и поведение трапеции, сначала нужно точно представить, что это за фигура. Дадим ее определение.
Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а две другие, не параллельные стороны — боковыми сторонами.
Обычно трапеция выглядит так:
$BC$ и $AD$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.
Бывают нестандартные и не совсем привычные изображения трапеций, но это ничего не меняет: те стороны, которые параллельны, по-прежнему, основания, а не параллельные — боковые стороны.
Следствие из определения
Боковые стороны трапеции соединяют основания и пересекают их, поэтому каждая из них является секущей для двух параллельных оснований.
При таком расположении сторон в трапеции появляются внутренние односторонние углы: $\angle A$ и $\angle D$, а также $\angle B$ и $\angle C$.
В любой трапеции суммы углов, прилежащих к каждой боковой стороне, равны $180^\circ$.
$\angle A + \angle D = 180^\circ$, $\quad \angle B + \angle C = 180^\circ$.
Если упустить из виду данное свойство, то некоторые задачи просто невозможно решить.
Задача
В трапеции $ABCD$ биссектрисы $CK$ и $DM$ пересекаются в точке $O$.
Чему равен угол $KOD$?
Решение
Скрыть
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны. Значит, углы $C$ и $D$ являются внутренними односторонними при секущей $CD$ и их сумма равна $180^\circ$:
$$\angle C + \angle D = 180^\circ.$$
Биссектрисы $CK$ и $DM$ делят эти углы пополам, тогда
$\angle ODC + \angle OCD = \dfrac{\angle C + \angle D}{2} = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
Если в треугольнике два угла в сумме дают $90^\circ$ такой треугольник будет являться прямоугольным $\Rightarrow$ $\angle COD= 90^\circ$.
Угол $KOD$ является смежным с углом $COD$, поэтому
$\angle KOD = 180^\circ -90^\circ = 90^\circ$.
Ответ: $\angle KOD = 90^\circ$.
Равнобокая трапеция
Среди трапеций есть особый вид, который легко узнать по внешнему виду. У него боковые стороны имеют одинаковую длину, из-за чего фигура имеет ось симметрии, которая проходит через середины оснований.
Такая трапеция имеет и дополнительные свойства, поэтому в геометрии она выделена в отдельный вид с собственным названием.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной).
У равнобокой трапеции углы, которые прилежат к основаниям (при основании) и диагонали равны.
Если из верхних вершин трапеции опустить две высоты на нижнее основание, то отрезки, полученные от вершин нижнего основания до точек их падения, будут равны. Это довольно часто используется в задачах.
Задача
В равнобедренной трапеции $ABCD$, с меньшим основанием $BC = 5$ $см$, из вершины $B$ проведена высота $BH$. Отрезок $AH = 7$ $см$.
Найдите длину большего основания.
Решение
Скрыть
Опустим из вершины $C$ вторую высоту $CH_1$ на большее основание $AD$.
В равнобедренной трапеции такие высоты делят большее основание на три отрезка:
$AH$, $HH_1$ и $H_1D$, из которых $AH = H_1D = 7$, а $HH_1 = BC = 5$.
Большее основание $AD = AH + HH_1 + H_1D$ $\Rightarrow$ $AD = 7 + 5 + 7 =19$.
Ответ: $AD = 19$ $см$.
Трапеция и окружность
Мы уже знаем, что в некоторые фигуры можно вписать окружность (чтобы она касалась всех сторон изнутри) или описать окружность (чтобы она проходила через все вершины). Давайте посмотрим, как это бывает у трапеции.
Строго говоря, вписать окружность можно в любую трапецию. Главное, чтобы выполнялось условие: сумма длин оснований должна быть равна сумме боковых сторон (об этом мы подробно говорили на уроке о «вписанных и описанных окружностях»).
А вот что касается описанной окружности, то описать ее возможно только около равнобокой трапеции. Потому что сумма ее противоположных углов равна $180 ^\circ$.
Доказательство
Скрыть
Вспомним следствие из определения трапеции: в любой трапеции суммы углов, прилежащих к каждой боковой стороне, равны $180^\circ$, то есть:
$\angle A + \angle D = 180^\circ$, $\quad \angle B + \angle C = 180^\circ$.
Но у равнобокой трапеции углы при основании равны, значит,
$\angle A + \angle C = 180^\circ$, $\quad \angle B + \angle D = 180^\circ$.
Следовательно, условие для того чтобы четырехугольник можно было вписать в окружность выполнено.
Что и требовалось доказать.
Только равнобедренная трапеция, благодаря равенству углов при основании и боковых сторон, имеет осевую симметрию, которая проходит через середины оснований и перпендикулярна им.
Трапеция и ее высота
Обычно в трапеции высота проводится из вершин меньшего основания и находится внутри фигуры — это стандартный подход, и именно он, в основном, используется при решении задач.
Но бывает так, что высоту требуется провести в каком-то другом месте, например, через точку пересечения диагоналей.
Вообще, в трапеции любой отрезок будет являться высотой, если он соединяет основания и расположен к ним под прямым углом.
Иногда, если трапеция выглядит не совсем обычно, или того требуют дополнительные построения, высота может выходить за ее пределы. В этом случае она будет находиться вне трапеции и опускаться на продолжение противоположного основания.
Как можно заметить, высота «блуждает» по основаниям трапеции и может находиться в любом их месте.
Если высота совпадает с боковой стороной трапеции — такая трапеция называется прямоугольной.
Это интересно
Трапеция знакома людям уже много веков. Еще в Древнем Египте мастера возводили пирамиду Хеопса и другие пирамиды, и если рассмотреть их боковую грань в разрезе, мы увидим равнобокую трапецию.
Такая форма была не случайной — она придавала строениям устойчивость и помогала равномерно распределять вес каменных блоков.
Позже трапецию стали часто использовать в архитектуре и строительстве. Наклонные стенки мостов, укрепления берегов и насыпи делают в форме трапеции, чтобы они выдерживали давление земли и воды.
Эта форма полезна и в быту. Например, профиль некоторых дорог специально делают трапециевидным: низ шире, верх уже. Благодаря этому дождь стекает по бокам, и дорога меньше размывается.
В $19$ веке трапеция нашла свое место и в науке. При строительстве астрономических обсерваторий и больших телескопов инженеры использовали трапециевидные фермы и опоры. Такая форма давала хороший баланс между легкостью конструкции и ее прочностью.
В технике и машиностроении трапециевидные детали помогают экономить материал и при этом сохранять прочность конструкции.
Даже в искусстве трапеция занимает свое место — в орнаментах, витражах и мозаиках такие фигуры создают ритм и симметрию, делая узор более выразительным.
Часто задаваемые вопросы
Нет. Трапецией называют только такой четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
У равнобокой трапеции боковые стороны и углы при каждом основании равны.
Максимум два — в прямоугольной трапеции.
Нет. Это возможно только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
Нет. Это возможно только в равнобокой трапеции.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти