Четырехугольники

Мы уже знакомы с многоугольниками, и теперь переходим к одной из самых распространенных фигур — четырехугольнику. Он встречается нам повсюду: в окнах, книгах, экранах, листах бумаги и дорожных знаках.

Четырехугольники — это первые многоугольники, у которых можно провести диагонали. У них больше элементов, чем у треугольников, поэтому появляется множество новых свойств и разновидностей.

Геометрия четырех сторон сквозь века

Одним из первых математиков, исследовавших четырехугольники, был Омар Хайям. В XI веке он предложил специальную фигуру с двумя равными боковыми сторонами, перпендикулярными к основанию.

Такой четырехугольник он использовал при попытке доказать пятый постулат Евклида о параллельных прямых. Эта фигура стала основой будущих работ в области неевклидовой геометрии. Она получила название «четырехугольник Хайяма — Саккери».

В XIII веке персидский математик Насир ад-Дин ат-Туси написал трактат, посвященный свойствам циклических четырехугольников. То есть таких, которые можно вписать в окружность.

Он использовал эти фигуры при изучении тригонометрии и вывел ряд зависимостей между их сторонами и углами.

Его работы в дальнейшем легли в основу развития сферической геометрии и повлияли на европейскую науку эпохи Возрождения.

Первым интересным наблюдением стала теорема Вариньона (Франция, 1731 год).

Если соединить середины сторон любого четырехугольника, получится параллелограмм. А его площадь будет половиной площади исходного четырехугольника.

Это легко проверить даже на куске картона: фигуру можно согнуть как угодно, но если соединить середины сторон, получится параллелограмм. В XIX веке бельгийский математик Анри Ван Обель сформулировал красивую и неожиданную теорему.

Это утверждение вошло в геометрию как теорема Ван Обеля и до сих пор используется как иллюстрация удивительных свойств симметрии.

Если на сторонах произвольного выпуклого четырехугольника построить квадраты, то отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, окажутся равными по длине и перпендикулярны друг другу.

История четырехугольников показывает, что даже у самой привычной фигуры могут быть неожиданные свойства. Ученые разных времен находили в ней новые закономерности, придумывали задачи и строили теоремы. Значит, и нам есть что в ней открывать.

{"questions":[{"content":"Какое из следующих утверждений является верным?[[choice-1]][[image-6]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ван Обель первым доказал, что в любом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.","Омар Хайям использовал четырехугольник, чтобы исследовать параллельные прямые.","Теорема Вариньона утверждает, что если соединить противоположные вершины четырехугольника, получится прямоугольник.","Насир ад-Дин ат-Туси построил первый в истории правильный четырехугольник."],"explanations":["Ван Обель исследовал построение квадратов на сторонах четырехугольника.","","Вариньон соединял середины сторон четырехугольника, а не его противоположные вершины.","Ат-Туси изучал свойства вписанных четырехугольников."],"answer":[1]},"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/nablyudaet-za-tolpoi-2-01.svg","width":"300"}},"hints":["Вспомните, кто из ученых пытался доказать пятый  постулат Евклида."]}]}

Как устроен выпуклый четырехугольник

Нам известно, где четырехугольники встречаются в жизни. Мы познакомились как давно они стали предметом интереса ученых. Пора разобраться, что это за фигура с четырьмя сторонами, какие у нее есть элементы и как они правильно называются.

Четырехугольником называют геометрическую фигуру, образованную четырьмя отрезками, которые соединяют последовательно четыре точки, не лежащие на одной прямой. При этом отрезки не должны пересекаться друг с другом.

Эти четыре точки называются вершинами, а соединяющие их отрезки — сторонами. Вершины бывают соседними и несоседними, а стороны смежными и противоположными.

• Соседние вершины — это те, которые соединены стороной. Вершины $A$ и $B$ — соседние, потому что между ними сторона $AB$.
• Несоседние (противоположные) вершины — это вершины, которые не соединены стороной: $A$ и $C$, $B$ и $D$.
• Смежные стороны — это стороны, которые имеют общую вершину. Стороны $AB$ и $BC$ — смежные, потому что у них общая точка $B$.
• Противоположные (противолежащие) стороны — такие стороны, которые не имеют общих точек: $AB$ и $CD$, $BC$ и $DA$.

На чертеже четырехугольник обычно обозначают по вершинам, обходя их по порядку. Если четырехугольник $ABCD$, значит, вершины нужно расставить по кругу: $A$, $B$, $C$, $D$.

Отрезки, соединяющие две противоположные (несоседние) вершины четырехугольника, называются диагоналями.

Всего диагоналей может быть две, причем каждая из них разбивает четырехугольник на два треугольника — сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Отсюда и сумма четырех внутренних углов, равная $360^\circ$.

{"questions":[{"content":"Какое из утверждений верно для выпуклого четырехугольника?[[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":""},"choice-6":{"type":"choice","options":["Одна из диагоналей выходит за пределы фигуры.","Сумма углов больше $360^\\circ$.","Обе диагонали лежат внутри фигуры.","Один угол всегда больше $180^\\circ$."],"explanations":["Так происходит в вогнутом четырехугольнике.","","",""],"answer":[2]}},"hints":["В выпуклом четырехугольнике все углы меньше $180^\\circ$.","Диагонали выпуклого четырехугольника не выходят за его границы."]}],"mix":1}

Вогнутый четырехугольник

Кроме обычных, выпуклых четырехугольников, существуют еще и вогнутые. У такой фигуры один из внутренних углов — тупой. Поэтому, если провести диагонали между несоседними вершинами, одна окажется снаружи — $BD$, а другая внутри четырехугольника — $AC$. Причем, каждая из них разобьет вогнутый четырехугольник на два треугольника.

В этом и заключается главное отличие от выпуклого четырехугольника, у которого обе диагонали всегда лежат внутри.

Несмотря на необычную форму, вогнутый четырехугольник тоже подчиняется тем же геометрическим законам. У него $4$ стороны, $4$ угла, $4$ вершины и сумма всех внутренних углов всегда равна $360^\circ$.

Но встречается он реже, и чаще используется в задачах на внимательность и классификацию.

{"questions":[{"content":"Чем отличается вогнутый четырехугольник от выпуклого?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В нем все углы острые.","У него одна сторона меньше остальных.","Внутренняя диагональ пересекает сторону.","Одна из диагоналей выходит за пределы фигуры."],"answer":[3]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/edet-na-loshadi2-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["В вогнутом четырехугольнике хотя бы один угол больше $180^\\circ$.","Диагональ между несоседними вершинами может оказаться вне фигуры."]}]}

Часто задаваемые вопросы