8 класс Геометрия Четырехугольники Параллелограмм и трапеция

Средняя линия трапеции

Содержание

В уроке о средней линии треугольника булавка в середине стороны и пол-оборота достроили треугольник до параллелограмма. Сегодня тот же прием применим к трапеции: найдем, чему равна ее средняя линия, и докажем это. Затем разберем, как средняя линия связана с диагоналями, и решим задачи.

Какой длины доска посередине ската

У четырехскатной крыши длинный скат — трапеция: сверху конек длиной $5$ м, снизу карниз длиной $11$ м. Посередине ската кладут поперечную доску — от середины одного бокового ребра до середины другого. Какой длины доска? Ответим в последнем разделе.

Скат четырехскатной крыши — трапеция: карниз 11 м, конек 5 м; доска соединяет середины боковых ребер, ее длина неизвестна — Скат крыши — трапеция с основаниями $5$ м и $11$ м. Доска соединяет середины боковых ребер; ее длина пока неизвестна

Определение

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны — основания, другие две — боковые стороны.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$, боковые стороны $AB$ и $CD$. Точка $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$, $MN$ — средняя линия. Начертим три трапеции на клетках и посчитаем длины по клеткам.

Три трапеции на клетках: средняя линия MN параллельна основаниям и равна их полусумме — 5, 7 и 5 — Основания $8$ и $2$, $10$ и $4$, $7$ и $3$ клетки — средние линии $5$, $7$ и $5$ клеток. Каждый раз $MN$ параллельна основаниям и равна их среднему

$AD$	$BC$	$AD + BC$	$MN$
$8$	$2$	$10$	$5$
$10$	$4$	$14$	$7$
$7$	$3$	$10$	$5$

Гипотеза: средняя линия параллельна основаниям и равна половине их суммы. Три чертежа — не доказательство. Проверьте гипотезу на других трапециях: тяните вершины $C$ и $D$ и выполните задания.

srednyaya-liniya-trapecii

{"questions":[{"content":"Какой отрезок называется средней линией трапеции?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отрезок, соединяющий середины боковых сторон","Отрезок, соединяющий вершины тупых углов","Отрезок, соединяющий середины диагоналей","Отрезок, соединяющий середины оснований"],"explanations":["","Это диагональ или сторона, а не средняя линия","Это другой отрезок: он соединяет не боковые стороны, а диагонали","Он соединяет основания, а не боковые стороны; средняя линия параллельна основаниям"],"answer":[0]}},"hints":["Определение: средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон.","Не середины оснований и не середины диагоналей.","Ответ: отрезок, соединяющий середины боковых сторон."],"step":1}],"mix":1}

Почему средняя линия равна полусумме оснований

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

$$MN \parallel AD,\qquad MN = \frac{AD + BC}{2}$$

Копия трапеции ABCD при повороте на половину оборота вокруг N: получается параллелограмм ABA_1B_1 со стороной AB_1 = a + b — Пол-оборота вокруг булавки $N$: трапеция и ее копия складываются в параллелограмм $ABA_1B_1$. Основания встают друг за другом: $AB_1 = a + b$, а $MN$ — половина $MM_1$

Доказательство

Дано: трапеция $ABCD$, $AD \parallel BC$, $AD = a$, $BC = b$; $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$. Доказать: $MN \parallel AD$, $MN = \frac{a + b}{2}$.

Шаг 1. Воткнем булавку в $N$ и повернем трапецию на пол-оборота. Точки $C$ и $D$ поменяются местами, так как $N$ — середина $CD$. Точки $A$, $B$, $M$ перейдут в $A_1$, $B_1$, $M_1$.

Шаг 2. При пол-обороте прямая переходит в параллельную. Прямая $BC$ перейдет в прямую через $D$, параллельную $BC$, — это прямая $AD$ (другой такой нет). В трапеции лучи $CB$ и $DA$ направлены одинаково, влево. Пол-оборота меняет направление на противоположное, поэтому луч $CB$ перейдет в луч от $D$ вправо — продолжение $AD$ за точку $D$. На нем $DB_1 = CB = b$. Так же $A_1$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$, $CA_1 = DA = a$. Поэтому $AB_1 = BA_1 = a + b$.

Шаг 3. В четырехугольнике $ABA_1B_1$ стороны $AB_1$ и $BA_1$ равны и параллельны, значит, это параллелограмм.

Шаг 4. Середина $M$ стороны $AB$ перешла в середину $M_1$ стороны $A_1B_1$, а $N$ — середина $MM_1$. Отрезки $AM$ и $B_1M_1$ — половины равных противоположных сторон, они равны и параллельны. Значит, $AMM_1B_1$ — параллелограмм, $MM_1 \parallel AB_1$ и $MM_1 = a + b$. Тогда $MN \parallel AD$ и $MN = \frac{a + b}{2}$. Что и требовалось доказать.

Хватит и половины копии. Точку $B_1$ обозначим $K$: так как $N$ — середина $BB_1$, она лежит на прямой $BN$, и это точка пересечения прямых $BN$ и $AD$. Треугольники $BCN$ и $KDN$ равны (пол-оборота вокруг $N$ переводит один в другой), поэтому $DK = BC$ и $BN = NK$. Тогда $MN$ — средняя линия треугольника $ABK$, и $MN = \frac{AK}{2} = \frac{a + b}{2}$.

Ошибка

Решавр проводит в трапеции с основаниями $AD = 8$ и $BC = 2$ отрезок $PQ$, параллельный основаниям, через точку $P$, для которой $AP : PB = 1 : 2$. Он считает: «$PQ = \frac{8 + 2}{2} = 5$».

Проверим по клеткам (рисунок): $PQ = 6$. А $5$ клеток — длина настоящей средней линии $MN$, которая проходит выше.

Где сломалось рассуждение: теорема говорит только о средней линии, то есть об отрезке между серединами боковых сторон. Точка $P$ — не середина $AB$, и к $PQ$ теорема не относится.

Ошибка: отрезок PQ параллелен основаниям, но не проходит через середины боковых сторон; PQ = 6, а средняя линия MN = 5 — $PQ \parallel AD$, но $AP : PB = 1 : 2$, и $PQ = 6$. Полусумме оснований $5$ равна только $MN$ — отрезок между серединами боковых сторон

{"questions":[{"content":"Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["большему основанию","их полуразности","полусумме боковых сторон","их полусумме"],"answer":3}},"hints":["Вспомните копию трапеции: после пол-оборота основания встают в одну линию друг за другом.","Средняя линия — половина отрезка длиной $a + b$.","Ответ: их полусумме."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги доказательства того, что средняя линия $MN$ трапеции $ABCD$ ($BC \\parallel AD$) параллельна основаниям и равна $\\dfrac{AD + BC}{2}$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Продлите $BN$ ($N$ — середина $CD$) до пересечения с прямой $AD$ в точке $K$","Тогда треугольники $BCN$ и $KDN$ равны, значит, $DK = BC$ и $BN = NK$","Значит, $MN$ — средняя линия треугольника $ABK$, поэтому $MN \\parallel AK$ и $MN = \\dfrac{AK}{2}$","Тогда $MN \\parallel AD$ и $MN = \\dfrac{AD + DK}{2} = \\dfrac{AD + BC}{2}$"]}},"hints":["Начните с построения: продлите $BN$ до пересечения с прямой $AD$.","Тогда найдите равные треугольники и отрезки.","Значит, $MN$ — средняя линия треугольника."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В трапеции $ABCD$ основания $AD = 12$ и $BC = 3$. Отрезок $PQ$ с концами на боковых сторонах $AB$ и $CD$ параллелен основаниям, причем $AP : PB = 1 : 2$. Решавр: «$PQ$ параллелен основаниям, значит, $PQ = \\dfrac{12 + 3}{2} = 7{,}5$». Что неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нужна сумма оснований: $PQ = 12 + 3 = 15$","$P$ — не середина $AB$, поэтому $PQ$ — не средняя линия, и полусумма к нему не относится","Ошибки нет: любой такой отрезок равен полусумме оснований","Нужна полуразность оснований: $PQ = \\dfrac{12-3}{2} = 4{,}5$"],"explanations":["Отрезок между основаниями не может быть длиннее большего основания $12$","","Полусумме равна только средняя линия; отрезок ближе к $AD$ длиннее нее","Полуразность здесь ни при чем: ошибка в том, что $P$ и $Q$ — не середины боковых сторон"],"answer":[1]}},"hints":["Средняя линия — отрезок между серединами боковых сторон. Является ли $P$ серединой $AB$?","$AP : PB = 1 : 2$, значит, $AP \\ne PB$: $P$ — не середина, и $PQ$ — не средняя линия.","Ответ: теорема о полусумме относится только к средней линии, а $PQ$ ею не является."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как найти основание или периметр по средней линии

На рисунке с копией основания стоят друг за другом и вместе равны $MM_1$ — удвоенной средней линии. Отсюда правило: сумма оснований равна удвоенной средней линии, $AD + BC = 2\,MN$. Им удобно находить основание и периметр.

Копия трапеции: основания друг за другом, MN = NM_1 = 12, MM_1 = 2 · 12 = 24; одно основание 7, другое 17 — На копии основания стоят друг за другом: $a + b = MM_1 = 2 \cdot 12 = 24$. Одно основание $7$, значит, другое $24-7 = 17$

Пример

Средняя линия трапеции равна $12$ см, меньшее основание — $7$ см. Найдите большее основание.

Решение. Сумма оснований: $2 \cdot 12 = 24$ см. Большее основание: $24-7 = 17$ см. Проверка: $\frac{7 + 17}{2} = 12$.

Ответ: $17$ см.

Пример

Периметр трапеции равен $46$ см, боковые стороны — $8$ см и $10$ см. Найдите среднюю линию.

Решение. Сумма оснований: $46-8-10 = 28$ см. Средняя линия: $28 : 2 = 14$ см.

Ответ: $14$ см.

Обратите внимание

Полусумма двух чисел лежит между ними, поэтому средняя линия длиннее меньшего основания и короче большего. В первом примере $7 < 12 < 17$. Ответ вне этих границ — повод искать ошибку.

{"questions":[{"content":"Средняя линия трапеции равна $9$ см, одно из оснований равно $4$ см. Найдите другое основание в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Сумма оснований вдвое больше средней линии: $a + b = 2 \\cdot 9 = 18$.","Другое основание: $18-4 = 14$ см."],"step":1},{"content":"Периметр трапеции равен $30$ см, ее боковые стороны — $5$ см и $7$ см. Найдите длину средней линии в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Сумма оснований: $30-5-7 = 18$ см.","Средняя линия: $18 : 2 = 9$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как диагонали делят среднюю линию

Пусть $P$ — середина диагонали $AC$. Тогда $MP$ — средняя линия треугольника $ABC$: $MP \parallel BC$, $MP = \frac{BC}{2}$. А $PN$ — средняя линия треугольника $ACD$: $PN \parallel AD$, $PN = \frac{AD}{2}$. Через $P$ проходит только одна прямая, параллельная основаниям, поэтому $M$, $P$, $N$ лежат на ней: диагональ $AC$ пересекает среднюю линию в своей середине.

Так же диагональ $BD$ пересекает $MN$ в своей середине $Q$, и $MQ = \frac{AD}{2}$, $QN = \frac{BC}{2}$. Отрезок между серединами диагоналей $PQ = MQ-MP = \frac{AD-BC}{2}$ — полуразность оснований (здесь $AD > BC$).

Пример

Диагональ $AC$ трапеции $ABCD$ делит среднюю линию на отрезки $4$ см и $9$ см. Найдите основания.

Решение. Отрезок $MP$ — средняя линия треугольника $ABC$, поэтому $BC = 2 \cdot MP$; отрезок $PN$ — средняя линия треугольника $ACD$, поэтому $AD = 2 \cdot PN$. Меньший из отрезков — половина меньшего основания: $BC = 2 \cdot 4 = 8$ см, $AD = 2 \cdot 9 = 18$ см. Проверка: $MN = 4 + 9 = 13$ и $\frac{8 + 18}{2} = 13$.

Ответ: $8$ см и $18$ см.

Ошибка

Основания трапеции $4$ и $10$. Решавр: «Средняя линия равна $\frac{10-4}{2} = 3$».

Проверим: $3$ меньше даже меньшего основания $4$, а средняя линия лежит между основаниями. По клеткам (рисунок) $MN = 7 = \frac{4 + 10}{2}$.

Где сломалось рассуждение: полуразность — длина не средней линии, а ее среднего куска $PQ$ между диагоналями. На копии основания стоят друг за другом и складываются, а не накладываются.

Средняя линия MN = 7 — полусумма оснований 4 и 10; отрезок PQ = 3 между серединами диагоналей — полуразность, лишь средний кусок MN — Диагонали делят $MN = 7$ на части $2$, $3$ и $2$. Полуразность оснований $3$ — только кусок $PQ$, а вся средняя линия — полусумма

Ошибка

Решавр: «Средняя линия проходит через точку $O$ пересечения диагоналей».

Проверим (рисунок, основания $4$ и $12$): диагонали пересекают $MN$ в разных точках $P$ и $Q$, $PQ = \frac{12-4}{2} = 4$, а точка $O$ лежит выше средней линии.

Где сломалось рассуждение: диагонали пересекают среднюю линию в своих серединах $P$ и $Q$. Если бы $O$ лежала на $MN$, точки $P$ и $Q$ совпали бы с $O$ и $PQ = 0$, то есть основания были бы равны. У трапеции они не равны.

Точка O пересечения диагоналей лежит выше средней линии MN = 8; отрезок через O параллельно основаниям равен 6, а не 8 — Точка $O$ пересечения диагоналей выше средней линии. Отрезок через $O$ параллельно основаниям равен $6$, а средняя линия — $8$

{"questions":[{"content":"В трапеции $ABCD$ основание $AD$ больше основания $BC$, $MN$ — средняя линия ($M$ на $AB$, $N$ на $CD$). Диагональ $AC$ пересекает $MN$ в точке $P$, диагональ $BD$ — в точке $Q$. Чему равен каждый отрезок?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Полусумма оснований","Полуразность оснований","Половина AD","Половина BC"],"items":[["$MN$"],["$PQ$"],["$PN$","$MQ$"],["$MP$","$QN$"]]}},"instruction":"Распределите отрезки по группам","hints":["$P$ — середина $AC$: $MP$ — средняя линия треугольника $ABC$, $PN$ — средняя линия треугольника $ACD$.","Так же $Q$ — середина $BD$: $MQ$ — средняя линия треугольника $ABD$, $QN$ — треугольника $BCD$. $PQ = MQ-MP$.","Ответ: $MN$ — полусумма; $PQ$ — полуразность; $PN$ и $MQ$ — половина $AD$; $MP$ и $QN$ — половина $BC$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Основания трапеции равны $8$ и $12$. Решавр: «Средняя линия равна $\\dfrac{12-8}{2} = 2$». Что неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Это полуразность: она равна куску $PQ$ между диагоналями, а средняя линия — полусумма, $10$","Ошибки нет: $2$ — верный ответ","Нужна сумма оснований: $20$","Нужно $\\dfrac{12}{2} = 6$"],"explanations":["","Средняя линия лежит между основаниями, а $2$ меньше меньшего основания $8$","Сумма — не средняя линия; ее нужно разделить пополам, и тогда получится $10$","Это половина большего основания; в средней линии участвуют оба основания"],"answer":[0]}},"hints":["Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.","$\\dfrac{8 + 12}{2} = 10$; число $2$ — длина куска между диагоналями.","Ответ: Решавр взял полуразность вместо полусуммы."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр: «Средняя линия трапеции проходит через точку $O$ пересечения диагоналей». Что неверно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: при любой трапеции $O$ на средней линии","$O$ не лежит на средней линии: диагонали пересекают ее в разных точках","Ошибка только в том, что отрезок не параллелен основаниям","$O$ лежит на средней линии только у равнобокой трапеции"],"explanations":["Это верно только для параллелограмма, у трапеции $O$ лежит ближе к меньшему основанию","","Средняя линия как раз параллельна основаниям; неверно утверждение о точке $O$","Равнобокость ни при чем: это свойство оси симметрии, а не средней линии"],"answer":[1]}},"hints":["Диагонали пересекают среднюю линию в своих серединах, и эти точки разные, если основания не равны.","Точка $O$ лежит не на средней линии, а ближе к меньшему основанию.","Ответ: $O$ не лежит на средней линии."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Задачи с крышей и клетчатой бумагой

Задача

Вернемся к скату крыши: конек $5$ м, карниз $11$ м. Какой длины доска посередине ската?

Решение. Скат — трапеция с основаниями $5$ м и $11$ м. Доска соединяет середины боковых ребер — это средняя линия. Ее длина $\frac{5 + 11}{2} = 8$ м. Проверка: $5 < 8 < 11$.

Ответ: $8$ м.

На клетчатой бумаге основания трапеции обычно идут по линиям сетки, и их длины считают по клеткам. Прямые $AD$, $MN$ и $BC$ параллельны и отсекают на боковой стороне $AB$ равные отрезки $AM = MB$. По теореме Фалеса они отсекают равные отрезки и на вертикальной линии сетки, поэтому средняя линия проходит посередине между основаниями.

Пример

Вершины трапеции на клетчатой бумаге (клетка $1 \times 1$): $A(1;\,1)$, $B(4;\,5)$, $C(7;\,5)$, $D(13;\,1)$. Найдите длину средней линии и прямую, на которой она лежит.

Решение. $AD = 13-1 = 12$, $BC = 7-4 = 3$. Средняя линия $\frac{12 + 3}{2} = 7{,}5$. Основания лежат на горизонталях $y = 1$ и $y = 5$, средняя линия — посередине: $\frac{1 + 5}{2} = 3$.

Ответ: $7{,}5$; прямая $y = 3$.

Трапеция на клетчатой бумаге: основания 12 и 3 клетки, средняя линия 7,5 клетки лежит на прямой y = 3 — посередине между горизонталями y = 1 и y = 5 — $AD = 12$ и $BC = 3$ клетки: средняя линия $7{,}5$ клетки лежит на прямой $y = 3$, посередине между основаниями

{"questions":[{"content":"Вершины трапеции $ABCD$ имеют координаты $A(0;\\,0)$, $B(3;\\,4)$, $C(9;\\,4)$, $D(12;\\,0)$. Найдите ординату точек ее средней линии. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Средняя линия соединяет середины боковых сторон $AB$ и $CD$.","Ордината середины $AB$: $\\dfrac{0 + 4}{2} = 2$; середины $CD$ — тоже $2$.","Средняя линия лежит на прямой $y = 2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Средняя линия равнобокой трапеции равна $16$ см, боковая сторона равна $10$ см. Найдите периметр трапеции в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"52"}},"hints":["Сумма оснований: $2 \\cdot 16 = 32$ см.","Боковые стороны равны: вместе $20$ см. $P = 32 + 20 = 52$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме. По ней находят основание, периметр и отрезки между диагоналями. В задачах ОГЭ она встречается в заданиях о трапеции и на клетчатой бумаге.

Чтобы вспомнить главное, представьте булавку в середине боковой стороны: трапеция и копия складываются в параллелограмм с основанием $a + b$.

Случай	Что представить	Вывод
Даны основания	Основания друг за другом на копии	$MN = \frac{a + b}{2}$
Даны линия и одно основание	$MM_1$ — сумма оснований	Второе основание $= 2\,MN-a$
Отрезок между диагоналями	Кусок $PQ$ средней линии	$PQ = \frac{a-b}{2}$, $a > b$
Отрезок не через середины	Булавка не в середине	Теорема не работает

Часто задаваемые вопросы

Есть ли средняя линия у параллелограмма?

Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон параллелограмма, параллелен двум другим сторонам и равен им. Это согласуется с формулой: при равных основаниях $\frac{a + a}{2} = a$. Но средней линией трапеции такой отрезок не называют: параллелограмм — не трапеция.

Можно ли считать средней линией отрезок между серединами оснований?

Нет. Он соединяет основания, поэтому пересекает их, а не идет параллельно. Средняя линия — только отрезок между серединами боковых сторон.

Как быстро проверить ответ задачи на среднюю линию?

Средняя линия всегда длиннее меньшего основания и короче большего. Если ответ меньше меньшего основания, вероятно, взята полуразность; если больше большего — сумма не разделена пополам.

Где еще пригодится копия трапеции?

В теме о площади трапеции. Трапеция и ее копия по пол-обороту составляют параллелограмм с основанием $a + b$ и той же высотой, поэтому площадь трапеции — половина площади этого параллелограмма.

Награды за урок